26 de dez de 2009

Demonstração dos pontos de Máximo e Mínimo de uma Função Quadrática

Veremos nesta postagem como determinar os pontos de máximo e mínimo de uma função de segundo grau.


Definição $1$: Valor de máximo

Dizemos que o número $Y_M \in Im(f)$ é o valor de máximo da função $y=f(x)$ se, e somente se, $Y_M \geq y$, $\forall\ y \in Im(f)$. O número $Y_M \in D(f)$, tal que $Y_M=f(X_M)$ é chamado de ponto de máximo da função.

Definição $2$: Valor de mínimo

Dizemos que o número $Y_m \in Im(f)$ é o valor de mínimo da função $y=f(x)$ se, e somente se, $Y_m \leq y$, $\forall\ y \in Im(f)$. O número $Y_m \in D(f)$, tal que $Y_m=f(X_m)$ é chamado de ponto de mínimo da função.

Teorema $1$

Se $a<0$, a função quadrática $y=ax^2+bx+c$ admite o valor máximo $\displaystyle Y_M=-\frac{\Delta}{4a}$ para $\displaystyle X_M = -\frac{b}{2a}$.

Teorema $2$

Se $a>0$, a função quadrática $y=ax^2+bx+c$ admite o valor mínimo $\displaystyle Y_m=-\frac{\Delta}{4a}$ para $\displaystyle X_m=-\frac{b}{2a}$.

Demonstração

Para esta demonstração, vamos primeiramente transformar a função quadrática $y=f(x)=ax^2+bx+c$ em sua forma canônica. Iniciamos reescrevendo-a na seguinte forma:
\begin{equation*}
f(x) = ax^2 + \frac{ab}{a}x + \frac{ac}{a}
\end{equation*}
Colocando $a$ em evidência:
\begin{equation*}
f(x) = a\left[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right]
\end{equation*}
Se somarmos e subtrairmos um mesmo valor arbitrário de uma função, a mesma não sofrerá alteração em seu valor final. Utilizaremos um valor conveniente igual a $\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}$:
\begin{equation*}
f(x) = a\left[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \right]\\
\ \\
f(x) = a\left[ \left( x^2+\frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - \left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right) \right]\\
\ \\
f(x) = a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right) \right]
\end{equation*}
Representamos $b^2-4ac$ por $\Delta$, que é o discriminante do triômio do segundo grau:
\begin{equation*}
f(x) = a\left[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]
\end{equation*}
Temos então que:
\begin{equation}
y = a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]
\end{equation}
Se analisarmos a equação $(1)$ mais minuciosamente, podemos concluir que, se $a<0$, o valor de $y$ será tanto maior quanto menor for o valor da diferença:
\begin{equation}
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\Delta}{4a^2}\right)
\end{equation}
E dessa diferença dada em $(2)$, podemos concluir que:

$\bullet$ O valor $\displaystyle -\frac{\Delta}{4a^2}$ é constante, pois não depende da variável $x$, somente dos coeficientes $a$, $b$ e $c$.

$\bullet$ O valor $\displaystyle \left( x+\frac{b}{2a}\right)^2 \geq0,\ \forall \ x \in \mathbb{R}$, já que para quaisquer valores assumidos por $x$, $a$ e $b$, $\displaystyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$ nunca será negativo, pois está elevado ao quadrado.

Reescrevemos a diferença dada em $(2)$ como:
\begin{equation}
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2} = (x+M)^2 - k
\end{equation}
Atribuindo valores para $x$ de modo a averiguar para quais valores assumidos por $x$ leva a diferença $(3)$ ao menor valor possível:

Se $x = -M$, então $(-M+M)^2 - k = 0-k = -k$.

Se $x=1-M$, então $(1-M+M)^2 - k = 1-k$.

Se $x=2-M$, então $(2-M+M)^2 - k = 4-k$.

Se $x=-3-M$, então $(-3-M+M)^2 - k = 9-k$

Podemos notar que para qualquer valor diferente de $-M$ assumido por $x$, a diferença $(3)$ aumenta. Portanto, essa diferença assume o menor valor possível quando $\displaystyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=0$, ou seja, quando $\displaystyle -\frac{b}{2a}$. Então:
\begin{equation*}
y = a\left[ \left(-\frac{b}{2a}+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]\\
\ \\
y = a\left(0^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right)\\
\ \\
y = -\frac{\Delta}{4a}
\end{equation*}
Então, as coordenadas do vértice da parábola são:
\begin{equation*}
x = -\frac{b}{2a} \qquad \text{e} \qquad y=-\frac{\Delta}{4a}
\end{equation*}

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V1 - Gelson Iezzi

Veja mais:

Completando o quadrado
Método de resolução das equações de Sebá
Resolvendo equações quadráticas pelo método geométrico de Descartes



12 de dez de 2009

Código JavaScript Favoritos

Procurei por um bom tempo na net algum código para Adicionar a Favoritos que funcionasse tanto no Firefox como no Internet Explorer. Finalmente encontrei um e adicionei-o como um wideget neste blog (vejam no início na barra lateral).

O código abaixo foi testado no Firefox e no Internet Explorer e funciona em ambos:

 

<script language="JavaScript" type="text/JavaScript">

function favoritos() {

if ( navigator.appName != 'Microsoft Internet Explorer' )

{ window.sidebar.addPanel("Nome do seu blog","Endereço de seu blog",""); }

else { window.external.AddFavorite("Endereço de seu blog","Nome de seu blog"); } }

</script><a title="Rótulo da imagem" href="javascript:void(favoritos());"><img src="Endereço da imagem do ícone" border="0"></a>

 

O texto em vermelho é o nome de seu blog: no meu blog fica: O Baricentro da Mente

O texto em azul é o endereço de seu blog. no meu blog fica: http://obaricentrodamente.blogspot.com/

O texto em verde é o que aparecerá quando o ponteiro do mouse descansa sobre a imagem. No meu blog coloquei: Adicione o Baricentro aos Favoritos

O texto em laranja é o endereço da imagem que você colocará como ícone. Se quiserem utilize a mesma que usei neste link: http://i493.photobucket.com/albums/rr294/kkilhian/70iconefavoritos90.jpg

 

Vejam como está o código que coloquei no widget do meu blog:

 

<script language="JavaScript" type="text/JavaScript">

function favoritos() {

if ( navigator.appName != 'Microsoft Internet Explorer' )

{ window.sidebar.addPanel("O Baricentro da Mente","http://www.obaricentrodamente.blogspot.com",""); }

else { window.external.AddFavorite("http://www.obaricentrodamente.blogspot.com","O Baricentro da Mente"); } }

</script><a title="Adicione o Baricentro aos Favoritos" href="javascript:void(favoritos());"><img src="http://i493.photobucket.com/albums/rr294/kkilhian/70iconefavoritos90.jpg" border="0"></a>

 

Até +

 

.

O Princípio de Cavalieri

Bonaventura Cavalieri nasceu em Milão em $1.598$. Foi aluno de Galileu e atuou como professor da Universidade de Bolonha de $1.629$ até $1.647$, ano de sua morte.

