As Limitações da Mecânica Newtoniana e a Teoria da Relatividade

As aplicações da Mecânica Newtoniana, utilizadas no estudo de um grande número de fenômenos, fizeram com que as leis básicas lançadas por Newton prevalecessem durante cerca de $200$ anos.

No final do século $\text{XIX}$, os cientistas começaram a encontrar algumas situações que não podiam ser descritas adequadamente através das Leis de Newton. Ao ser utilizada para explicar o comportamento de certos corpos em movimento, a mecânica clássica fornecia resultados em desacordo com as observações experimentais. Foi verificado que isto ocorria sempre que os corpos atingiam velocidades muito grandes. Mais precisamente, a Mecânica Clássica falhava quando as velocidades dos corpos atingiam cerca de $10\%$ da velocidade da luz, tornando-se as falhas mais acentuadas à medida que as velocidades aumentavam.

A velocidade da luz no vácuo é representada pela letra $c$ e seu valor é de aproximadamente:

$$ c \approx 3,00 \times 10^8\text{ m/s} = 300.000\text{ km/s} $$

Como os corpos com os quais lidamos habitualmente (automóveis, aviões, pedras, bicicletas, etc.) sempre se movem em velocidades baixas, muito inferiores a $10\%$ da velocidade da luz — o que daria cerca de $30.000\text{ km/s}$ —, as Leis de Newton podem ser usadas sem nenhuma restrição para descrever seus movimentos. Mesmo para o cálculo de órbitas e dos lançamentos dos modernos e velozes foguetes e satélites, as Leis de Newton são utilizadas com pleno êxito.

Para contornar esses limites, tornava-se necessário formular uma nova teoria que substituísse ou complementasse a Mecânica Newtoniana, podendo ser utilizada para descrever movimentos em quaisquer velocidades. Em $1905$, Albert Einstein apresentou a sua célebre Teoria da Relatividade Restrita. Nesta nova teoria, Einstein propunha equações para substituir as equações da Mecânica de Newton, as quais, ao serem aplicadas ao movimento de partículas rápidas, forneciam resultados em perfeita conformidade com as observações experimentais.

É interessante observar que essas equações de Einstein coincidem com as equações de Newton nos casos em que a velocidade da partícula é muito menor que a da luz. Em outras palavras, a Mecânica Newtoniana tornara-se um caso particular da Mecânica Relativística.

Uma proposta fundamental da Teoria da Relatividade refere-se ao fato de a velocidade da luz ter o mesmo valor em qualquer sistema de referência inercial. Como forma de exemplificar esta afirmação, considere um observador $A$ dentro de um vagão que se movimenta com velocidade $v$ em relação à Terra, e um observador $B$ parado sobre o solo. Se uma lanterna estiver ligada dentro do vagão, direcionada no mesmo sentido do movimento, ela emite um feixe luminoso que se propaga com velocidade $c$ em relação ao observador $A$.

De acordo com a Mecânica Clássica, se o observador $B$ medisse a velocidade desse feixe de luz, deveria encontrar um resultado igual a $c + v$. Entretanto, de acordo com a proposta de Einstein, a velocidade do feixe de luz medida por $B$ sempre será igual a $c$, isto é, a velocidade da luz não varia quando se muda de referencial. Embora pareça contraintuitivo, esse fato tem sido amplamente confirmado em várias verificações experimentais.

Segundo a Segunda Lei de Newton, a massa de um corpo é uma constante característica desse corpo. No entanto, uma das equações da Teoria da Relatividade afirma que a massa $m$ de uma partícula que se move com velocidade $v$ é dada por:

$$ m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \tag{1} $$

onde $m_0$ é a massa de repouso da partícula (quando sua velocidade é zero).

Analisando esta equação, vemos que a massa da partícula é variável, sendo tanto maior quanto maior for a sua velocidade $v$. Isto significa que a inércia de uma partícula — ou seja, a "dificuldade" que ela apresenta para ser acelerada — é tanto maior quanto mais rapidamente ela estiver se movendo.

Porém, na relação $(1)$, se $v$ for muito menor do que $c$ ($v \ll c$), teremos o quociente $v^2 / c^2$ praticamente igual a zero, e as variações na massa serão imperceptíveis. Nestas condições, temos:

$$ m \approx m_0 $$

Confirmando que, para uma velocidade $v$ pequena em relação a $c$, as Leis da Mecânica Relativística coincidem com as Leis de Newton.

