29 de mai de 2010

Livro de Caixas M.C. Escher

Escher foi o filho mais novo do engenheiro civil George Arnold Escher e de sua segunda esposa, Sarah Gleichman. Em 1903, a família mudou-se para Arnhem, nos Países Baixos, onde Escher praticou lições de carpintaria e de piano até à idade de treze anos.

Book of Boxes

[Clique na imagem para o download]

Freqüentou a Escola de Arquitetura e Artes Decorativas, onde iniciou Arquitetura e, mais tarde, Artes decorativas. Em 1922 deixou a escola para se juntar a Samuel Jessurun de Mesquita, que o iniciou nas técnicas da gravura, dedicando-se ao desenho, à litografia e à xilogravura.
Uma das principais contribuições da obra deste artista está em sua capacidade de gerar imagens com impressionantes efeitos de ilusões de óptica, com notável qualidade técnica e estética, tudo isto, respeitando as regras geométricas do desenho e da perspectiva.

Foi numa visita à Alhambra, na Espanha, que o artista conheceu e se encantou pelos mosaicos que haviam neste palácio de construção árabe. Escher achou muito interessante as formas como cada figura se entrelaçava a outra e se repetia, formando belos padrões geométricos. Este foi o ponto de partida para os seus trabalhos mais impressionantes e famosos, que consistiam no preenchimento regular do plano, normalmente utilizando imagens geométricas e não figurativas, como os árabes faziam por causa da sua religião muçulmana, que proíbe tais representações.

A partir de uma malha de polígonos, regulares ou não, Escher fazia mudanças, mas sem alterar a área do polígono original. Assim surgiam figuras de homens, peixes, aves, lagartos, todos envolvidos de tal forma que nenhum poderia mais se mexer. Tudo representado num plano bidimensional.

Destacam-se também os trabalhos do artista que exploram o espaço. Escher brincava com o fato de ter que representar o espaço, que é tridimensional, num plano bidimensional, como a folha de papel. Com isto ele criava figuras impossíveis, representações distorcidas, paradoxos.

Referências:
 
 
Uma aplicação das imagens de Escher está neste livro que é aplicado à produção de caixas ornadas por seus padrões geométricos. Para fazer o download, basta clicar na imagem ao lado.
 

Veja mais:
 

Livro Origami Matemático




Os modelos descritos neste livro são exemplos da arte matemática relativamente nova de dobragem modular de papel, em que se reúne um número de módulos simples dobrados para criar um modelo poliédrico. Este tipo de dobragem de papel teve origem nos EUA, nos tempos de mistura de culturas do início dos anos 60. Desde então ganhou aderentes no mundo inteiro, tornando-se popular até no Japão, o lar tradicional de dobragem de papel com uma só folha, onde é conhecido por origami unitário.

Para além de muitas dobragens novas, este livro contém alguns dos melhores modelos clássicos, escolhidos pela simplicidade e elegância do seu design e pela pura beleza matemática dos próprios poliedros acabados.

Para fazer download deste livro, clique aqui.

Veja mais:

Planificação de Poliedros
Dimensions: Um passeio Matemático
Móbile com Poliedros de Platão no Blog Fatos Matemáticos
Poliedros de Platão no Blog Clave de Pi
Os Poliedros de Leonardo da Vinci no Blog Matemática do Pi

27 de mai de 2010

Números Complexos

Introdução: Um pouco de História

Houve um momento na História da Matemática em que a necessidade de expressar a raiz de um número negativo se tornou fundamental. Em equações quadráticas do tipo:
\begin{equation*}
ax^2+bx+c=0
\end{equation*}
Temos uma fórmula fechada para sua resolução, que é a fórmula para equações de $2^\circ$ grau:
\begin{equation*}
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{equation*}
Sendo $\displaystyle \Delta = b^2-4ac$.
O número $\Delta$ é o discriminante da equação e através dele podemos saber quantas raízes a equação de segundo grau possui:

Se $\Delta > 0$, temos $2$ raízes reais.

Se $\Delta = 0$, temos 1 raiz real.