A grande contribuição de Cavalieri à Matemática é o tratado Geometria indivisibilibus de $1.635$. Neste tratado é apresentado o seu método dos indivisíveis, cuja motivação direta se encontre nas tentativas de Kepler de achar certas áreas e certos volumes.

No entanto, é um pouco difícil de descobrir o que ele entendia por "indivisível". Tudo indica que um indivisível de uma porção plana dada é uma corda dessa porção e o indivisível de um sólido é uma secção desse sólido. Considera-se que uma porção plana seja formada por infinitas cordas paralelas. Então, argumentava Cavalieri, fazendo deslizar cada um dos elementos do conjunto das cordas paralelas de uma porção plana dada ao longo de seu próprio eixo, de modo que as extremidades das cordas ainda descrevam um contorno contínuo, a área da nova porção plana é igual à original, uma vez que ambas são formadas pelas mesmas cordas.

Um procedimento análogo pode ser aplicado a um sólido, formado por secções planas e paralelas. Que fornecerá um novo sólido com mesmo volume. Uma ilustração deste resultado pode ser demonstrada utilizando duas pilhas de moedas de mesmo formato: a primeira pilha fazendo um cilindro reto e a segunda com suas laterais deformadas:

[Figura 1: sólidos com moedas]

Obviamente que os volumes serão os mesmos, independentemente da geometria obtida pela deformação na segunda pilha de moedas, uma vez que são utilizadas moedas do mesmo formato e quantidades iguais para cada pilha.

Esses resultados, ligeiramente generalizados, fornecem os chamados Princípios de Cavalieri, que podem ser enunciados como:

$1)$ Se duas porções planas são tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina nas porções segmentos de reta cuja razão é constante, então, a razão entre as áreas dessas porções é a mesma constante. E isso nos leva a dizer que as áreas das duas porções são iguais.

$2)$ Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja razão é constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma constante. Em outras palavras: dois sólidos com a mesma altura têm o mesmo se seccionados por um plano paralelo ao plano onde estão assentados, geram áreas iguais.

Figura 2_800
[Figura 2: comparação de dois sólidos]

Para ilustrar o Princípio de Cavalieri, primeiramente vamos tomar o caso de porções planas, determinando a área compreendida por uma elipse de semi-eixos $a$ e $b$. Considere a elipse:
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \:, \: \text{sendo}\: a>b
\end{equation}

E a circunferência:
\begin{equation}
x^2+y^2=a^2
\end{equation}
onde $a$ é o raio da circunferência.

Sendo as duas referidas ao mesmo sistema de coordenadas retangulares:
Figura 3_300
[Figura 3: circunferência e elipse]

Podemos reescrever a equação da elipse em função de $y$. Tomamos a equação $(1)$:
\begin{equation*}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\end{equation*}
Encontramos o $mmc$:
\begin{equation*}
\frac{x^2b^2+y^2a^2}{a^2b^2}=1
\end{equation*}
Desenvolvendo:
\begin{equation*}
x^2b^2+y^2a^2 = a^2b^2\\
y^2a^2 = a^2b^2 - x^2b^2\\
y^2 = \frac{b^2(a^2-x^2)}{a^2}
\end{equation*}
Chegando finalmente a:
\begin{equation}
y = \frac{b}{a} \cdot \sqrt{a^2 - x^2}
\end{equation}
Agora, reescrevemos a equação da circunferência em função de $y$:
\begin{equation*}
x^2+y^2=a^2\\
y^2=a^2-x^2
\end{equation*}
Encontrando:
\begin{equation}
y=\sqrt{a^2-x^2}
\end{equation}
Substituindo $(4)$ em $(3)$:
\begin{equation}
\sqrt{a^2-x^2}=\frac{b}{a} \cdot \sqrt{a^2-x^2}
\end{equation}

Vemos que a razão entre duas ordenadas correspondentes quaisquer da elipse e da circunferência é $b/a$. Pelo Princípio de Cavalieri concluímos que:
\begin{equation}
A_{\: \text{elipse}} = \frac{b}{a} \cdot A_{\: \text{círculo}}
\end{equation}
Hoje, fica fácil de verificar: sabemos que a área da elipse é dada por $A_{\: \text{elipse}}=\pi ab$ e a área do círculo é dada por $A_{\: \text{círculo}}=\pi a^2$. Substituindo na relação $(6)$, obtemos:
\begin{equation}
\pi ab = \frac{b}{a} \pi a^2
\end{equation}
Portanto, a razão entre duas cordas verticais correspondentes da elipse e da circunferência é $b/a$.

Agora, podemos demonstrar o Princípio de Cavalieri aplicado a sólidos para verificar o volume de uma esfera de raio$r$.

Considere na figura $4$ uma esfera de raio $r$ e uma anticlepsidra (sólido geométrico gerado a partir de um cilindro equilátero onde se subtrai dois cones opostos pelo vértice cujas bases coincidem com as bases do cilindro), assentados num mesmo plano$\alpha$. Seccionando ambos sólidos com um plano $\beta$ paralelo ao plano$\alpha$ a uma altura $h$ dos vértices dos cones:

Principio de Cavalieri_Short
[Figura $4$: Esfera e a anticlepsidra]

Esse plano $\beta$ secciona esfera gerando um círculo de raio s e a anticlepsidra gerando uma coroa circular.

Utilizando da geometria elementar, vamos mostrar que ambas as secções têm área igual a $\pi (r^2-h^2)$.

Da esfera, podemos destacar o triângulo retângulo abaixo e utilizar o Teorema de Pitágoras para escrever o raio $s$ em função de $r$ e $h$.

Figura 5_200

[Figura $5$: triângulo retângulo]

\begin{equation}
r^2=h^2+s^2 \Longrightarrow s^2=r^2-h^2
\end{equation}
A área da secção circular será dada por:
\begin{equation}
A=\pi s^2
\end{equation}

Substituindo $(8)$ em $(9)$, obtemos:
\begin{equation}
A=\pi(r^2-h^2)
\end{equation}

Agora falta mostrar que a área da coroa circular é igual à área da secção circular. Da anticlepsidra destacamos o triângulo retângulo:
Figura 6_00
[Figura $6$: triângulo retângulo]

Por semelhança de triângulos temos que:
\begin{equation}
\frac{r}{h}=\frac{r}{t}
\end{equation}
Segue que
\begin{equation}
t=h
\end{equation}
A área da coroa será dada pela diferença entre a área do círculo de raio $r$ e o círculo de raio $t$:
\begin{equation}
A_C=\pi r^2 - \pi t^2
\end{equation}
Substituindo $(12)$ em $(13)$, obtemos:
\begin{equation}
A_C=\pi (r^2-h^2)
\end{equation}
Provamos que as áreas das secções geradas pelo plano $\beta$ nos sólidos são iguais. Segue-se, então, que pelo Princípio de Cavalieri, que os dois sólidos têm volumes iguais. Logo o volume $V$ da esfera é igual ao volume $V$ da anticlepsidra:
\begin{equation}
V_{esfera} = V_{cilindro} - 2V_{cone} = A_b \cdot - 2\cdot \frac{A_b \cdot h}{3}
\end{equation}
Como no cilindro equilátero a altura $h$ é igual a $2r$, temos:
\begin{equation}
V_{esfera}=\pi r^2 \cdot 2r - \frac{2}{3}\cdot \pi r^2 \cdot r = 2\pi r^3- \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi r^3
\end{equation}
O que é feito no Princípio de Cavalieri é uma comparação entre dois sólidos. Mas, temos que escolher convenientemente esses sólidos para obtermos resultados satisfatórios. Vejam que, se compararmos dois prismas, se seccionarmos por um plano paralelo em qualquer altura dos sólidos as áreas geradas serão constantes:
Figura 2_800
[Figura $7$: Comparação entre dois prismas]