Na Mecânica Clássica, não há limitação para o valor da velocidade que um corpo pode adquirir: uma vez que uma força atuando em um objeto provoca nele uma aceleração, sua velocidade poderia crescer indefinidamente enquanto durasse a ação da força.

Pela Teoria da Relatividade, a massa de uma partícula aumenta com a sua velocidade. Então, se a velocidade da partícula atingisse o valor da velocidade da luz ($v = c$), a equação $(1)$ nos mostra que a massa dessa partícula se tornaria infinitamente grande $\left(\displaystyle \lim_{v \to c} m = \infty \right)$, o que é um absurdo físico. Isto nos leva a concluir que nenhum corpo com massa de repouso poderá atingir ou ultrapassar a velocidade da luz. Logo, a velocidade da luz é um limite superior para a velocidade dos corpos materiais.

Este fato é confirmado experimentalmente nos grandes laboratórios do mundo, onde partículas atômicas são aceleradas alcançando velocidades muito próximas da velocidade da luz, sem jamais atingi-la, por mais poderosos que sejam os dispositivos empregados.

Figura 1: Acelerador de partículas linear da Universidade de Stanford (EUA).

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O Acelerador de Partículas Linear construído ao sul de São Francisco, na Universidade de Stanford, possui $2\text{ milhas}$ de comprimento (aproximadamente $3,2\text{ km}$). O SLAC (Stanford Linear Accelerator), como é chamado, foi colocado em funcionamento em $1961$, a um custo de $115\text{ milhões}$ de dólares. Ele pode acelerar elétrons e pósitrons em direção a vários alvos, anéis e detectores.

Einstein percebeu que, quando $v$ é muito grande, a expressão clássica da energia cinética:

$$ E_k = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \tag{2} $$

não fornece corretamente o valor da energia cinética do corpo. Usando as novas ideias da Teoria da Relatividade, Einstein demonstrou que a expressão correta para calcular a energia cinética de um corpo é:

$$ E_k = (m - m_0) \cdot c^2 = \Delta m \cdot c^2 \tag{3} $$

Einstein mostrou que um corpo em movimento apresenta, em relação à sua massa de repouso, um aumento $\Delta m$, e que o produto deste acréscimo de massa pelo quadrado da velocidade da luz fornece a energia cinética do corpo.

Pode-se demonstrar que, para velocidades pequenas comparadas com a velocidade da luz, a expressão $(3)$ é equivalente à expressão $(2)$, como era de se esperar.

Através da equação $(3)$, vemos que quando um corpo adquire energia cinética, sua massa sofre um acréscimo; da mesma forma, quando sua energia cinética diminui, sua massa também diminui. Existe, portanto, uma equivalência direta entre a variação de massa de um corpo e a energia que ele ganha ou perde.

Einstein generalizou estas ideias, concluindo que a variação da massa de um corpo pode ser provocada não apenas por energia cinética, mas por qualquer outra forma de energia fornecida a este corpo ou dele retirada (energia potencial, calor, luz, etc.). Assim, se um corpo receber ou liberar uma quantidade de energia $E$, sua massa sofrerá uma variação $\Delta m$ tal que:

$$ E = \Delta m \cdot c^2 \tag{4} $$

Esta é a famosa equação de Einstein que estabeleceu definitivamente a equivalência entre massa e energia.

De acordo com essa ideia, uma mola comprimida (com energia potencial armazenada) tem massa ligeiramente maior do que quando relaxada, e um veículo em movimento tem massa maior do que quando parado. Entretanto, as variações de massa $\Delta m$ nesses casos do dia a dia, dadas por:

$$ \Delta m = \frac{E}{c^2} $$

são extremamente pequenas devido ao valor elevado de $c^2 \approx 9 \times 10^{16}\text{ m}^2/\text{s}^2$, sendo praticamente impossível detectá-las experimentalmente em sistemas macroscópicos comuns.

Contudo, quando tratamos com partículas atômicas ou nucleares, que podem adquirir energias de valores relativamente elevados em comparação às suas massas mínimas, essas variações de massa tornam-se significativas e indispensáveis nos cálculos.

