Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.
Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$\int ax\ \text{sen}(bx)\ dx = \frac{a\Big( \text{sen}(bx) - bx\ \cos(bx) \Big)}{b^2} + C
$$
Seja a integral:
$$I = \int ax\ \text{sen}(bx)\ dx
$$
onde, $a$ e $b$ são constantes diferentes de $0$.
Iniciamos fatorando a constante $a$:
$$
I = a \int x\ \text{sen}(bx)\ dx
$$
I = a \int x\ \text{sen}(bx)\ dx
$$
Para o integrando, $x\ \text{sen}(bx)$, utilizamos o método de integração por partes. Lembrando que:
$$\int u\ dv = uv - \int v\ du
$$
Fazemos $u=x$ e $dv = \text{sen}(bx)dx$ para obtermos $du=dx$ e $v=-\cfrac{\cos(bx)}{b}$. Para entender como foi obtida a integral de $\text{sen}(bx)$, indico a leitura do artigo contendo a resolução. Assim:
$$I = a \left[ x\left( -\frac{\cos(bx)}{b} \right) - \int \left(-\frac{\cos(bx)}{b}\right) \right]\ dx\\
\ \\
I = -\frac{ax\ \cos(bx)}{b}+\frac{a}{b} \int \cos(bx)\ dx
$$
Para o integrando $\cos(bx)$, utilizamos o método de integração por substituição. Fazemos $u=bx$. Assim, $du=b\ dx$ e $dx = \cfrac{du}{b}$:
$$I = -\frac{ax\ \cos(bx)}{b} + \frac{a}{b^2} \int \cos(u)\ du
$$
A integral de $\cos(u)$ é $\text{sen}(u)$. Assim:
$$I = -\frac{ax\ \cos(bx)}{b} + \frac{a}{b^2} \ \text{sen}(u) + C
$$
Mas, $u=bx$, logo:
$$I = \frac{a}{b^2}\ \text{sen}(bx) - \frac{ax\ \cos(bx)}{b} + C
$$
Ou ainda:
$$I = \frac{a\Big( \text{sen}(bx) - bx\ \cos(bx)\Big)}{b^2} + C
$$
Se $a$ e $b$ valerem $1$, então a integral se transforma em:
$$I = \int x\ \text{sen}(x)\ dx = \text{sen}(x) - x \cos(x) + C
$$
Exemplo:
Seja a função $f(x) = 2x\ \text{sen}(3x)$. Encontrar a área hachurada.
As raízes da função $f(x)=2x\ \text{sen}(3x)$ é dada por:
$$x=\frac{\pi\ n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}
$$
Sendo assim, a área hachurada está compreendida entre os pontos $x_1$ e $x_2$ quando $n=0$ e $n=1$:
$$x_1 = \frac{\pi \cdot 0}{3} = 0 \qquad x_2=\frac{\pi \cdot 1}{3}=\frac{\pi}{3}
$$
E a área hachurada é dada pela integral definida:
$$A = \int_0^{\pi/3} 2x\ \cos(3x)\ dx
$$
Aplicamos o resultado obtido logo acima:
$$A = \left[ \frac{2\Big(\text{sen}(3x)-3x\ \cos(3x)\Big)}{3^2} \right]_0^{\pi/3}\\
\ \\
A = \frac{2\left(\text{sen}\left(3\cdot \cfrac{\pi}{3}\right)-3\cdot \cfrac{\pi}{3}\cos \left(3\cdot \cfrac{\pi}{3}\right)\right)}{9}-0\\
\ \\
A = \frac{2}{9} \left( \text{sen}(\pi) - \pi\ \cos(\pi)\right)\\
\ \\
A = \frac{2}{9} \left( 0 - \pi \ (-1)\right)\\
\ \\
A = \frac{2}{9}\ \pi\\
\ \\
A = 0,69813\cdots
$$
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