No caso de uma comparação entre duas pirâmides seccionadas por planos paralelos, notamos que quanto mais próximo do vértice os sólidos forem seccionados por um plano paralelo, menor será a área gerada. No entanto, esta variação na área será constante para as duas pirâmides. Podemos dizer que a área da secção será $kA_b$ onde $k$ é uma constante e $A_b$ é a área da base. Então a área de cada secção será variável para cada ponto da altura da pirâmide:
Pirâmides
[Figura $8$: Comparação entre duas pirâmides]

Mas, se tomarmos um prisma e uma pirâmide, o Princípio de Cavalieri falha, justamente porque no prisma a área gerada será a mesma independentemente de onde o plano seccioná-lo e já na pirâmide a área gerada será variável, o que torna o método inconsistente. Vejam que, se tomarmos o raio $r$ da base dos dois sólidos como iguais, no cilindro as áreas geradas pelos planos $\beta$ e $\gamma$ são iguais à da base. Já na pirâmide as áreas geradas pelos planos $\beta$ e $\gamma$ são diferentes, diminuindo ao se aproximar do vértice.
Prisma Pirâmide
[Figura $9$: comparação entre prisma e pirâmide]

Os Princípios de Cavalieri representam ferramentas poderosas para o cálculo de áreas, volumes e ademais, sua base intuitiva pode facilmente tornar-se vigorosa com o cálculo integral moderno. Com a aceitação desses princípios como evidentes, intuitivamente, podem-se resolver muitos problemas de mensuração que normalmente requeriam técnicas avançadas de cálculo.

Veja mais:

Demonstração da Fórmula do Volume de Pirâmide
Demonstração da Fórmula do Volume da Esfera
Volume de um Segmento Esférico
Volume de um Elipsóide pelo Princípio de Cavalieri no blog Fatos Matemáticos
 


Demonstração da Fórmula da Área da Esfera

Uma construção dos elementos de área que simplifica as operações com Integral única em coordenadas polares.

A demonstração da fórmula de cálculo da área de uma superfície esférica é algo que sempre instiga os estudantes e é comum encontrar, na rede, perguntas de internautas sobre tal demonstração. Relutando em olhar as demonstrações existentes, tentei algumas vezes chegar a alguma e não consegui. Recentemente, ao descascar uma laranja, retomei o desafio (de fazer sem olhar) construindo o elemento diferencial de área como na Figura 1; aí foi fácil, após a transformação para coordenadas polares, eliminando as retangulares. Porém, ao procurar pela demonstração, para comparar, fiquei surpreso: em LEITHOLD, L. O Cálculo com geometria analítica. 3 ed. Harbra, v.2, na página 59 (integração múltipla em coordenadas esféricas), onde esperava encontrar, não tem; o mesmo em James Stewart – Cálculo. v.2. Na rede, o que encontrei, além de muitas perguntas sobre assunto, foi a derivação do volume. Se já não tivesse feito, iria pensar: humm! A coisa deve ser feia e cabeluda! Além disso, alguns colegas relataram não ter visto, ainda, tal construção do elemento de área. Isso tudo, então, me motivou a apresentar o que segue.

Acredito que outras pessoas já devam ter desenvolvido a mesma demonstração, no entanto, parece difícil de ser encontrada publicada em algum meio. A construção do elemento diferencial de área pode ser considerada análoga à construção que se faz em coordenadas esféricas, ao eliminar a integração em teta (θ) (não sendo necessário integrar para obter a área de cada anel, uma vez que a largura de cada anel é constante) e integrar apenas em fi (φ). Ou seja, a demonstração apresentada a seguir corresponde a se trabalhar com o ângulo complementar a fi (φ).

Elemento diferencial de Área (dA)

Descascando uma laranja em anéis (e não helicoidais), fora do equador, as bordas de cada anel serão circunferências com raios distintos, uma maior que a outra:

[Figura 1: Laranja descascada em anéis]

A largura do anel pode ser descrita pela forma simplificada do comprimento de arco:

clip_image002

onde l é a largura do anel, r é o raio da circunferência e dθ é a variação infinitesimal do ângulo central.

Esquema área superfície esférica

[Figura 2: Esquema]

Mas, se estes anéis tiverem larguras infinitesimais, os raios se confundem e o perímetro do anel de largura infinitesimal é dado por:

clip_image002[4]

Vejam que o perímetro C está em função do raio x. Fazendo uma transformação para coordenadas polares, destacamos na figura 3 o triângulo retângulo da figura 2:

[Figura 3: Triângulo retângulo]

Temos que:

clip_image002[6]

clip_image002[8]

Substituindo a equação ( II ) em ( I ), obtemos:

clip_image002[10]

Vejam que agora o perímetro C está em função do ângulo central θ. Então, a área da superfície do anel de largura infinitesimal será dada pelo produto de seu perímetro C por sua altura l:

clip_image002[12]

clip_image002

clip_image006

Com 0 < θ < π/2

Como o ângulo θ varia de 0 a π/2, obtemos anéis da esfera somente na parte superior ao eixo dos x, e, conseqüentemente, somente a metade da área de sua superfície. Para encontrar a área total, basta multiplicar por 2. Aplicamos, então, a integral definida:

clip_image002[16]

clip_image002[18]

clip_image002[20]

clip_image002[22]

clip_image002[24]

clip_image002[26]

Vejam que o cálculo poderia ter terminado na segunda linha!

A separação didática que os autores normalmente fazem entre os diversos sistemas de coordenadas, com os respectivos exercícios pertinentes a cada um sendo propostos de modo bem “separadinho” pode inibir que o leitor imagine o que foi apresentado acima. Ou seja, tratando, nos tópicos relacionados a coordenadas polares, quase que somente de figuras planas (de espirais a lemniscatas) e, no caso de coordenadas esféricas, com os três parâmetros – mais complicados e com integração em duas e três dimensões – alguns leitores podem ser levados a pensar que a construção do elemento de área só possa ser possível com os recursos de coordenadas esféricas ou retangulares em três dimensões.

Ao ver a resposta que um internauta recebeu (“...derivando o volume ... chagamos assim à fórmula da área. Cqd.”) cheguei a imaginar: a coisa deve ser feia, estão derivando o volume!

E então, como fica o volume? Bom, essa já tem pra todo lado.

O que mais me incomodava era o fato de conseguir fazer a demonstração da fórmula do volume (em “x” e “y”, empregando discos) enquanto a área, essa não saía!

