Para esta demonstração do Teorema de Pitágoras, utilizaremos as relações métricas da circunferência associadas à potência de um ponto.
Vamos primeiramente entender o que é a potência de um ponto.
Definição de potência de um ponto
Na Geometria Plana a potência de um ponto $P$ é definida como o produto de todas as suas distâncias aos pontos gerados na intersecção de uma reta que passe por $P$ e por uma circunferência dada.
Podemos ter 2 casos, sendo o ponto $P$ exterior ou interior à circunferência.
1) O ponto $P$ é exterior à circunferência
O ponto $P$ é a intersecção das retas $r$ e $s$ e está localizado no exterior da circunferência. Assim:
$$PA \cdot PB = PD \cdot PC
$$
Pode ocorrer de uma das retas (ou ambas) serem tangentes à circunferência. Assim, para apenas uma das retas tangentes, temos:
$$PA \cdot PB = PC^2
$$
$$
E para ambas as retas tangentes à circunferência:
PA^2 = PC^2
$$
2) O ponto $P$ é interior à circunferência
O ponto $P$ é a intersecção das retas $r$ e $s$ e está localizada no interior da circunferência. Assim:
$$AP \cdot PB = DP \cdot PC
$$
O Teorema de Pitágoras
Vamos considerar um triângulo retângulo $ABC$:
Construímos duas circunferências de diâmetros iguais aos catetos, cujos centros encontram-se sobre os pontos médios desses catetos:
O ponto $D$ é a intersecção das circunferências sobre a hipotenusa e é o pé da perpendicular baixada de $C$.
Como o segmento $CD$ é perpendicular a $AD$, logo divide o triângulo $ABC$ em outros dois triângulo retângulos: $ACD$ e $BCD$.
Como $AC$ é tangente à circunferência $BDC$, utilizamos a propriedade da potência de um ponto:
$$AC^2 = AB \cdot AD \tag{1}
$$
Analogamente, como $BC$ é tangente à circunferência $ADC$, temos:
$$BC^2 = BD \cdot AB \tag{2}
$$
Somando as equações $(1)$ e $(2)$, obtemos:
$$AC^2+BC^2 = AB \cdot AD + BD \cdot AB\\
\ \\
AC^2+BC^2 = AB(AD+BD)
$$
Mas, como $AD+BD = AB$, temos:
$$AC^2+BC^2=AB^2
$$
Demonstrando, assim, o Teorema de Pitágoras.
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