Resolução da integral $\displaystyle \int \frac{1}{a-bx}\ dx$

Nesta postagem, vamos demonstrar que:

\begin{equation*}
\int \frac{1}{a-bx}dx = -\frac{\ln(a-bx)}{b}+C
\end{equation*}

onde $a$ e $b$ são constantes tais que $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq bx$ e $b \neq 0$.

Seja a integral:

\begin{equation*}
I = \int \frac{1}{a-bx}dx
\end{equation*}

Fazemos a substituição $u = a-bx$. Assim, $du= - b\ dx$ e $\displaystyle dx = -\frac{du}{b}$:

\begin{equation*}
I = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{b}\\
\ \\
I = -\frac{1}{b} \int \frac{1}{u}du
\end{equation*}

A integral de $\displaystyle \frac{1}{u}$ é $\ln(u)$. Assim:

\begin{equation*}
I = - \frac{1}{b} \ln(u)+C
\end{equation*}

Mas $u=a-bx$, logo:

\begin{equation*}
I = -\frac{1}{b} \ln(a-bx) + C\\
\ \\
I = - \frac{\ln(a-bx)}{b}+C
\end{equation*}

Métodos de Integração:

• Por partes
• Tabular
• Por substituição
• Frações parciais
• Substituição trigonométrica
• Integrais literais resolvidas