É claro que sabendo a fórmula da área, para fazer o volume, basta partir da 3ª ou 4ª linhas abaixo. Mas é preciso saber como chegar nela!

clip_image002[28]

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clip_image004[4]

clip_image006[4]

clip_image008

clip_image010

Para o volume, veja que a integral interna já está pronta acima. Ou seja, poderíamos começar na 3ª linha. Creio que todos sejam capazes de imaginar o que representa o termo A(r)dr.

Vejam outra demonstração do Volume de esfera aqui.

Os referidos autores, nas obras citadas acima, destacam a importância de se optar por um sistema de coordenadas apropriado, numa integralização desse tipo. Experimente fazer isso em coordenadas retangulares e vai ver que a coisa, realmente, fica feia.

Na verdade, os autores consideram tão evidente e fácil a demonstração que nem, se quer, chegam a propor tal exercício em suas obras! Certamente, com medo de ofender o leitor. Os problemas lá propostos são, sim, muito mais complexos.

Esta demonstração foi elaborada por um amigo:

Engº. Agrônomo Leandro Salles Nogueira
Colégio Cenecista Walter Francklin – Três Rios, RJ
C.E. Dr. Valmir Peçanha – Três Rios, RJ
Ex-monitor de Cálculo I e II – Departamento de Matemática da UFV
lsnogueira82@hotmail.com


Veja mais:

Demonstração da Fórmula do Volume da Esfera
Demonstração da Área do Círculo
Uma Demonstração Para a Área do Pentágono Regular

29 de nov de 2009

O Movimento de Precessão da Terra e Algumas Implicações

Este estudo fiz para meu TCC na graduação em Licenciatura em Matemática. Deu um pouco de trabalho, levei cerca de $18$ meses em pesquisas, desenvolvimento e formatação. Espero que apreciem.

$1 -$ Sinopse

Durante o movimento orbital da Terra, seu eixo de rotação, inclinado cerca de $23,5^\circ$ em relação ao seu plano de órbita, não permanece exatamente apontado para uma mesma direção no espaço, deslocando-se lentamente em torno da Eclíptica, descrevendo a superfície de um cone com vértice no centro da Terra. Este movimento é chamado de precessão e é causado pela ação das forças gravitacionais do Sol sobre o excesso de massa equatorial, gerando um torque sobre a Terra.

Devido ao ciclo da precessão ser lento, cerca de $26.000$ anos, seus efeitos também os são, causando o deslocamento do ponto vernal, antecipação dos equinócios e a constante alteração das coordenadas de um astro qualquer.

$2 -$ Introdução

Com este estudo, pretende-se abordar a teoria que envolve o movimento de precessão da Terra, assim como cálculos matemáticos que levam ao mesmo, demonstrando sua origem física, cujo efeito pode ser explicado pela ação de torques causados pelo Sol sobre o bojo equatorial da Terra, e consequências no decorrer dos anos, visto que a Terra não é uma esfera perfeita causando, por exemplo, o deslocamento dos pólos que descreve a superfície de um cone, alterando, assim, o céu observado.

A Terra não está fixa no espaço e sim em constante movimento. Alguns de seus movimentos são simples de observar, como o movimento de rotação e de translação. Outros, porém, por serem lentos, escapam à percepção. Dos principais movimentos pode-se destacar:

$\bullet$ Movimento de rotação: A Terra gira em torno de seu eixo, inclinado cerca de $23,5^\circ$ em relação ao plano de sua órbita, com a duração de $1$ dia, cerca de $24$ horas.

$\bullet$ Movimento de translação ou revolução: É movimento da Terra em sua órbita elíptica em torno do Sol, com duração de $1$ ano, cerca de $365$ dias.

$\bullet$ Movimento no espaço: O Sol não está fixo, deslocando-se pelo espaço sideral, arrastando consigo todo o sistema planetário, na direção de um ponto chamado Ápex, situado na constelação de Lira.

$\bullet$ Movimento de precessão: É o movimento do eixo da Terra girando em torno do eixo da Eclíptica, com duração de aproximadamente $26.000$ anos.

Ao fato desse movimento causar o deslocamento, lento, mas gradual, do eixo da Terra, seus efeitos e conseqüências também os são, que, para um observador na Terra, se tornam imperceptíveis, portanto, alguns efeitos serão estudados para verificar se o movimento de precessão da Terra influi na vida terrestre.

$3 -$ Precedentes

A longitude de uma estrela é o ângulo formado entre a reta que liga a Terra a ela própria e a reta que liga a Terra ao ponto $\gamma$, que é a intersecção do plano do Equador Celeste com o plano da Eclíptica, onde o Sol passa do hemisfério Sul para o Norte.

Antigamente não era possível sua determinação, pois para a medida deste ângulo seria necessária a observação do ponto $\gamma$, que, sendo puramente geométrico, não pode ser observado.

No ano de $273\: a.C.$, o astrônomo e filósofo grego Timocharis $(320-260\: a.C.)$ efetuou a medida da longitude da estrela Spica $(\alpha \text{Virginis})$ utilizando-se de um eclipse lunar. Timocharis sabia que durante um eclipse lunar, o Sol forma com a Lua um ângulo de $180^\circ $ e, assim, pode-se medir o ângulo $\theta$ formado pela Lua e a estrela conforme mostra a figura $1$:

[Figura $1-$ Esquema utilizado por Timocharis]

Sabia também o dia em que o Sol passava pelo ponto $\gamma$ e que a Terra descreve uma volta completa em torno do Sol em $1$ ano. Com isso, determinou a longitude do Sol da seguinte forma:

Como $t_s - t_\gamma= l_s$ e a revolução da Terra em torno do Sol descreve um arco de $360^\circ$, tem-se a relação:
\begin{equation}
\begin{matrix}
1\: \text{ano}=360^\circ \\
(t_s-t_\gamma)=l_s
\end{matrix}
\end{equation}
onde $t_s$ é a reta que liga a Terra ao Sol, $t_\gamma$ é a reta que liga a Terra ao ponto $\gamma$ e $l_s$ é a latitude do Sol.

Como $1$ ano equivale a $365,212199$ dias, substituindo na relação acima e com um regra de três simples chega-se à relação:
\begin{equation}
l_s=\frac{(t_s-t_\gamma)\cdot 360^\circ}{365,242199}
\end{equation}
Sendo $\beta$ o ângulo entre o Sol e a estrela Spica e $\theta$ o ângulo entre a estrela Spica e a Lua, medido no instante do eclipse lunar, temos que:
\begin{equation}
\beta=180^\circ - \theta
\end{equation}
Com $\beta$ e $l_s$ medidos, determinou-se a longitude da estrela, dada por $l_e$:
\begin{equation}
l_e=l_s + \beta
\end{equation}
Utilizando-se do eclipse lunar, Timocharis efetuou a medida da longitude da estrela Spica, encontrando um valor de $l_e = 172^\circ$.

No ano de $129\: a.C.$, a exatos $144$ anos após a medida de Timocharis, o astrônomo e matemático grego Hiparco refez a mesma medida utilizando-se do mesmo procedimento de Timocharis, encontrando um valor de $l_e = 174^\circ$. Verificou-se, então, uma variação de $2^\circ$ em $144$ anos, resultando $50^{\prime \prime}$ por ano.