Se $\Delta < 0$, não temos nenhuma raiz real e aqui que se encontrava o problema: Como expressar a raiz de $\Delta$ se $\Delta < 0$? Isso implicaria em dizer que: qual o número elevado ao quadrado resulta um número negativo?

Então, se tivermos a equação:
\begin{equation*}
x^2-4x+5=0\\
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
x=\frac{4 \pm \sqrt{16-20}}{2}\\
x=\frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2}
\end{equation*}
Vemos que caímos num caso particular em que a fórmula para a equação de $2^\circ$ grau não encontra raízes reais. Para contornar este problema, Bombelli admitiu que:
\begin{equation*}
\sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = 2\sqrt{-1}
\end{equation*}
Assim, considerando um novo tipo de número.

Leonhard Euler $(1707 – 1783)$ usou em $1777$ a letra $i$ para representar o número $\sqrt{-1}$, chamando-o de unidade imaginária, pois $i^2 = -1$.

Logo, seria possível encontrar uma solução para a equação:
\begin{equation*}
x=\frac{4\pm \sqrt{-4}}{2}
\end{equation*}
Fazemos:
\begin{equation*}
x=2 \pm \frac{\sqrt{4\cdot (-1)}}{2} = 2 \pm \frac{2 \sqrt{-1}}{2} = 2 \pm \sqrt{-1} = 2 \pm i
\end{equation*}
Surgiu, assim, um novo tipo de número, chamado por Gauss de Número Complexo, sendo expresso por:
\begin{equation*}
a+bi
\end{equation*}
Gauss, por volta de $1800$, associou a cada número na forma $a + bi$ um ponto $P$ do plano cartesiano, definido pelo par ordenado $(a, b)$:




[Figura 1]

Consequentemente, foi criado um novo conjunto numérico chamado de Conjunto dos Números Complexos e podemos fazer uma representação por diagramas de Venn:




[Figura 2]


Elementos do Conjunto Complexo

Um número complexo costuma-se ser simbolizado pela letra $z$. Qualquer elemento de $z$ de $\mathbb{C}$ tem a forma:
\begin{equation*}
z = a+bi
\end{equation*}
com $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a$ a parte real $(\text{Re}(z))$ e $b$ a parte imaginária $(\text{Im}(z))$

Oposto de um Número Complexo

O oposto de um número complexo $z=a+bi$ é o número complexo:
\begin{equation*}
-z = -a - bi
\end{equation*}

Igualdade de Números Complexos

Dois números complexos $z_1 = a+bi$ e $z_2 = c+di$ são iguais, se, e somente se $a=c$ e $b=d$, de modo que:
\begin{equation*}
a+bi = c+di \Leftrightarrow a=c~\text{e}~b=d
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
\text{Re}(z_1) = \text{Re}(z_2) \Leftrightarrow a=c\\
\text{Im}(z_1) = \text{Im}(z_2) \Leftrightarrow b=d
\end{equation*}

Adição de Números Complexos

Dado dois números complexos $z_ 1 = a + bi$ e $z_2 = c + di$, temos que:
\begin{equation*}
z_1 + z_2 = a+bi + a+di\\
z_1 + z_2 = (a+c) + i(b+d)\\
z_1+z_2 = [\text{Re}(z_1) + \text{Re}(z_2)] + i[\text{Im}(z_1) + \text{Im}(z_2)]
\end{equation*}

Subtração de Números Complexos

Dado dois números complexos $z_ 1 = a + bi$ e $z_2 = c + di$, temos que:
\begin{equation*}
z_1 - z_2 = (a+bi) - (a+di)\\
z_1 - z_2 = a+bi - c - di\\
z_1 - z_2 = (a-c) + i(b-d)\\
z_1 - z_2 = [\text{Re}(z_1) - \text{Re}(z_2)] + i[\text{Im}(z_1) - \text{Im}(z_2)]
\end{equation*}

Conjugado de um Número Complexo

Dado um número complexo $z = a + bi$, o conjugado de $z$ é denominado por $\overline{z}$ e é dado por:
\begin{equation*}
\overline{z} = a-bi \Leftrightarrow z = a+bi
\end{equation*}
Notem que:
\begin{equation*}
z \cdot \overline{z} = (a+bi) (a-bi) = a^2 - abi + abi - b^2i^2 = a^2 - b^2i^2
\end{equation*}
Mas $i^2=-1$, logo:
\begin{equation*}
z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2
\end{equation*}

