19 de abr de 2015

Integral indefinida do produto de cossenos de monômios de coeficientes angulares diferentes

Neste artigo, veremos como encontrar uma fórmula para calcular a integral do produto de dois cossenos, cujos argumentos são monômios.



Vamos demonstrar que:
\begin{equation}
\int \cos(ax) \cos(bx)dx = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} + \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)}
\end{equation}
onde $a$ e $b$ são constantes, tal que $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$ e $a \neq |b|$.

Demonstração:

Seja a integral:
\begin{equation}
I=\int \cos(ax) \cos(bx)dx
\end{equation}
Das fórmulas de adição e subtração de arcos, obtemos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em uma soma:
\begin{equation}
\cos(m+n) = \cos(m)\cos(n) - \text{sen}(m)\text{sen}(n)
\end{equation}
e
\begin{equation}
\cos(m-n) = \cos(m)\cos(n) + \text{sen}(m)\text{sen}(n)
\end{equation}
Somando $(3)$ e $(4)$, obtemos:
\begin{equation}
\cos(m-n)+\cos(m+n)= 2\cos(m)\cos(n)
\end{equation}
O que nos leva a:
\begin{equation}
\cos(m)\cos(n) = \frac{1}{2} \cos(m-n) + \frac{1}{2} \cos(m+n)
\end{equation}
Fazendo $m=ax$ e $n=bx$, temos que:
\begin{equation}
\cos(ax)\cos(bx) = \frac{1}{2} \cos[(a-b)x] + \frac{1}{2} \cos[(a+b)x]
\end{equation}
Substituindo na integral $(2)$, obtemos:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \int \left[ \cos[(a-b)x] + \cos[(a+b)x] \right] dx
\end{equation}
Integrando termo a termo:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \int \cos[(a-b)x] dx + \frac{1}{2} \int \cos[(a+b)x] dx
\end{equation}
Para o integrando $\cos[(a-b)x]$, fazemos a substituição $u=(a-b)x$. Assim, $du=(a-b)dx$ e $\displaystyle dx=\frac{du}{a-b}$. E para o integrando $cos[(a+b)x]$, fazemos a substituição $v=(a+b)x$. Assim $dv=(a+b)dx$ e $\displaystyle dx=\frac{dv}{a+b}$.

A integral fica:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2(a-b)}\int \cos(u)du + \frac{1}{2(a+b)} \int \cos(v)dv
\end{equation}
A integral de $\cos(\theta) = \text{sen}(\theta)$. Assim:
\begin{gather}
I = \frac{1}{2(a-b)} \cdot \text{sen}(u) + \frac{1}{2(a+b)} \text{sen}(v) +C\\

I = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} + \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)} + C
\end{gather}

Veja mais:

Integral indefinida do produto de senos de monômios de coeficientes angulares diferentes
Método de integração por substituição
Adição e subtração de arcos

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