A precessão se dá pela mudança do ponto em que o percurso aparente do Sol intercepta o Equador Celeste, se antecipando com o tempo, daí o nome precessão. Assim, Hiparco descobriu que o Sol não está sempre na mesma posição do zodíaco quando ocorrem os equinócios, sendo esta sua maior descoberta científica.

Hiparco viveu na cidade de Alexandria, mas trabalhou, sobretudo, em Rodes, onde construiu um observatório através do qual compilou um catálogo com a posição e a magnitude de $850$ estrelas do firmamento.

$4 -$ Manifestação da precessão

A precessão se manifesta num movimento do eixo Norte-Sul da Terra, em forma da superfície de um cone, coincidindo o vértice do cone com o centro da Terra. Este é o resultado da inclinação do eixo terrestre, cerca de $23,5^\circ$ (exatamente $23^\circ 27^\prime 08^{\prime \prime}$), contra o plano de sua órbita em torno do Sol, combinado ao fator de que a Terra não é uma esfera perfeita e sim achatada nos pólos.

Assim, a força gravitacional do Sol é mais intensa no excesso de massa equatorial, tendendo a endireitá-la. Devido ao movimento de rotação, o efeito resultante é uma lenta mudança de direção do eixo axial no espaço, mudando os pólos celestes. O movimento é similar ao de um pião, figura $2$, que, ao girar, bamboleia em torno de seu eixo, contudo, lento e gradual. No caso da Terra, um ciclo completo leva cerca de $26.000$ anos.

[Figura $2-$ Comparação entre o movimento da Terra e o movimento de um pião]

$4.1 -$ Explicação Geométrica da Precessão

Adotando, conforme mostra a figura $3$, $PN_0$ como Pólo Norte, que é a direção do eixo ortogonal ao plano do Equador $EQ_0$, e $PN_E$ como Pólo Norte da Eclíptica, que é o eixo ortogonal ao plano da Eclíptica, o ponto $\gamma_0$ é o vértice do ângulo de obliqüidade $\varepsilon_0$ formado entre os planos do Equador $EQ_0$ e da Eclíptica. Quando o ponto $\gamma$ se desloca, surge um novo plano do Equador $EQ_1$, originando um novo Pólo Norte correspondente $PN_1$. Consequentemente, surgirá um novo ângulo de obliqüidade, $\varepsilon _1=\varepsilon_0$, entre os planos da Eclíptica e do Equador $EQ_1$, sendo o ponto $\gamma_1$ o vértice. Este processo se repete continuamente, originando infinitos planos do Equador $EQ_N$, Pólos Norte $PN_N$ e pontos $\gamma_N$ até completar um ciclo de $360^\circ$ e recomeçar novamente.

[Figura $3-$ Explicação geométrica da precessão]

Analisando geometricamente, nota-se que houve uma retrogradação do ponto $\gamma$, ou seja, o ponto $\gamma$ deslocou-se no sentido oposto ao movimento do Sol na Eclíptica.

$4.2 -$ Explicação Física da Precessão

Para o estudo físico da precessão, será preciso uma pequena digressão, onde será abordado: A Lei da Gravitação Universal e Momento de Força ou Torque.

$4.2.1 -$ A Lei da Gravitação Universal

Johanes Kepler $(1.571-1.630)$ foi um grande conhecedor de matemática e dedicou a maior parte de sua vida à análise das posições dos planetas.

Através de cálculos matemáticos, Kepler descobriu que os planetas descrevem órbitas elípticas e, assim, o levou a formular suas três leis:

$1^a -Lei das órbitas: Todo planeta descreve uma órbita elíptica em torno do Sol, onde este é um dos focos da elipse:

$2^a -$ Lei das áreas: O raio vetor que liga o Sol ao planeta, descreve áreas iguais em intervalos de tempo iguais:

$3^a -$ Lei dos períodos: O quadrado do período do movimento do planeta ao redor do Sol dividido pela distância média do planeta ao Sol elevado ao cubo é uma constante para todos os planetas:
\begin{equation}
k=\frac{T^2}{R^3}
\end{equation}
onde $T$ é o período de revolução do planeta ao redor do Sol, $R$ é a distância média do planeta ao Sol e $k$ é uma constante de proporcionalidade.

Apesar da três leis de Kepler permitirem grandes avanços na Astronomia, havia uma pergunta ainda sem resposta: Que espécie de força o Sol exerce sobre os planetas, obrigando-os a moverem-se de acordo com as leis descobertas por Kepler?

Newton $(1.642-1.727)$ havia descoberto que qualquer variação de velocidade de um corpo em relação a uma aceleração, diferente de zero, está associado a uma força. Com isso formulou sua segunda lei, que diz que uma força aplicada em um corpo é igual ao produto de sua massa pela aceleração sofrida:
\begin{equation}
\overrightarrow{F}=m\cdot a
\end{equation}
onde $F$ é o vetor força, $m$ é a massa do corpo e $a$ é a aceleração da gravidade.

Associando sua segunda lei às leis de Kepler, Newton chegou à lei da Gravitação Universal, que diz que matéria atrai matéria com uma força diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas:
\begin{equation}
\overrightarrow{F}=G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{d^2}
\end{equation}
onde $F$ é o veotr força, $m_1$ e $m_2$ são as massas dos corpos, $d$ é a distância entre os corpos e $G$ é a constante de proporcionalidade, também chamada de constante gravitacional, não determinada numericamente por Newton. Seu valor foi determinado numericamente em $1.798$ pelo físico inglês Henry Cavendish $(1.731-1.810)$, com o auxílio da balança de rotação de torção de Coulomb, chegando ao valor de:
\begin{equation}
G=6,668 \times 10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}
\end{equation}

$4.2.2 -$ Torque

Do ponto de vista cinemático, pode-se fazer uma analogia entre as grandezas lineares e angulares:
\begin{matrix}
\text{Deslocamento} \: \text{linear}&=& x & \leftrightarrow & \omega& =& \text{Ângulo} \: \text{de} \: \text{rotação}\\
\text{Velocidade} \: \text{linear}&=&v=\frac{dx}{dt}& \leftrightarrow & \omega =\frac{d\theta}{dt}&=&\text{Velocidade}\: \text{angular}
\end{matrix}
Esta analogia é útil para se encontrar uma grandeza análoga à força na dinâmica das rotações. O análogo para a força $\overrightarrow{F}$ para rotações é o torque $\overrightarrow{\tau}$.

Utilizando o trabalho $W$ como forma de encontrar o análogo à força $\overrightarrow{F}$ para rotações, tem-se que, para deslocamentos infinitesimais, numa grandeza linear o trabalho é dado por:
\begin{equation}
\Delta W= \overrightarrow {F} \cdot \Delta x
\end{equation}
onde $\Delta W$ é a variação do trabalho, $\Delta x$ é o deslocamento e $\overrightarrow{F}$ é a força aplicada.

Analogamente, pra rotações têm-se:
\begin{equation}
\Delta W=\overrightarrow{\tau} \cdot \Delta \theta
\end{equation}
onde $\Delta W$ é a variação do trabalho, $\Delta \theta$ é a rotação e $\overrightarrow{\tau}$ é o torque.

