25/04/2010

Demonstração da 1ª Fórmula de De Moivre

Um pouco de História

Abraham De Moivre (Lê-se: Demoavre) (1667 - 1754), um huguenote francês que buscou abrigo no clima politicamente mais ameno de Londres, depois da revogação do Edito de Nantes (1685). De Moivre ganhava a vida na Inglaterra como professor particular e tornou-se amigo íntimo de Isaac Newton.

De Moivre é conhecido principalmente por suas obras Annuities upon Lives, que teve um papel importante na história da matemática atuarial, Doctrine of Chances, que continha muito material sobre teoria das probabilidades e Miscellanea analytica, em que há contribuições a séries recorrentes, probabilidade e trigonometria analítica.

Considera-se, ainda, que De Moivre foi o primeiro a trabalhar com a integral:

clip_image002[3]

Em probabilidade, bem como a curva de frequência normal tão importante em estatística:

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O resultado conhecido por Fórmula de Stirling, tão útil na aproximação de fatoriais de números grandes, ou seja:

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para n muito grande, na verdade é contribuição de De Moivre.

A importante fórmula:

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se tornou a chave da trigonometria analítica, dada por Moivre em 1707 para n inteiro. E será esta fórmula que iremos estudar neste artigo.

Há uma lenda interessante envolvendo a morte de De Moivre. Segundo ela, De Moivre teria revelado, certa ocasião, que daí para frente teria que dormir, em cada dia, quinze minutos a mais do que no dia anterior. E quando essa progressão aritmética atingiu 24 horas ele de fato teria morrido.

Fonte: Introdução à História da Matemática, Eves

 

Potenciação de Números Complexos na forma Polar ou Trigonométrica

Dado um número complexo não – nulo na forma:

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e seja um número n = 1, 2, 3, ...

Podemos escrever a potência do número complexo z como:

clip_image012

clip_image002[6]

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Na maioria dos livros, o autor pula desta parte para a fórmula geral. Vou, aqui, demonstrar a Fórmula geral a partir de n = 1, 2, 3, ...

Para n = 1, teremos:

clip_image010[1]

Para n = 2, teremos:

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Vejam que:

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e

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[Veja demonstração do arco duplo aqui]

Logo temos:

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Para n = 3, teremos:

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clip_image032

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Aqui, faremos uma mudança de variáveis, onde:

clip_image036

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Substituindo na equação acima, teremos:

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clip_image002[8]

clip_image004[4]

Vejam que:

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e

clip_image048

No entanto, as variáveis:

clip_image036[1]

clip_image038[1]

Temos então:

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Logo:

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De modo análogo, podemos calcular a potência de um número complexo na forma polar para n = 4, 5, 6, ...

Assim, podemos generalizar uma fórmula, chegando à 1ª Fórmula de De Moivre:

clip_image056



Quero agradecer ao amigo e seguidor deste blog Ricardo Tavares, por sugerir um post sobre as fórmulas de De Moivre.


Veja mais:

Demonstração da 2ª Fórmula de De Moivre
Aplicação da 2ª Fórmula de De Moivre
Números Complexos

21/04/2010

Demonstração de Funções Trigonométricas do semi-arco

Em alguns livros ou mesmo na internet, tratam estas funções como Divisão de Arcos ou como Arco Metade. Decidi chamar de semi-arco, pelo fato desta demonstração ser de uma arco dividido por 2. Vejamos:

 

clip_image002

Da relação trigonométrica fundamental [veja aqui], temos que:

clip_image004

Para um ângulo qualquer, até mesmo para a metade de θ, a relação (1) continua válida e podemos representar como:

clip_image006

Podemos expressar θ como:

clip_image008

E podemos expressar cos(θ) como:

clip_image010

Mas, como:

clip_image012

[Veja esta demonstração aqui]

Logo termos:

clip_image014

Da relação (2), temos:

clip_image016

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Substituindo (6) em (5), obtemos:

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clip_image032

Sabemos pela relação (4) que:

clip_image034

Da relação trigonométrica fundamental, dada em (2), temos:

clip_image016[1]

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Substituindo a relação (9) em (8), obtemos:

clip_image038

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clip_image002

 

clip_image050

A tangente de um ângulo é dada pela divisão entre o seno e o cosseno deste ângulo, representamos por:

clip_image052

Então, para a tangente do semi-arco, teremos:

clip_image002[6]

Substituindo os valores já determinados para o seno e o cosseno de semi-arcos dados em (7) e (10) na relação (11), obtemos:

clip_image002[4]

clip_image004

clip_image006


Veja mais:

Demonstração da Adição e Subtração de Arcos
Demonstração das Funções Trigonométricas do Arco Duplo
Demonstração da Relação Trigonométrica Fundamental

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