Multiplicação de Números Complexos

Dados dois números complexos $z_ 1 = a + bi$ e $z_2 = c + di$, o produto $z_1 \cdot z_2$ é dado por:
\begin{equation*}
z_1 \cdot z_2 = (a+bi)(c+di) = ac + adi + cbi + bdi^2
\end{equation*}
Mas $i^2=-1$, logo:
\begin{equation*}
z_1 \cdot z_2 = ac + adi + cbi -bd\\
z_1 \cdot z_2 = (ac - bd)(ad + bc)i
\end{equation*}

Divisão de Números Complexos

Dado dois números complexos $z_1 = a + bi$ e $z_2 = c + di \neq 0$, o quociente $z_1 / z_2$ é obtido multiplicando ambos os termos pelo conjugado do divisor:
\begin{equation*}
\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1}{z_2} \cdot \frac{\overline{z_2}}{\overline{z_2}} = \frac{a+bi}{c+di}\cdot \frac{c-di}{c-di} = \frac{ac - adi + cbi - bdi^2}{c^2 - cdi + cdi - d^2i^2}= \frac{ac - adi + cbi + bd}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}
\end{equation*}
Separando a parte Real da Imaginária, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{z_1}{z_2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i
\end{equation*}

Inverso de um Número Complexo

Dado um número complexo não-nulo $z = a + bi$, o inverso deste número é dado por:
\begin{equation*}
z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{a+bi}
\end{equation*}
Ainda podemos escrever $z ^{– 1}$ como:
\begin{equation*}
z^{-1} = \frac{1}{a+bi} \cdot \frac{a-bi}{a-bi} = \frac{a-bi}{a^2 + b^2}
\end{equation*}

Potências de $i$ com Expoente Natural

Com relação às potências de $i$ com expoente natural, temos que:
\begin{matrix}
i^0 &=& 1\\
i^1 &=& i&&&&\\
i^2 &=& -1&&&&\\
i^3 &=& i^2 \cdot i &=& -1 \cdot i &=& -i\\
i^4 &=& i^2 \cdot i^2 &=& (-1) \cdot (-1) &=& 1\\
i^5 &=& i^4 \cdot i &=& 1 \cdot i &=& i\\
i^6 &=& i^4 \cdot i^2 &=& 1 \cdot (-1) &=& -1\\
i^7 &=& i^6 \cdot i &=& -1 \cdot i &=& -i\\
i^8 &=& i^4 \cdot i^4 &=& 1\cdot 1 &=& 1
\end{matrix}

Percebemos que as potências se repetem de $4$ em $4$. Então, para calcular indicaremos $q$ como quociente e $R$ como resto da divisão de $n$ por $4$:



Daqui temos que $n = 4q + R$. Logo:
\begin{equation*}
i^n = i^{4q+R} =i^{4q} \cdot i^{R} = (i^4)^q \cdot i^R = 1^q \cdot i^R
\end{equation*}

Logo:
\begin{equation*}
i^n = i^R
\end{equation*}
Portanto, para calcularmos $i^n$, basta calcular $i^R$, onde $R$ é o resto da divisão de $n$ por $4$.

Plano de Argand–Gauss

Gauss associou a cada número $z = a + bi$, um ponto $P$ do Plano Cartesiano. A parte Real $(Re)$ do complexo é representada por um ponto no eixo horizontal e este é chamado de Eixo Real. A parte Imaginária $(Im)$, por sua vez, é representada por um ponto no eixo vertical, chamado de Eixo Imaginário. O ponto $P$, correspondente ao número complexo $z = a + bi$ é chamado de imagem ou afixo de $z$.

