Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.
Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$
\int \frac{1}{\sqrt{a+bx}}\ dx = \frac{2\sqrt{a+bx}}{b}+C
$$
onde $a$ e $b$ são constantes e $a+bx>0$.
$$
\int \frac{1}{\sqrt{a+bx}}\ dx = \frac{2\sqrt{a+bx}}{b}+C
$$
onde $a$ e $b$ são constantes e $a+bx>0$.
Seja a integral:
$$I = \int \frac{1}{\sqrt{a+bx}}\ dx
$$
Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a+bx}}\ dx$, fazemos a substituição $u=a+bx$. Assim, $du=b\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{b}du$:
$$I = \frac{1}{b} \int \frac{1}{\sqrt{u}}du
$$
A integral de $1/ \sqrt{u}$ é $2\sqrt{u}$. Podemos analisar o integrando como:
$$\frac{1}{\sqrt{u}}=\frac{1}{u^{1/2}}=u^{-1/2}
$$
Integrando $u^{-1/2}$, obtemos:
$$\int u^{-1/2}\ du = \frac{u^{1/2+1}}{-1/2+1}=\frac{u^{1/2}}{1/2}=2\sqrt{u}
$$
Assim:
$$I=\frac{1}{b} \cdot 2\sqrt{u}+C
$$
Mas $u=a+bx$, logo:
$$I = \frac{2\sqrt{a+bx}}{b}+C
$$
Exemplo:
Considere a curva $\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+3x}}$. Vamos encontrar a área sob a curva $f(x)$ no intervalo $I=[0,1]$.
Para o cálculo da área, utilizamos o conceito de integral definida e resultado obtido acima. Veja que para a função $f(x)$, $a=1$ e $b=3$.
$$A = \int _0^1 \frac{1}{\sqrt{1+3x}} dx\\
\ \\
A = \left[ \frac{2\sqrt{a+bx}}{b} \right]_0^1\\
\ \\
A = \left[ \frac{2\sqrt{1+3x}}{3} \right]_0^1\\
\ \\
A = \frac{2\sqrt{1+3}}{3} - \frac{2\sqrt{1+0}}{3}\\
\ \\
A = \frac{4}{3}-\frac{2}{3}\\
\ \\
A = \frac{2}{3}
$$
Assim, a área desejada vale $2/3$ unidades de área.
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