Considerando a figura $4$, o ponto $P$ gira em torno do centro $O$ a uma distância $r$ devido à aplicação de uma força $\overrightarrow{F}$ em $P$, formando um ângulo $\varphi$ com a direção de $\overrightarrow{r}$.

[Figura $4-$ Esquema representativo do torque]

A distância da linha de ação $PQ$ da força em relação ao centro $O$ é chamada de braço de alavanca e é dado por $\overrightarrow{b}$.

Para um deslocamento infinitesimal de $P$ para $P^\prime$ é mais eficaz uma força $\overrightarrow{F}$ perpendicular a $r$ em $P$ para provocar uma rotação, pois se $b$ é tão pequena quanto se queira, a força $\overrightarrow{F}$ se projeta na direção de $\overrightarrow{r}$, tornando-se paralela e sem efeito na rotação.

A projeção de $\overrightarrow{F}$ na direção de $\overrightarrow{PP^\prime}$ é dada por:
\begin{equation}
\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}\cdot \text{sen}(\varphi)
\end{equation}
O deslocamento infinitesimal $\overrightarrow{PP^\prime}$ se confunde com a tangente do círculo de raio $r$ em $P$, portanto:
\begin{equation}
\overrightarrow{PP^\prime}\cong \overrightarrow{r} \cdot \Delta \theta = \Delta x
\end{equation}
Substituindo $(11)$ e $(12)$ em $(9)$, tem-se:
\begin{equation}
\Delta W = \overrightarrow{F} \cdot \text{sen}(\varphi) \overrightarrow{r}\cdot \Delta \theta
\end{equation}
Substituindo $(10)$ em $(13)$, tem-se:
\begin{equation}
\overrightarrow{\tau} \Delta \theta = \overrightarrow{F}\cdot \text{sen}(\varphi) \cdot \overrightarrow{r} \cdot \Delta \theta
\end{equation}
Portanto:
\begin{equation}
\overrightarrow{\tau}= \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{r} \cdot \text{sen}(\varphi)
\end{equation}
Pela álgebra vetorial, temos que o produto vetorial entre dois vetores gera um terceiro vetor ortogonal aos dois primeiros, definido por:
\begin{equation}
\left | \overrightarrow{w} \right |=\left | \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v} \right |= \left | \overrightarrow{u} \right |\cdot \left | \overrightarrow{v} \right |\cdot \text{sen}(\theta)
\end{equation}
Comparando $(15)$ com $(16)$, tem-se:
\begin{equation}
\left | \overrightarrow{\tau} \right |=\left | \overrightarrow{F} \right |\cdot \left | \overrightarrow{r} \right |\cdot \text{sen}(\varphi)
\end{equation}
portanto:
\begin{equation}
\left | \overrightarrow{\tau} \right |=\left | \overrightarrow{F} \wedge \overrightarrow{r} \right |
\end{equation}
O vetor $\overrightarrow{\tau}$ definido em $(18)$ é o torque da força $\overrightarrow{F}$ em $P$ em relação ao centro $O$. Portanto, torque é uma medida de quanto uma força age sobre um determinado corpo de modo a fazê-lo girar em torno de seu eixo.

A medida da eficiência de uma força, no que se refere à tendência de fazer um corpo girar em relação a um ponto fixo, chama-se momento da força em relação a esse ponto. O momento de força depende somente da intensidade da força e do braço de alavanca.

O conceito de momento de força, ou torque, é utilizado freqüentemente em nosso cotidiano. Por exemplo: ao fechar uma porta empurrando-a pela extremidade oposta ao eixo de rotação, a força aplicada será menor do que a aplicada num ponto próximo ao eixo de rotação para obter o mesmo efeito. Portanto, quanto maior for a distância da força aplicada ao eixo de rotação, maior será o momento de força, ou seja, maior será o efeito que ela produz.


$5 -$ Forças de ação na Terra

Admitindo somente a interação gravitacional do Sol com a Terra e esta sendo uma esfera homogênea, a força gerada por esta interação seria uma força aplicada no centro da Terra, sem efeito de rotação.

Como a Terra é um elipsoide e a distribuição da massa não é muito bem definida, a força gravitacional do Sol tende a ser mais intensa no excesso de massa equatorial, devido à diferença entre o raio equatorial de $6.378km$ e o raio polar de $6.356km$, sendo, portanto, este excesso de $22km$.

[Figura $5-$ Forças agentes na Terra]

A figura acima esquematiza a interação do Sol com a Terra e as forças agentes sobre a mesma. O ponto $I$ é o centro de massa do hemisfério onde se possui o excesso de massa $m_1$. O ponto $II$ é o centro de massa do hemisfério onde se possui o excesso de massa $m_2$.
Já $b_1$ e $b_2$ são as distâncias respectivas dos pontos $I$ e $II$ em relação ao Sol.  As forças $\overrightarrow{F_1}$ e  $\overrightarrow{F_2}$ são as forças gravitacionais do Sol agindo nos pontos $I$ e $II$. Devido à distância em que a Terra se encontra em relação ao Sol, as linhas de ação das forças gravitacionais podem ser tomadas como paralelas.

Segundo a Lei da Gravitação Universal de Newton, uma força  $\overrightarrow{F}$ diminui de intensidade com o quadrado da distância, portanto  $\overrightarrow{F_1}$é maior que  $\overrightarrow{F_2}$.

Devido ao movimento de rotação da Terra, a ação destas forças nos pontos $I$ e $II$ geram as forças centrífugas  $\overrightarrow{FC_1}$ e $\overrightarrow{FC_2}$.

As forças resultantes desta interação são as forças  $\overrightarrow{FR_1}$ e  $\overrightarrow{FR_2}$. Decompondo-as em componentes verticais e horizontais, as componentes horizontais $\overrightarrow{FH_1}$ e $\overrightarrow{FH_2}$ tendem a distribuir a massa da terra na região equatorial. As componentes verticais $\overrightarrow{FV_1}$ e $\overrightarrow{FV_2}$ são paralelas entre si e formam um binário exercendo um torque no excesso de massa equatorial da Terra. O momento desta força tende a deslocar o Pólo Norte da Terra de maneira a se alinhar com o Pólo Norte da Eclíptica.

Devido ao movimento de rotação da Terra em torno de seu eixo Norte-Sul é gerado uma velocidade angular denotada por $\overrightarrow{\omega N_0}$. As forças $\overrightarrow{F_1}$ e $\overrightarrow{F_2}$ formam um binário gerando um torque sobre a Terra, conforme mostrado na figura acima, conseqüentemente existem as velocidades angulares correspondentes, denotadas por $\overrightarrow{\omega V_1}$ e $\overrightarrow{\omega V_2}$. Decompondo estas velocidades, a resultante é a velocidade angular $\overrightarrow{\omega N_1}$, conforme mostra a figura abaixo:
[Figura $6-$ Decomposição das velocidades angulares agentes na Terra]

Assim, o torque exercido pelas forças gravitacionais do Sol sobre o excesso de massa equatorial da Terra, ocasiona o deslocamento do Pólo Norte $PN_0$ para $PN_1$. O plano do Equador $EQ_0$, por ser perpendicular à $PN_0$, também se desloca, gerando um novo plano do Equador, $EQ_1$, perpendicular a $PN_1$. Consequentemente, o ponto $\gamma_0$  se desloca gerando um novo ponto $\gamma_1$. Este processo gera novos pólos $PN_n$, novos planos $EQ_n$ e novos pontos $\gamma_n$. A projeção dos Pólos $PN_n$  na esfera celeste, conforme mostrado na figura $3$, descreve uma circunferência num período de aproximadamente $26.000$ anos, sendo esta a base de um cone com vértice no centro da Terra.