A interpretação geométrica dos complexos foi descoberta em $1797$ por Caspar Wessel $(1745 – 1818)$, mas somente em $1806$, o matemático suíço Jean Robert Argand $(1768 – 1822)$ publicou um artigo sobre a representação gráfica dos números complexos. Gauss já havia concebido tal representação, mas só a publicou $30$ anos após a publicação de Wessel. Hoje, o plano dos números complexos é conhecido com Plano de Gauss ou Plano de Argand–Gauss e é representado como:



[Figura 3: Plano de Argand-Gauss]

Módulo e Argumento de um Número Complexo

No Plano de Gauss, a distância da origem até o ponto $P$ é chamada de módulo e representada por $|z|$, indicada na figura abaixo pela letra grega $\rho$ (Rô):



[Figura 4: módulo]


Para calcularmos a distância $\rho$, aplicamos o teorema pitagórico no triângulo $OaP$:
\begin{equation*}
\rho ^2 = a^2 + b^2\\
\rho = \sqrt{a^2 + b^2}
\end{equation*}
Algumas propriedades podem ser destacadas:

$P1)$ $|z| \geq 0$

$P2)$ $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$

$P3)$ $|z| = 0 \Longrightarrow z=0$

$P4)$ $|\overline{z}| = |z|$

$P5)$ $\displaystyle \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$


$P6)$ $\displaystyle |z|^n = |z^n|$

O ângulo formado pela reta suporte de $OP$ e o Eixo Real é denominado por $theta$, sendo $0 \leq \theta \leq 2\pi$ e é chamado de argumento de $z$, para $z \neq 0$ e indicamos por $\text{ARG}(z)$. Podemos escrever:
\begin{equation*}
\theta = \text{ARG}(z)
\end{equation*}
Tomando o triângulo retângulo $OaP$ da figura $4$, temos:



[Figura 5: triângulo retângulo]


Daqui obtemos as relações:
\begin{equation*}
\text{sen}(\theta) = \frac{b}{\rho} = \frac{b}{|z|} = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
\cos(\theta) = \frac{1}{\rho} = \frac{1}{|z|} = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
\text{tg}(\theta) = \frac{b}{a}
\end{equation*}

Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos

Seja o número complexo em sua forma algébrica $z = a + bi$, sendo $z \neq 0$. Das relações trigonométricas acima, observadas na figura $5$, temos que:
\begin{equation*}
\text{sen}(\theta) = \frac{b}{\rho} \Longrightarrow b = \rho \cdot \text{sen}(\theta)\\
 \cos(\theta) = \frac{a}{\rho} \Longrightarrow a = \rho \cdot \cos(\theta)
\end{equation*}
Se substituirmos essas relações na forma algébrica de $z=a+bi$ obteremos:
\begin{equation*}
z = a + bi\\
z =  \rho \cdot \cos(\theta) + \rho \cdot \text{sen}(\theta) i\\
z = \rho \left(\cos(\theta) + i ~\text{sen}(\theta)\right)
\end{equation*}
A forma polar de $z$ é muito útil para efetuarmos potenciação e radiciação de números complexos.

Produto de Números Complexos na Forma Polar

Dados os números complexos em sua forma polar:
\begin{equation*}
z_1 = \rho_1 \left(\cos(\theta_1) + i~ \text{sen}(\theta_1)\right)\\
z_2 = \rho_2 \left(\cos(\theta_2) + i~\text{sen}(\theta_2) \right)
\end{equation*}
O produto entre $z_1$ e $z_2$ é dado por:
\begin{equation*}
z_1 \cdot z_2 = \rho_1 \left(\cos(\theta_1) + i~\text{sen}(\theta_1)\right) \cdot \rho_2 \left(\cos(\theta_2) + i~\text{sen}(\theta_2) \right)\\

z_1 \cdot z_2 = \rho_1 \rho_2 \left[\cos(\theta_1)\cos(\theta_2) + i~\cos(\theta_1)\text{sen}(\theta_2) + i~\text{sen}(\theta_1) \cos(\theta_2) + i^2~\text{sen}(\theta_1) \text{sen}(\theta_2)\right]\\

