21/12/2020

Prova do Teorema de Pitágoras utilizando a potência de um ponto

Para esta demonstração do Teorema de Pitágoras, utilizaremos as relações métricas da circunferência associadas à potência de um ponto.

Teorema de Pitágoras baseado na potência de um ponto - Figura 1
Vamos primeiramente entender o que é a potência de um ponto.

Definição de potência de um ponto

Na Geometria Plana a potência de um ponto $P$ é definida como o produto de todas as suas distâncias aos pontos gerados na intersecção de uma reta que passe por $P$ e por uma circunferência dada.

Podemos ter 2 casos, sendo o ponto $P$ exterior ou interior à circunferência.

1) O ponto $P$ é exterior à circunferência

Teorema de Pitágoras baseado na potência de um ponto - Figura 2
O ponto $P$ é a intersecção das retas $r$ e $s$ e está localizado no exterior da circunferência. Assim:
$$
PA \cdot PB = PD \cdot PC
$$
Pode ocorrer de uma das retas (ou ambas) serem tangentes à circunferência. Assim, para apenas uma das retas tangentes, temos:

Teorema de Pitágoras baseado na potência de um ponto - Figura 3a
$$PA \cdot PB = PC^2
$$
E para ambas as retas tangentes à circunferência:

Teorema de Pitágoras baseado na potência de um ponto - Figura 3b
$$
PA^2 = PC^2
$$

2) O ponto $P$ é interior à circunferência

Teorema de Pitágoras baseado na potência de um ponto - Figura 4
O ponto $P$ é a intersecção das retas $r$ e $s$ e está localizada no interior da circunferência. Assim:
$$
AP \cdot PB = DP \cdot PC
$$

O Teorema de Pitágoras

Vamos considerar um triângulo retângulo $ABC$:

Teorema de Pitágoras baseado na potência de um ponto - Figura 5
Construímos duas circunferências de diâmetros iguais aos catetos, cujos centros encontram-se sobre os pontos médios desses catetos:

Teorema de Pitágoras baseado na potência de um ponto - Figura 6
O ponto $D$ é a intersecção das circunferências sobre a hipotenusa e é o pé da perpendicular baixada de $C$.

Como o segmento $CD$ é perpendicular a $AD$, logo divide o triângulo $ABC$ em outros dois triângulo retângulos: $ACD$ e $BCD$.

Teorema de Pitágoras baseado na potência de um ponto - Figura 7
Como $AC$ é tangente à circunferência $BDC$, utilizamos a propriedade da potência de um ponto:
$$
AC^2 = AB \cdot AD \tag{1}
$$
Analogamente, como $BC$ é tangente à circunferência $ADC$, temos:
$$
BC^2 = BD \cdot AB \tag{2}
$$
Somando as equações $(1)$ e $(2)$, obtemos:
$$
AC^2+BC^2 = AB \cdot AD + BD \cdot AB\\
\ \\
AC^2+BC^2 = AB(AD+BD)
$$
Mas, como $AD+BD = AB$, temos:
$$
AC^2+BC^2=AB^2
$$
Demonstrando, assim, o Teorema de Pitágoras.

Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Prova do Teorema de Pitágoras utilizando a potência de um ponto. Publicado por Kleber Kilhian em 21/12/2020. URL: . Leia os Termos de uso.


Siga também o blog pelo canal no Telegram.
Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.
Leia a política de moderação do blog. Para escrever em $\LaTeX$ nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

Postar um comentário

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Pesquise no blog