$6 -$ Nutação

A nutação é uma oscilação na curva circular da precessão, resultando uma curva ondulada, onde o eixo de rotação da Terra oscila em torno de sua posição média, conforme mostra a figura $7$.


[Figura $7-$ Nutação]

Sua origem é a mesma da precessão, no entanto, tem a Lua com sua maior influência. Os períodos da nutação variam desde cerca de $182$ dias até cerca de $18,6$ anos.

Pelo fato de seu efeito ser muito menor do que o causado pela precessão, a nutação só foi descoberta em $1.747$ pelo físico inglês James Bradley, que estudava a estrela $\gamma \text{Draconis}$. Notou que esta estrela apresentava variações regulares com oscilações em pequenas amplitudes e pôde confirmar que estas variações não eram exclusiva da estrela $\gamma \text{Draconis}$, mas acontecia em todas as estrelas do sistema referencial.

$7 -$ Efeitos da Precessão

$7.1-$ Mudanças nas coordenadas de Ascensão Reta e Declinação de uma estrela

O Sistema Equatorial de Coordenadas utiliza o plano equatorial como referência e as posições das estrelas são baseadas em dois ângulos: Ascensão Reta $\alpha$ e Declinação $\delta$ de uma estrela.

Ascensão Reta de uma estrela é o ângulo formado entre as retas que ligam o centro da Terra ao ponto $\gamma$ e ao ponto de intersecção do Equador com o meridiano da estrela, denotada por $P$, conforme mostra a figura $8$. A Ascensão Reta varia entre $0^\circ$ e $360^\circ$, medidos no sentido para o Leste. No entanto, por convenção, a Ascensão Reta é medida em unidades de tempo: em horas, minutos e segundos. Com isto, faz-se a relação:
\begin{equation}
\begin{matrix}
360^\circ & = & 24h\\
\alpha & = & 1h
\end{matrix}
\end{equation}
Utilizando uma regra de três simples, encontra-se que $1^h$ equivale a $15^\circ$.

Declinação de uma estrela é o ângulo formado entre as retas que ligam o centro da Terra à estrela e ao ponto de intersecção do Equador com o meridiano da estrela, conforme mostra a figura $8$. A Declinação é medida em graus, minutos e segundos de arco e varia de $–90^\circ$ à $90^\circ$, sendo no Equador igual a $0^\circ$, em direção ao Pólo Norte $\delta > 0$ e em direção ao Pólo Sul, $\delta < 0$. O complemento da declinação é chamado de Distância Polar, denotado por ρ, que é o ângulo formado pelas direções do centro da Terra à estrela e ao Pólo Norte, dado por: $\rho = 90^\circ ─ \delta$.

[Figura $8-$ Coordenadas Equatoriais: Ascensão Reta e Declinação]

A precessão causa o deslocamento do ponto $\gamma$ no sentido contrário ao da rotação da Terra, consequentemente este deslocamento causa variações nas coordenadas de Ascensão Reta e Declinação de uma estrela. Estas variações da Ascensão Reta, $\Delta _\alpha$, e Declinação, $\Delta_\delta$∆, são dadas por:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\Delta_\alpha & = & \alpha_1 - \alpha_0\\
\Delta_\delta & = & \delta_1 - \delta_0
\end{matrix}
\end{equation}
onde $\alpha_0$ é a ascenção reta relativa a $\gamma_0$, $\alpha_1$ é a escenção reta relativa a $\gamma_1$, $\delta_0$ é declinação relativa a $\gamma_0$ e $\delta_1$ é a declinação relativa a $\gamma_1$.

$7.2 -$ Antecipação dos equinócios

Os equinócios são os dois únicos dias no ano em que o dia e a noite têm a mesma duração. São os equinócios de primavera e de outono, que ocorrem, respectivamente, em torno de $22$ de setembro e $21$ de março no hemisfério Sul.

Os equinócios acontecem quando o Sol, em seu movimento aparente, está sobre os pontos de intersecção dos planos da Eclíptica com o do Equador, passando do Hemisfério Sul para o Norte no equinócio de outono, em março e do hemisfério Norte para o Sul no equinócio de primavera, em setembro. Esses pontos são chamados de ponto vernal ou ponto $\gamma$ e ponto $\Omega$, respectivamente.

Como a precessão causa o deslocamento do ponto vernal no sentido contrário ao da rotação da Terra, os pontos equinociais se deslocam de modo a se antecipar com o tempo. A figura $9$ mostra a variação do equinócio tendo como referência os anos de $1.975$ e $2.000$:

[Figura $9-$ Precessão do equinócio]

A Ascensão Reta da estrela aumentou em $1^m,28$, equivalente a $0,32^\circ$, ou seja, aumentou $19^\prime 12^{\prime \prime}$. A Declinação da estrela aumentou $8^\prime ,4$, ou seja, aumentou $8^\prime 24^{\prime \prime}$.

A tabela abaixo mostra as coordenadas do Sol nos equinócios:

[Tabela $1-$ Coordenadas do Sol nos equinócios]

Na Astrologia, os signos zodiacais foram designados pelos nomes das constelações por Hiparco, divididos em $12$ partes e seqüenciados a partir do ponto vernal. Na época, a constelação observada no equinócio de março, era a de Áries. Como a precessão causa a antecipação do ponto vernal, hoje nos equinócios de março a constelação vigente é a de Peixes. Portanto, as constelações zodiacais observadas nos equinócios mudam a cada $2.000$ anos, aproximadamente, antecipando lentamente o conjunto dos signos.

$7.3 -$ Mudança do céu

Devido às variações dos Pólos da Terra causados pela precessão, conseqüentemente o céu observado também varia. Hoje, o Pólo Norte aponta para as proximidades da estrela Polar, na constelação da Ursa Menor. Como a precessão leva cerca de $26.000$ anos para completar seu ciclo, daqui a $13.000$ anos o Pólo Norte apontará para as proximidades da estrela Vega, na constelação de Lira. A figura $10$ mostra o percurso no Pólo Norte Celeste em torno do Pólo Norte da Eclíptica:

[Figura $10-$ Percurso do Pólo Norte Celeste em torno do Pólo Norte da Eclíptica
Fonte: BIERRENBACH, $(2.004, p. 45)$]

$8 -$ Correção da precessão

Para calculara correção das coordenadas de Ascensão Reta e Declinação, utilizam-se as fórmulas:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\frac{d\delta}{dt}=N\cdot \cos(\alpha)\\
\frac{d\alpha}{dt}=M+N\cdot \text{sen}(\alpha)\cdot\text{tg}(\delta)
\end{matrix}
\end{equation}
As fórmulas e os valores para $M$ e $N$ dados acima são válidos para um prazo de $20$ anos, centrados no ano $2.000$. São dados pelo The Astronomical Almanac, publicado por U. S. Nautical Almanac Office nos Estados Unidos (UNNO) e Her Majesty's Nauticali no Reino Unido (HMNAO), conforme SANTIAGO, $(2005, p.76)$. As variações para $\alpha$ e $\delta$ são dadas em segundos de tempo e segundos de arco, respectivamente.