z_1 \cdot z_2 = \rho_1 \rho_2 [(\cos(\theta_1)\cos(\theta_2)-\text{sen}(\theta_1)\text{sen}(\theta_2)\\ + i~(\cos(\theta_1)\text{sen}(\theta_2)+\text{sen}(\theta_1)\cos(\theta_2))]
\end{equation*}
Sabemos que:
\begin{equation*}
\cos(\theta_1)\cos(\theta_2)-\text{sen}(\theta_1)\text{sen}(\theta_2) = \cos(\theta_1 + \theta_2)
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
\text{sen}(\theta_1)\cos(\theta_2)+\text{sen}(\theta_2)\cos(\theta_1) = \text{sen}(\theta_1 + \theta_2)
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
z_1\cdot z_2 = \rho_1 \rho_2[\cos(\theta_1+\theta_2) + i~\text{sen}(\theta_1 + \theta_2)]
\end{equation*}
Por indução temos que:
\begin{equation*}
z_1 \cdot z_2 \cdot ~\cdots ~\cdot z_n =\\ \rho_1\rho_2 \cdots \rho_n[\cos(\theta_1+\theta_2+\cdots + \theta_n) + i~\text{sen}(\theta_1+\theta+2+\cdots+ \theta_n)]
\end{equation*}

Divisão de Números Complexos na Forma Polar

Dados os números complexos em sua forma polar:
\begin{equation*}
z_1 = \rho_1 (\cos(\theta_1) + i~\text{sen}(\theta_1))\\
z_2 = \rho_2 (\cos(\theta_2) + i~\text{sen}(\theta_2))
\end{equation*}
A divisão entre $z_1$ e $z_2$ é dada por:
\begin{equation*}
\frac{z_1}{z_2} = \frac{\rho_1 (\cos(\theta_1) + i~\text{sen}(\theta_1))}{\rho_2 (\cos(\theta_2) + i~\text{sen}(\theta_2))} \cdot \frac{\rho_2 (\cos(\theta_2) - i~\text{sen}(\theta_2))}{\rho_2 (\cos(\theta_2) - i~\text{sen}(\theta_2))}
\end{equation*}
Vamos fazer, separadamente, as multiplicações do numerador e denominador da equação (1):

Numerador:
 \begin{equation*}

\bullet ~\rho_1(\cos(\theta_1)+i~\text{sen}(\theta_1)) \cdot (\cos(\theta_2) -i~\text{sen}(\theta_2))=\\

= \rho_1(\cos(\theta_1)\cos(\theta_2) - i~\cos(\theta_1) \text{sen}(\theta_2) +\\+ i~\text{sen}(\theta_1)\cos(\theta_2) - i^2~\text{sen}(\theta_1)\text{sen}(\theta_2))\\

=\rho_1[(\cos(\theta_1)\cos(\theta_2) + \text{sen}(\theta_1)\text{sen}(\theta_2)) + \\+i~(\text{sen}(\theta_1)\cos(\theta_2) - \text{sen}(\theta_2)\cos(\theta_1))]\\

=\rho_1[\cos(\theta_1-\theta_2) + i~\text{sen}(\theta_1 - \theta_2)]

\end{equation*}

Denominador:
\begin{equation*}

\bullet ~\rho_2(\cos(\theta_2) + i~\text{sen}(\theta_2))(\cos(\theta_2)-i~\text{sen}(\theta_2))=\\
=\rho_2 (\cos^2(\theta_2) - i~\cos(\theta_2)\text{sen}(\theta_2) +\\+ i~\cos(\theta_2)\text{sen}(\theta_2) - i^2~\text{sen}^2(\theta_2))\\
= \rho_2(\cos^2(\theta_2)+\text{sen}^2(\theta_2))\\
=\rho_2(1)=\rho_2

\end{equation*}

Substituindo os valores do numerador e do denominador na divisão original obtemos:
\begin{equation*}

\frac{z_1}{z_2} = \frac{\rho_1 (\cos(\theta_1) + i~\text{sen}(\theta_1))}{\rho_2 (\cos(\theta_2) + i~\text{sen}(\theta_2))} \cdot \frac{\rho_2 (\cos(\theta_2) - i~\text{sen}(\theta_2))}{\rho_2 (\cos(\theta_2) - i~\text{sen}(\theta_2))}\\

\frac{z_1}{z_2} =  \frac{\rho_1[\cos(\theta_1-\theta_2) + i~\text{sen}(\theta_1 - \theta_2)]}{\rho_2}\\

