George Boole e a Álgebra do Pensamento

A lógica como ciência remonta a Aristóteles (384-322a.C.), seu criador. No século XVII Descartes (1596-1650) e Leibniz (1646-1716) tencionaram dotá-la de padrões matemáticos, o que pressupões uma simbologia e um cálculo formal próprios. O alcance dessa lógica seria universal, aplicável a todos os campos do conhecimento. Mas nenhum dos dois deixou sobre o assunto senão alguns escritos fragmentados. Inclusive a contribuição de Leibniz, embora específica, somente em 1901 se tornou conhecida.

Assim é que o marco inicial da lógica simbólica, embora Leibniz seja considerado seu fundador, está fincado no ano de 1847 com a publicação das obras Mathematical analysis of logic de George Boole (1815-1864) e Formal logic de Augustus De Morgan (1806-1871).

De família modesta, Boole nasceu em Linciln, na Inglaterra. Sua instrução formal não passou dos graus básicos mas, dotado de grande inteligência, e vendo no conhecimento o caminho de seu gosto para ascender socialmente, enveredou pelo autodidatismo. De início aprendeu por si só latim e grego. Depois, como professor de uma escola elementar, resolveu ampliar seus conhecimentos de matemática, pondo-se a estudar, entre outras, as obras clássicas de Laplace e Lagrange.

O interesse pela lógica certamente derivou de seu relacionamento com De Morgan, de quem ficara amigo. Sua obra citada, embora não lhe  trouxesse grande fama, propiciou-lhe, dois anos depois de publicada, uma nomeação de professor no recém criado Queens Collegem em Cork, Irlanda.

Em 1854 Boole lança sua obra-prima, Investigation of the laws of thought (As leis do pensamento - como usualmente é conhecida), na qual elucida e amplia as ideias de 1847. A finalidade era ainda expressar simbolicamente as leis do pensamento, visando poder usar de maneira mais direta e precisa a dedução lógica.

Boole procurava transformar certos processos elementares do raciocínio em axiomas da lógica. A chamada álgebra dos conjuntos ou álgebra de Boole, introduzida por ele em As leis do pensamento, dá bem uma ideia disso. Boole usava as letras $x,y,z,\cdots$ para indicar partes (subconjuntos) de um conjunto tomado como universo. Se $x$ e $y$ denotavam duas dessas partes, o que hoje chamamos de intersecção e união, Boole indicava por $xy$ e $x+y$, respectivamente. Os símbolos atuais $\cap$ e $\cup$ são devidos a Giuseppe Peano (1858-1932). Na verdade, as uniões consideradas por Boole pressupunham partes disjuntas; a generalização, para o conceito atual, é devida a W.S. Jevons (1835-1882).

Assim, sendo óbvio para o espírito que: $xy=yx$ e $x+y=y+x$, $(xy)z=x(yz)$ e $x+(y+z)=(x+y)+z$ e $x(y+z)=xy+xz$, essas leis foram tomadas como axiomas de sua álgebra. Até aí não há diferença entre as álgebras usuais e a de Boole, sob o aspecto estrutural. Mas nesta última há leis particulares como $x^2=xx=x$ e $x+x=x$. Ou ainda, simbolizando por $1$ o conjunto universo (notação de Boole): $1+1=1$.

Um exemplo menos imediato envolve a lei do terceiro excluído. Por exemplo, se $1$ indica o conjunto de todos os seres vivos e $x$ o conjunto dos gatos, como $1-x$ era para Boole o complemento de $x$, então $x+(1-x)=1$ traduz a lei referida: todo ser vivo ou é gato ou não é gato.

Não passou despercebida por Boole a semelhança entre a álgebra dos conjuntos e a das proposições. Assim é que para duas proposições $p$ e $q$ indicava por $pq$ a conjunção $"p$ e $q"$ e por $p+q$ a disjunção $"p$ ou $q"$. A afirmação $x=1$ significa, nesse contexto, que $x$ é verdadeira e $x=0$ que $x$ é falsa. Mas Boole não foi longe com esse assunto.

Porém já tinha feito o bastante para ser considerado pelo grande matemático e filósofo galês deste século, Bertrand Russell, como o descobridor da matemática pura.

Texto de: Hygino H. Domingues

Referências:

• Fundamentos de Matemática Elementar V1 - Conjuntos e Funções

Veja mais:

• A aritmética de Peano
• Bertrand Russel e o logicismo
• Matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento dos computadores