27/12/2020

Resolução da integral $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a+bx}} dx$

Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$
\int \frac{1}{\sqrt{a+bx}}\ dx = \frac{2\sqrt{a+bx}}{b}+C
$$
onde $a$ e $b$ são constantes e $a+bx>0$.

Resolução da família de integrais do tipo 1 dividido por raiz de a mais bx

Seja a integral:
$$
I = \int \frac{1}{\sqrt{a+bx}}\ dx
$$
Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a+bx}}\ dx$, fazemos a substituição $u=a+bx$. Assim, $du=b\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{b}du$:
$$
I = \frac{1}{b} \int \frac{1}{\sqrt{u}}du
$$
A integral de $1/ \sqrt{u}$ é $2\sqrt{u}$. Podemos analisar o integrando como:
$$
\frac{1}{\sqrt{u}}=\frac{1}{u^{1/2}}=u^{-1/2}
$$
Integrando $u^{-1/2}$, obtemos:
$$
\int u^{-1/2}\ du = \frac{u^{1/2+1}}{-1/2+1}=\frac{u^{1/2}}{1/2}=2\sqrt{u}
$$
Assim:
$$
I=\frac{1}{b} \cdot 2\sqrt{u}+C
$$
Mas $u=a+bx$, logo:
$$
I = \frac{2\sqrt{a+bx}}{b}+C
$$


Exemplo:

Considere a curva $\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+3x}}$. Vamos encontrar a área sob a curva $f(x)$ no intervalo $I=[0,1]$.

Resolução da integral 1 dividido por raiz de 1 mais 3x

Para o cálculo da área, utilizamos o conceito de integral definida e resultado obtido acima. Veja que para a função $f(x)$, $a=1$ e $b=3$.
$$
A = \int _0^1 \frac{1}{\sqrt{1+3x}} dx\\
\ \\
A = \left[ \frac{2\sqrt{a+bx}}{b} \right]_0^1\\
\ \\
A = \left[ \frac{2\sqrt{1+3x}}{3} \right]_0^1\\
\ \\
A = \frac{2\sqrt{1+3}}{3} - \frac{2\sqrt{1+0}}{3}\\
\ \\
A = \frac{4}{3}-\frac{2}{3}\\
\ \\
A = \frac{2}{3}
$$
Assim, a área desejada vale $2/3$ unidades de área.

Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Resolução da integral $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a+bx}} dx$. Publicado por Kleber Kilhian em 27/12/2020. URL: . Leia os Termos de uso.


Siga também o blog pelo canal no Telegram.
Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.
Leia a política de moderação do blog. Para escrever em $\LaTeX$ nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

Postar um comentário

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Pesquise no blog