\frac{z_1}{z_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2} [\cos(\theta_1-\theta_2) + i~\text{sen}(\theta_1 - \theta_2)]

\end{equation*}

Potenciação de Números Complexos na Forma Polar - (Primeira Fórmula de De Moivre)

Dado um número complexo não-nulo em sua forma polar $z=\rho [\cos(\theta) + i~\text{sen}(\theta)]$  e um número $n \in \mathbb{N}$ . A n-ésima potência de $z$ será dada por:
\begin{equation*}
z^n = \rho^n[\cos(n\theta) + i~\text{sen}(n\theta)]
\end{equation*}
Para maiores detalhes consulte a demonstração da Primeira Fórmula de De Moivre.

Radiciação de Números Complexos na Forma Polar - (Segunda Fórmula de De Moivre)

Dado um número complexo não-nulo em sua forma polar $z=\rho [\cos(\theta) + i~\text{sen}(\theta)]$. A n-ésima raiz de $z$ será dada por:
\begin{equation*}
z_w = \sqrt[n]{\rho}\left[ \cos\left( \frac{\theta+2k\pi}{n}\right) + i~\text{sen}\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\right]
\end{equation*}
Para maiores detalhes consulte a demonstração da Segunda Fórmula de De Moivre.

Veja mais:


Demonstração da 1ª Fórmula de De Moivre
Demonstração da 2ª Fórmula de De Moivre
Aplicação da 2ª Fórmula de De Moivre
Relação Trigonométrica Fundamental
Adição e Subtração de Arcos

25 de mai de 2010

O “Tempo Absoluto” de Newton

image Em seu grande tratado “Os Princípios Matemáticos da Filosofia Natural”, publicado em 1687, Newton introduziu o conceito de “tempo absoluto”, definindo-o da seguinte maneira:

“O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si só e por própria natureza, flui uniformemente, sem relação com nenhuma coisa externa, e é também chamado de duração”

Um dos objetivos da discussão detalhada feita acima sobre a medida do tempo foi tornar patente o fato de que o tempo físico é definido em termos de relógios, que são objetos concretos, sujeitos às leis físicas, como qualquer outro objeto. A atitude expressa por Newton ignorando este fato foi em parte responsável, dada a autoridade de que se revestia, pelo preconceito de que o tempo não poderia ser afetado por qualquer condição física.

Não podemos saber, a priori, como o andamento de um relógio é afetado por condições físicas extremas, muito remotas de nossa experiência quotidiana, por exemplo, pelo transporte do relógio a velocidades extremamente elevadas (comparáveis à velocidade da luz), ou pela presença de campos gravitacionais extremamente intensos. A experiência mostra que tais condições de fato afetam a marcha do relógio (efeitos da relatividade restrita e da relatividade geral, respectivamente), de forma que hipóteses não-físicas sobre o tempo, como a de Newton, têm de ser revistas nessas condições.

 

Referências:

[1] Física Básica – V.1 – Mecânica - Moysés Nessenzveig


Veja mais:

O Tempo Absoluto de Newton
Medidas de Tempo
Prismas Ópticos

18 de mai de 2010

Livro Pitágoras e seu Teorema

image Em um momento de grande descoberta, uma grande idéia pode mudar o mundo ... Pitágoras foi sem dúvida o primeiro "gênio" da cultura ocidental, estabelecendo uma mistura de intelecto elevado e elevado loucura, os quais tornaram-se características recorrentes dessa herança acadêmica . Mais memorável, ele criou o Teorema de Pitágoras, e estabeleceu o conceito de provas matemáticas. Este livro conta a notável história de vida deste gênio mal compreendido e as transformações que seu trabalho trouxe para a Matemática. “Pitágoras The Big Idea” é apresentado de uma forma acessível e cativante, fornecendo uma explicação do significado de sua obra, seu contexto histórico e científico, e o significado para o mundo em que vivemos.
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Veja provas do Teorema Pitagórico no Blog Fatos Matemáticos. Procure no barra lateral direita e veja uma série de demonstrações

Livro Planolândia - Um Romance de Muitas Dimensões - Edwin A. Abbott


A fértil imaginação do autor, aliada a uma exótica mistura de matemática, física, ficção, crítica social e certa dose de sarcasmo resultaram em uma aventura que mesmo depois de um século de existência constitui leitura deliciosa.

