Os Babilônios utilizavam um algoritmo para aproximar uma raiz quadrada de um número qualquer com uma ótima precisão e relativamente simples.
Dado um número $n$, para encontrarmos uma raiz quadrada aproximada, assumimos uma aproximação inicial $a_0$ e calculamos $b_0$. Em seguida, utilizamos o algoritmo:
$$a_k = \frac{a_{k-1}+b_{k-1}}{2}\\
\ \\
b_k = \frac{n}{a_k}
$$
Onde cada iteração $(a_k,b_k)$, para todo $k=1,2,3,\cdots$, encontraremos uma raiz mais aproximada.
O erro da aproximação é dado por $E=|(b_k)^2-n|$. Se o valor absoluto da diferença entre $(b_k)^2$ e $n$ for menor do que a aproximação $\varepsilon$, então tomamos como raiz aproximada.
Exemplo:
Vamos aproximar $\sqrt{3}$ pelo método babilônico com precisão $\varepsilon = 10^{-4}$.
Como a raiz quadrada de $3$ está entre $1$ e $2$, vamos tomar como aproximação inicial $a_0=1,5$.
Inicialmente, calculamos $b_0$:
$$b_0 = \frac{n}{a_0} = \frac{3}{1,5} = 2
$$
Antes de seguir para a próxima etapa, testamos o erro de $b_0$. Como $E=|2^2-3|>10^{-4}$, continuamos para a próxima iteração:
Para $k=1$, primeiro calculamos $a_1$:
$$a_1 = \frac{a_0+b_0}{2}\\
\ \\
a_1 = \frac{1,5 + 2}{2}\\
\ \\
a_1 = 1,75
$$
Agora, calculamos $b_1$:
$$b_1 = \frac{n}{a_1}\\
\ \\
b_1 = \frac{3}{1,75}\\
\ \\
b_1 = 1,714285714
$$
Como $E=|1,714285714^2 - 3|>10^{-4}$, continuamos para a próxima iteração:
Para $k=2$, calculamos $a_2$:
$$a_2 = \frac{a_1+b_1}{2}\\
\ \\
a_2 = \frac{1,75 + 1,714285714}{2}\\
\ \\
a_2 = 1,732142857
$$
Agora, calculamos $b_2$:
$$b_2 = \frac{n}{a_2}\\
\ \\
b_2 = \frac{3}{1,732142857}\\
\ \\
b_2 = 1,731958762
$$
Como $E=|1,731958762^2 - 3|>10^{-4}$, continuamos para a próxima iteração:
Para $k=3$, calculamos $a_3$:
$$a_3 = \frac{a_2+b_2}{2}\\
\ \\
a_3 = \frac{1,732142857+1,731958762}{2}\\
\ \\
a_3 = 1,73205081
$$
Agora, calculamos $b_3$:
$$b_3 = \frac{n}{a_3}\\
\ \\
b_3 = \frac{3}{1,73205081}\\
\ \\
b_3 = 1,7320508051
$$
Como $E=|1,73205088051^2 - 3|<10^{-4}$, paramos com as iterações e tomamos $b_3$ como uma raiz quadrada aproximada de $\sqrt{3}$, com precisão até a oitava casa decimal.
Planilhas para download:
Você pode fazer o download de uma planilha com o algoritmo do método babilônico em formado Excel da Microsoft:
Microsoft Excel
As planilhas são como na imagem abaixo:
Nesta planilha, você insere o número que deseja encontrar a raiz quadrada, entra com uma aproximação inicial e uma precisão desejada. Os cálculos são efetuados automaticamente através das fórmulas previamente inseridas nas células.
Quando o algoritmo encontrar uma aproximação de acordo com a precisão desejada, os cálculos param e a mensagem "Aproximação encontrada" é exibida. No caso da imagem acima, foi encontrada uma aproximação da raiz quadrada de três, com uma precisão de dez casas decimais, com apenas 4 iterações.
Referências:
- Introdução à História da Matemática - Howard Eves
Links para este artigo:
- http://bit.ly/metodo-babilonico-raiz-quadrada
- https://www.obaricentrodamente.com/2008/11/metodo-babilonico-para-calcular-raziz-quadrada.html
Veja mais:
- Método de Heron para calcular raiz quadrada
- Método de Newton para calcular raiz quadrada
- Utilizando tábuas de logaritmos para calcular raiz quadrada
Atualização:
- Artigo atualizado em 07/04/2021
Obrigada! seu artigo é fácil de entender, e foi muito útil, pois precisava dessa pesquisa para a escola. muito obria mesmo!
ResponderExcluirOlá Arllequina, eu que agradeço sua visita! Infelizmente não tenho muito tempo para publicar periodicamente artigos no Blog, mas se precisar de algo específico, mande-me um e-mail para tentar ajudá-la. Um abraço!
ResponderExcluir(LÉO)_tem um modo mais fácil mas não tão exato entretanto passa perto, exemplo:
ResponderExcluirRaíz de 17.
É a raiz de 16 + 1, então sabe-se que a raiz de 16 é = 4.
O 1 resntante divide pela raíz anterior
= raiz de 1 divid. : por raiz de 1
Pois raíz de 1 é 1, e raíz de 16 = 4.
então fica 1:por4 = 0,25 dividindo por 2 pala regra = 0,123...
então soma-se 4+0,123 = 4,123...
desculpa qualqer coisa, eu não levo jeito pra explicar.
quem tiver um desáfio matemático manda pra min que agradeço.
leoforntino@hotmail.com
preciso de outro exemplo
ResponderExcluirO método chega no mesmo resultado que o obtido utilizando-se Newton-Raphson para cálculo de raízes quadradas. Interessante!
ResponderExcluirSim, mas o método de Newton converge mais rapidamente para a raiz.
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