$8.1 -$ A estrela Sirius

A estrela Sirius é a mais brilhante no céu noturno, visível na constelação de Cão Maior e encontra-se a apenas $8,7$ anos-luz da Terra.

Em  $18.62$ descobriu-se que Sirius é na verdade um sistema binário. A estrela principal é aquela visível no céu e é chamada de Sirius $A$. Possui uma luminosidade de $23$ vezes maior que a do Sol e sua massa é cerca de $2,1$ massas solares. Sua companheira, muito menos brilhante, é a Sirius $B$ e foi a primeira estrela anã branca a ser descoberta, possuindo uma massa aproximadamente igual à do Sol, mas com diâmetro cerca de $50$ vezes menor.

Dadas as coordenadas de Ascensão Reta e Declinação de Sirius no ano $2.000$:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\alpha &=& 06^h \: 45^m \: 08,9^s\\
\delta &=& -16^\circ \: 42^\prime \: 58^{\prime \prime}
\end{matrix}
\end{equation}
Para observar a estrela no ano de 2007, será preciso ajustar as coordenadas do telescópio devido às variações causadas pela precessão.

O primeiro passo é transformar suas coordenadas para graus decimais. Para a Ascensão Reta, faz-se:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\alpha = 06^h \: 45^m \: 08,9^s\\
\alpha = 06 + \frac{45}{60} +\frac{08,9}{3600}\\
\alpha = 6,7524722^\circ
\end{matrix}
\end{equation}
Como $1^h$ equivaçe a $15^\circ$, multiplica-se o valor de $\alpha$ por $15$, encontrando:
\begin{equation}
\alpha = 101,2870833^\circ
\end{equation}
Para a Declinação, faz-se:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\delta = -16^\circ \: 42^\prime \: 58^{\prime \prime}\\
\delta = -\left( 16+ \frac{42}{60} + \frac{58}{3600}\right)\\
\delta = -16,716111^\circ
\end{matrix}
\end{equation}
Para calculara correção da Ascensão Reta, faz-se
\begin{equation}
\begin{matrix}
\frac{d\alpha}{dt}=M+N\cdot \text{sen}(\alpha)\cdot\text{tg}(\delta) \\
\frac{d\alpha}{dt}=3,07419+20,0383\cdot\text{sen}(101,2870833)\cdot \text{tg}(-16,716111)\\
\frac{d\alpha}{dt}=-2,827336605 \cong -2,83 \:s/ano
\end{matrix}
\end{equation}
Para calcular a correção da coordenada de Declinação, faz-se:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\frac{d\delta}{dt}=N\cdot \cos(\alpha)\\
\frac{d\delta}{dt}=20,0383 \cdot \cos(101,2870833)\\
\frac{d\delta}{dt}=-3,921997578^{\prime \prime} \cong -3,922 \:^{\prime \prime}/ano
\end{matrix}
\end{equation}
Estes valores encontrados são as variações das coordenadas referentes a $1$ ano. Como deseja-se saber a variação em $7$ anos, multiplica-se estes valores por $7$. encontrando:
\begin{equation}
\Delta \alpha = -19,81^s\\
\Delta \delta = -27,454^{\prime \prime}
\end{equation}
onde $\Delta \alpha$ é a variação da coordenada de Ascensão Reta em $7$ anos e $\Delta \delta$ é a variação da coordenada de Declinação em $7$ anos.

Para computar as coordenadas para o ano de $2.007$, estas variações devem-se ser adicionadas às coordenadas do ano $2.000$:
\begin{equation*}
\alpha_{2000}+\Delta \alpha = \alpha_{2007} \Rightarrow 06^h45^m08,9^s-19,81^s=06^h44^m49,09^s\\
\delta_{2000}+\Delta \delta=\delta_{2007} \Rightarrow-16^\circ42^\prime58^{\prime \prime}-27,454^{\prime \prime}=-16^\circ 43^\prime 25,45^{\prime \prime}
\end{equation*}
Portanto, as coordenadas da estrela Sirius em $2.007$ serão:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\alpha&=&06^h44^m49,09^s\\
\delta&=&16^\circ 43^\prime 25,45^{\prime \prime}
\end{matrix}
\end{equation}

$9 -$ Conclusão

Através deste estudo foi possível verificar as origens da precessão, assim como alguns de seus efeitos sobre a Terra.

Verificou-se, então, que a precessão é causada pelas forças gravitacionais do Sol, que geram um torque na Terra, deslocando seus pólos, o plano do Equador e, consequentemente, o ponto $\gamma$, que se desloca lentamente num sentido retrógrado ao movimento de rotação da Terra. Esta retrogradação provoca a mudança do céu observado, causando alterações nas coordenadas equatoriais de um astro e a antecipação dos equinócios.

Devido ao movimento de precessão da Terra ser muito lento, onde um ciclo leva cerca de $26.000$ anos, seus efeitos são imperceptíveis para um observador na Terra. No entanto, para um astrônomo observar um astro qualquer é necessário ajustar as coordenadas em seu telescópio para corrigir as variações causadas pela precessão.

Logo, os efeitos causados pela precessão influem somente em questões observacionais, não afetando a vida terrestre.

$10 -$ Referências bibliográficas

[1] BIERRENBACH, G. L. N. Astronomia de Posição: Notas de Aula. V. 30.11.2004.
[2] CHUN, W. I. Estudo da Precessão e Nutação. Trabalho (Graduação I em Geofísica) – Instituto Astronômico e Geofísico. São Paulo: Universidade de São Paulo, 1992.
[3] MILONE, A. M.; WUENSCHE, C. A.; RODRIGUES, C. V.; et al. Introdução à Astronomia e Astrofísica. INPE, 2006.
[4] NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica, V1 Mecânica. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1981.
[5] PARANÁ, D. N. S. Física—Mecânica, V1. 10. ed. São Paulo: Ática, 2003.
[6] REINHARDT, R. Elementos de Astronomia e Mecânica Celeste, São Paulo: Edgard Blücher, 1975.
[7] SANTIAGO, B.; SALVIANO, A. Astronomia Geodésica:Posicionamento pelas Estrelas.
[8] SCIENTIFIC AMERICAN GÊNIOS DA CIÊNCIA - NEWTON: O PAI DA FÍSICA MODERNA. No. 1. São Paulo: Duetto Editorial, 2005-.
[9] STEINBRUCH, A; WINTERLE, P. Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: McGraw Hill, 1987.
[10] SYMON, K. R. Mecânica. 2. ed. São Paulo: Campus, 1981.
➊ As Leis de Newton
➋ As Velocidades da Terra
➌ A Lei da Gravitação Universal e o Campo Gravitacional

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