Em Planolândia, figuras geométricas dotadas de características bastante humanas convivem em um universo bidimensional onde a ordem é mantida a ferro e a pelas autoridades poligonais e circulares. No entanto, todas as convicções de um incauto quadrado planolandês ameaçam ruir quando um visitante esférico irrompe para revelar a transtornante existência de uma terceira dimensão...

Faça o download deste livro em formato pdf clique aqui.

15 de mai de 2010

Aplicação da 2ª Fórmula de De Moivre

Dado um número complexo clip_image002, vamos determinar as raízes quartas deste número e representá-las no Plano Argand – Gauss.

Sendo clip_image002[4], temos que:

clip_image002[6]

clip_image002[8]

Portanto:

clip_image002[10]

clip_image002[12]

clip_image002[14]

Encontramos aqui um seno e cosseno negativos. Se analisarmos o círculo trigonométrico abaixo, podemos observar que este ângulo θ está localizado no 3º quadrante.

image

[Figura 1: círculo trigonométrico]

Um ângulo θ1 localizado no 1º quadrante que possui:

clip_image002[16]

clip_image002[18]

é o ângulo de 60°. Mas vejam que o ângulo θ que procuramos possui seno e cosseno negativos. Esta condição só ocorre no 3º quadrante e será dado por:

clip_image002[20]

Podemos, agora, escrevê-lo em radianos. Temos que:

clip_image002[22]

clip_image002[24]

Então:

clip_image002[26]

Logo:

clip_image002[28]

Aplicando a 2º Fórmula de De Moivre, podemos calcular a raiz quarta de z:

clip_image002[30]

clip_image002[32]

Atribuímos valores para k :

clip_image002[34]

clip_image002[36]

clip_image002[38]

Sabemos que π / 3 equivale a 60°, portanto:

clip_image002[40]

clip_image002[42]

clip_image002[44]

clip_image002[46]

clip_image002[48]

clip_image002[50]

Temos que:

clip_image002[52]

O ângulo de 150° está localizado no 2º quadrante, como podemos observar no círculo trigonométrico abaixo:

image

[Figura 2: círculo trigonométrico]

Vejam que o sen(150°) = sen(30°) e o cos(150°) = – cos(30°). Portanto, seu valor correspondente no primeiro quadrante é o ângulo de 30°.

Com isso, podemos exprimir:

clip_image002[54]

clip_image002[56]

clip_image002[58]

clip_image002[60]

clip_image002[64]

clip_image002[66]

clip_image002[68]

Temos que:

clip_image002[70]

O ângulo de 240° está localizado no 3º quadrante, como podemos observar no círculo trigonométrico abaixo:

image

[Figura 3: círculo trigonométrico]

Vejam que sen(240°) = – sen(60°) e o cos(240°) = – cos(60°). Portanto, seu valor correspondente no primeiro quadrante é o ângulo de 60°.

Podemos exprimir:

clip_image002[72]

clip_image002[74]

clip_image002[76]

clip_image002[78]

clip_image002[80]

clip_image002[82]

clip_image002[84]

Temos que:

clip_image002[86]

O ângulo de 330° está localizado no 4º quadrante, como podemos observar no círculo trigonométrico abaixo:

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[Figura 4: círculo trigonométrico]

Vejam que sen(330°) = – sen(30°) e o cos(330°) = cos(30°). Portanto, seu valor correspondente no primeiro quadrante é o ângulo de 30°.

Podemos exprimir:

clip_image002[88]

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clip_image002[94]

Os afixos z0, z1, z2 e z3 pertencem à circunferência de raio centrada na origem. Eles dividem o Plano de Argand – Gauss em 4 partes congruentes e são os vértices de um quadrado inscrito à circunferência:

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[Figura 5: quadrado inscrito à circunferência]

De um modo geral, as afixos zn de um complexo z 0 são vértices de um polígono regular de n lados, inscrito à circunferência de raio e centrada na origem do Plano Complexo.


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