Método Babilônico para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n

Os Babilônios utilizavam um algoritmo para aproximar uma raiz quadrada de um número qualquer com uma ótima precisão e relativamente simples.

Dado um número $n$, para encontrarmos uma raiz quadrada aproximada, assumimos uma aproximação inicial $a_0$ e calculamos $b_0$. Em seguida, utilizamos o algoritmo:

$$

a_k = \frac{a_{k-1}+b_{k-1}}{2}\\

\ \\

b_k = \frac{n}{a_k}

$$

Onde cada iteração $(a_k,b_k)$, para todo $k=1,2,3,\cdots$, encontraremos uma raiz mais aproximada.

O erro da aproximação é dado por $E=|(b_k)^2-n|$. Se o valor absoluto da diferença entre $(b_k)^2$ e $n$ for menor do que a aproximação $\varepsilon$, então tomamos como raiz aproximada.

Exemplo:

Vamos aproximar $\sqrt{3}$ pelo método babilônico com precisão $\varepsilon = 10^{-4}$.

Como a raiz quadrada de $3$ está entre $1$ e $2$, vamos tomar como aproximação inicial $a_0=1,5$.

Inicialmente, calculamos $b_0$:

$$

b_0 = \frac{n}{a_0} = \frac{3}{1,5} = 2

$$

Antes de seguir para a próxima etapa, testamos o erro de $b_0$. Como $E=|2^2-3|>10^{-4}$, continuamos para a próxima iteração:

Para $k=1$, primeiro calculamos $a_1$:

$$

a_1 = \frac{a_0+b_0}{2}\\

\ \\

a_1 = \frac{1,5 + 2}{2}\\

\ \\

a_1 = 1,75

$$

Agora, calculamos $b_1$:

$$

b_1 = \frac{n}{a_1}\\

\ \\

b_1 = \frac{3}{1,75}\\

\ \\

b_1 = 1,714285714

$$

Como $E=|1,714285714^2 - 3|>10^{-4}$, continuamos para a próxima iteração:

Para $k=2$, calculamos $a_2$:

$$

a_2 = \frac{a_1+b_1}{2}\\

\ \\

a_2 = \frac{1,75 + 1,714285714}{2}\\

\ \\

a_2 = 1,732142857

$$

Agora, calculamos $b_2$:

$$

b_2 = \frac{n}{a_2}\\

\ \\

b_2 = \frac{3}{1,732142857}\\

\ \\

b_2 = 1,731958762

$$

Como $E=|1,731958762^2 - 3|>10^{-4}$, continuamos para a próxima iteração:

Para $k=3$, calculamos $a_3$:

$$

a_3 = \frac{a_2+b_2}{2}\\

\ \\

a_3 = \frac{1,732142857+1,731958762}{2}\\

\ \\

a_3 = 1,73205081

$$

Agora, calculamos $b_3$:

$$

b_3 = \frac{n}{a_3}\\

\ \\

b_3 = \frac{3}{1,73205081}\\

\ \\

b_3 = 1,7320508051

$$

Como $E=|1,73205088051^2 - 3|<10^{-4}$, paramos com as iterações e tomamos $b_3$ como uma raiz quadrada aproximada de $\sqrt{3}$, com precisão até a oitava casa decimal.

Planilhas para download:

Você pode fazer o download de uma planilha com o algoritmo do método babilônico em formado Excel da Microsoft:

Microsoft Excel

As planilhas são como na imagem abaixo:

Nesta planilha, você insere o número que deseja encontrar a raiz quadrada, entra com uma aproximação inicial e uma precisão desejada. Os cálculos são efetuados automaticamente através das fórmulas previamente inseridas nas células.

Quando o algoritmo encontrar uma aproximação de acordo com a precisão desejada, os cálculos param e a mensagem "Aproximação encontrada" é exibida. No caso da imagem acima, foi encontrada uma aproximação da raiz quadrada de três, com uma precisão de dez casas decimais, com apenas 4 iterações.

Referências:

• Introdução à História da Matemática - Howard Eves

Links para este artigo:

• http://bit.ly/metodo-babilonico-raiz-quadrada
• https://www.obaricentrodamente.com/2008/11/metodo-babilonico-para-calcular-raziz-quadrada.html

Veja mais:

• Método de Heron para calcular raiz quadrada
  
• Método de Newton para calcular raiz quadrada
• Utilizando tábuas de logaritmos para calcular raiz quadrada

Atualização:

• Artigo atualizado em 07/04/2021