01/11/2015

George Boole e a Álgebra do Pensamento

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A lógica como ciência remonta a Aristóteles (384-322a.C.), seu criador. No século XVII Descartes (1596-1650) e Leibniz (1646-1716) tencionaram dotá-la de padrões matemáticos, o que pressupões uma simbologia e um cálculo formal próprios. O alcance dessa lógica seria universal, aplicável a todos os campos do conhecimento. Mas nenhum dos dois deixou sobre o assunto senão alguns escritos fragmentados. Inclusive a contribuição de Leibniz, embora específica, somente em 1901 se tornou conhecida.

Assim é que o marco inicial da lógica simbólica, embora Leibniz seja considerado seu fundador, está fincado no ano de 1847 com a publicação das obras Mathematical analysis of logic de George Boole (1815-1864) e Formal logic de Augustus De Morgan (1806-1871).

De família modesta, Boole nasceu em Linciln, na Inglaterra. Sua instrução formal não passou dos graus básicos mas, dotado de grande inteligência, e vendo no conhecimento o caminho de seu gosto para ascender socialmente, enveredou pelo autodidatismo. De início aprendeu por si só latim e grego. Depois, como professor de uma escola elementar, resolveu ampliar seus conhecimentos de matemática, pondo-se a estudar, entre outras, as obras clássicas de Laplace e Lagrange.

O interesse pela lógica certamente derivou de seu relacionamento com De Morgan, de quem ficara amigo. Sua obra citada, embora não lhe  trouxesse grande fama, propiciou-lhe, dois anos depois de publicada, uma nomeação de professor no recém criado Queens Collegem em Cork, Irlanda.

Em 1854 Boole lança sua obra-prima, Investigation of the laws of thought (As leis do pensamento - como usualmente é conhecida), na qual elucida e amplia as ideias de 1847. A finalidade era ainda expressar simbolicamente as leis do pensamento, visando poder usar de maneira mais direta e precisa a dedução lógica.

Boole procurava transformar certos processos elementares do raciocínio em axiomas da lógica. A chamada álgebra dos conjuntos ou álgebra de Boole, introduzida por ele em As leis do pensamento, dá bem uma ideia disso. Boole usava as letras x,y,z, para indicar partes (subconjuntos) de um conjunto tomado como universo. Se x e y denotavam duas dessas partes, o que hoje chamamos de intersecção e união, Boole indicava por xy e x+y, respectivamente. Os símbolos atuais e são devidos a Giuseppe Peano (1858-1932). Na verdade, as uniões consideradas por Boole pressupunham partes disjuntas; a generalização, para o conceito atual, é devida a W.S. Jevons (1835-1882).

Assim, sendo óbvio para o espírito que: xy=yx e x+y=y+x, (xy)z=x(yz) e x+(y+z)=(x+y)+z e x(y+z)=xy+xz, essas leis foram tomadas como axiomas de sua álgebra. Até aí não há diferença entre as álgebras usuais e a de Boole, sob o aspecto estrutural. Mas nesta última há leis particulares como x2=xx=x e x+x=x. Ou ainda, simbolizando por 1 o conjunto universo (notação de Boole): 1+1=1.

Um exemplo menos imediato envolve a lei do terceiro excluído. Por exemplo, se 1 indica o conjunto de todos os seres vivos e x o conjunto dos gatos, como 1x era para Boole o complemento de x, então x+(1x)=1 traduz a lei referida: todo ser vivo ou é gato ou não é gato.

Não passou despercebida por Boole a semelhança entre a álgebra dos conjuntos e a das proposições. Assim é que para duas proposições p e q indicava por pq a conjunção "p e q" e por p+q a disjunção "p ou q". A afirmação x=1 significa, nesse contexto, que x é verdadeira e x=0 que x é falsa. Mas Boole não foi longe com esse assunto.

Porém já tinha feito o bastante para ser considerado pelo grande matemático e filósofo galês deste século, Bertrand Russell, como o descobridor da matemática pura.

Texto de: Hygino H. Domingues

Referências:

  • Fundamentos de Matemática Elementar V1 - Conjuntos e Funções

Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: George Boole e a Álgebra do Pensamento. Publicado por Kleber Kilhian em 01/11/2015. URL: . Leia os Termos de uso.


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4 comentários:

  1. Olá Kleber:

    Acho que em em vez de: x = (y + z) = (x + y) + z,
    deveria ser: x + (y + z) = (x + y) + z

    Abraços

    Prof. Sebá

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    1. Olá Sebá.

      Foi um cochilo na digitação. Já está corrigido.

      Um abraço!

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  2. Olá Kleber,

    Venho por meio deste comentário dizer que adorei o seu site. Eu sou estudante de Física do primeiro período, na UERJ. E como todo aspirante a cientista, a matemática passa a ser parte de nossas vidas, e entender a lógica e a beleza dela, muitas vezes me inspira a continuar a estudar, perceber que ela é linguagem que pode dizer como o universo funciona é sublime. Muitas vezes, nas escolas, aprendemos técnicas e conceitos úteis, mas que não nos inspiram nem um tipo de admiração ou reflexão, pois na maior parte do tempo, somos bombardeados por fórmulas e exercícios, o seu blog (na minha visão), no entanto é uma antítese a forma de ensino de matemática tradicional, é fazer-nos refletir sobre a lógica e o pensamento, e inspirar-nos a aprender. Por isso, eu agradeço pelo trabalho!

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    1. Olá Pedro. Agradeço seu comentário. Sou muito preocupado com o conteúdo que posto, em não ser apenas mais um artigo na internet, com imagens e com a clareza nas passagens.

      Quando estava na graduação, lembro-me bem das dificuldades que tinha em encontrar material razoável. Desde a criação deste blog, muitos outros de qualidade surgiram e pude acompanhar o desenvolvimento.

      Obrigado e um abraço!

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