Quando um núcleo de Urânio-235 é bombardeado por um nêutron, ele sofre fissão, isto é, desintegra-se dando origem a um núcleo de Bário e um núcleo de Criptônio, liberando ainda $3$ nêutrons e uma grande quantidade de energia, conforme ilustra a figura abaixo:

Figura 2: Reação de fissão do Urânio:

$^{235}_{92}\text{U} + ^{1}_{0}\text{n} \to ^{141}_{56}\text{Ba} + ^{92}_{36}\text{Kr} + 3\ ^{1}_{0}\text{n} + \text{Energia}$

Nesta reação nuclear, verifica-se que a massa total dos produtos obtidos (bário, criptônio e nêutrons) é inferior à massa inicial dos reagentes (nêutron e urânio). Essa perda de massa $\Delta m$ é convertida na enorme quantidade de energia $E$ liberada na reação, calculada por:

$$ E = \Delta m \cdot c^2 $$

Na fissão de cada átomo de urânio, é liberada uma quantidade de energia de aproximadamente $10^{-11}\text{ J}$, o que é um valor extremamente elevado em comparação com a energia desprendida em reações químicas comuns.

Em uma bomba atômica, ocorre uma reação em cadeia com fissões sucessivas e ultra-rápidas de um número imenso de núcleos, resultando na liberação súbita de uma quantidade colossal de energia, responsável pelo poder de destruição dessa arma.

A bomba lançada em Hiroshima em $1945$ ocasionou a morte de cerca de $70.000$ pessoas instantaneamente e devastou completamente uma área de $9\text{ km}^2$. Na bomba de Hiroshima foi utilizado o $^{235}\text{U}$, e na de Nagasaki, o $^{239}\text{Pu}$.

Hiroshima (1945)

Nagasaki (1945)

Figura 3: Cogumelos atômicos sobre Hiroshima e Nagasaki em 1945, atingindo cerca de $18\text{ km}$ de altura.

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A bomba de Hiroshima tinha uma potência equivalente a aproximadamente $20.000\text{ toneladas}$ do explosivo químico TNT ($20\text{ quilotons}$).

Hiroshima antes do ataque

Hiroshima depois do ataque

Figura 4: Vista da cidade de Hiroshima antes e depois da explosão atômica.

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Nos reatores nucleares comerciais, as fissões dos núcleos de urânio ocorrem de maneira controlada, permitindo aproveitar o calor gerado para a produção de energia elétrica e pesquisa científica.

Os cientistas também descobriram a existência de antimatéria, como o pósitron (a antipartícula do elétron, com mesma massa mas carga positiva). Quando um elétron e um pósitron se encontram, eles se aniquilam mutuamente, convertendo integralmente suas massas em radiação gama, cuja energia é dada por:

$$ E = \Delta m \cdot c^2 $$

sendo $\Delta m$ a massa total combinada das duas partículas destruídas.

Figura 5: O Sol irradia quantidades colossais de energia produzidas por fusão nuclear em seu núcleo.

No interior do Sol, a fonte primordial de energia é a fusão nuclear, em que $4$ núcleos de hidrogênio se fundem para formar $1$ núcleo de hélio. A massa do núcleo de hélio formado é de $6,646 \times 10^{-27}\text{ kg}$, enquanto a soma das massas dos $4$ núcleos de hidrogênio isolados é de $6,694 \times 10^{-27}\text{ kg}$. A diferença de massa nessa reação é:

$$ \Delta m = (6,694 - 6,646) \times 10^{-27}\text{ kg} \\[1em] \Delta m = 4,8 \times 10^{-29}\text{ kg} $$

A energia $E$ liberada por uma única reação de fusão é:

$$ E = \Delta m \cdot c^2 \\[1em] E = \left(4,8 \times 10^{-29}\right) \cdot \left(3,0 \times 10^8\right)^2 \\[1em] E = 4,32 \times 10^{-12}\text{ J} $$

Avalia-se que ocorrem cerca de $10^{38}$ reações desse tipo por segundo no Sol. Assim, a energia total irradiada a cada segundo é de aproximadamente:

$$ E_{\text{total}} \approx 4,3 \times 10^{26}\text{ J/s} $$

Isto corresponde a uma potência solar contínua de cerca de $4,3 \times 10^{26}\text{ W}$. Graças à sua gigantesca reserva de hidrogênio, o Sol manterá essa emissão estável por bilhões de anos.

Referências:

• [1] Física V1 – Antônio Máximo e Beatriz Alvarenga
• [2] Infopédia - Acelerador de Partículas Linear
• [3] Aventura das Partículas - IFT UNESP
• [4] Bombardeamentos de Hiroshima e Nagasaki - Wikipédia

Veja mais:

• As Leis de Newton
• Calor Específico dos Sólidos
• O Problema do Gato Morto - Vivo de Schrödinger