16/11/2008

Juros compostos

Há tábuas nas coleções de Berlin, Yale e de Louvre que contém problemas de juros compostos. Uma destas tábuas, datadas de $1700$ a.C., apresenta o seguinte problema:

Por quanto tempo deve-se aplicar uma certa soma de dinheiro a juros compostos anuais de $20\%$ para que ele dobre?

Resolvendo este problema pelos métodos modernos, temos que:
$$(1,2)^x \cdot M_0=2M_0$$
Sendo:
$$M_0 \neq 0$$
Onde $M_0$ é o montante inicial e $x$ é o tempo em que deve ser aplicado o montante. Assim, temos:
\begin{matrix}
(1,2)^x &=&2 \left ( \frac{M_0}{M_0} \right )\\
(1,2)^x&=&2\\
\log_{1,2}(2)&=&x\\
\end{matrix}
Utilizando a propriedade dos logaritmos de mudança de base, temos:
\begin{matrix}
\frac{\log 2}{\log 1,2}=x\\
x \approx 3,8\\
\end{matrix}
Portanto, o tempo em que se deve aplicar um montante para que ele dobre a juros compostos de $20 \%$ ao ano é de $3$ anos e $8$ décimos de ano, ou seja, $292$ dias, aproximadamente.

Os babilônios resolveram este problema da seguinte maneira:
\begin{matrix}
(1,2)^1=1,2\\
(1,2)^2=1,44\\
(1,2)^3=1,728\\
(1,2)^4=2,0736\\
\end{matrix}
Passou de $2$.

Graficamente temos:

[Figura 1]

Através de uma interpolação linear de $x$ entre $3$ e $4$, temos:
$$\frac{1,2^4 - 1,2^3}{1,2^4 - 1,2^x}=\frac{4-3}{4-x}$$
Mas $1,2^x=2$, então:
$$\frac{2,0736-1,728}{2,0736-2}=\frac {1}{4-x}$$
$$4-x=0,21296963$$
Ou seja, $3$ anos e $287$ dias.

Lembrando que esta resolução foi elaborada há cerca de $1700 a.C.$ pelos babilônios.

Veja mais: 

Método Babilônico Para Aproximação da Raiz Quadrada de um Número $n$
Ternos Pitagóricos - A Tábua de Plimpton $322$
A História do Número Zero

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