01/11/2015

George Boole e a Álgebra do Pensamento

A lógica como ciência remonta a Aristóteles (384-322a.C.), seu criador. No século XVII Descartes (1596-1650) e Leibniz (1646-1716) tencionaram dotá-la de padrões matemáticos, o que pressupões uma simbologia e um cálculo formal próprios. O alcance dessa lógica seria universal, aplicável a todos os campos do conhecimento. Mas nenhum dos dois deixou sobre o assunto senão alguns escritos fragmentados. Inclusive a contribuição de Leibniz, embora específica, somente em 1901 se tornou conhecida.

Assim é que o marco inicial da lógica simbólica, embora Leibniz seja considerado seu fundador, está fincado no ano de 1847 com a publicação das obras Mathematical analysis of logic de George Boole (1815-1864) e Formal logic de Augustus De Morgan (1806-1871).

De família modesta, Boole nasceu em Linciln, na Inglaterra. Sua instrução formal não passou dos graus básicos mas, dotado de grande inteligência, e vendo no conhecimento o caminho de seu gosto para ascender socialmente, enveredou pelo autodidatismo. De início aprendeu por si só latim e grego. Depois, como professor de uma escola elementar, resolveu ampliar seus conhecimentos de matemática, pondo-se a estudar, entre outras, as obras clássicas de Laplace e Lagrange.

O interesse pela lógica certamente derivou de seu relacionamento com De Morgan, de quem ficara amigo. Sua obra citada, embora não lhe  trouxesse grande fama, propiciou-lhe, dois anos depois de publicada, uma nomeação de professor no recém criado Queens Collegem em Cork, Irlanda.

Em 1854 Boole lança sua obra-prima, Investigation of the laws of thought (As leis do pensamento - como usualmente é conhecida), na qual elucida e amplia as ideias de 1847. A finalidade era ainda expressar simbolicamente as leis do pensamento, visando poder usar de maneira mais direta e precisa a dedução lógica.

Boole procurava transformar certos processos elementares do raciocínio em axiomas da lógica. A chamada álgebra dos conjuntos ou álgebra de Boole, introduzida por ele em As leis do pensamento, dá bem uma ideia disso. Boole usava as letras $x,y,z,\cdots$ para indicar partes (subconjuntos) de um conjunto tomado como universo. Se $x$ e $y$ denotavam duas dessas partes, o que hoje chamamos de intersecção e união, Boole indicava por $xy$ e $x+y$, respectivamente. Os símbolos atuais $\cap$ e $\cup$ são devidos a Giuseppe Peano (1858-1932). Na verdade, as uniões consideradas por Boole pressupunham partes disjuntas; a generalização, para o conceito atual, é devida a W.S. Jevons (1835-1882).

Assim, sendo óbvio para o espírito que: $xy=yx$ e $x+y=y+x$, $(xy)z=x(yz)$ e $x+(y+z)=(x+y)+z$ e $x(y+z)=xy+xz$, essas leis foram tomadas como axiomas de sua álgebra. Até aí não há diferença entre as álgebras usuais e a de Boole, sob o aspecto estrutural. Mas nesta última há leis particulares como $x^2=xx=x$ e $x+x=x$. Ou ainda, simbolizando por $1$ o conjunto universo (notação de Boole): $1+1=1$.

Um exemplo menos imediato envolve a lei do terceiro excluído. Por exemplo, se $1$ indica o conjunto de todos os seres vivos e $x$ o conjunto dos gatos, como $1-x$ era para Boole o complemento de $x$, então $x+(1-x)=1$ traduz a lei referida: todo ser vivo ou é gato ou não é gato.

Não passou despercebida por Boole a semelhança entre a álgebra dos conjuntos e a das proposições. Assim é que para duas proposições $p$ e $q$ indicava por $pq$ a conjunção $"p$ e $q"$ e por $p+q$ a disjunção $"p$ ou $q"$. A afirmação $x=1$ significa, nesse contexto, que $x$ é verdadeira e $x=0$ que $x$ é falsa. Mas Boole não foi longe com esse assunto.

Porém já tinha feito o bastante para ser considerado pelo grande matemático e filósofo galês deste século, Bertrand Russel, como o descobridos da matemática pura.

Texto de:Hygino H. Domingues

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V1 - Conjuntos e Funções

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4 comentários:

  1. Olá Kleber:

    Acho que em em vez de: x = (y + z) = (x + y) + z,
    deveria ser: x + (y + z) = (x + y) + z

    Abraços

    Prof. Sebá

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    1. Olá Sebá.

      Foi um cochilo na digitação. Já está corrigido.

      Um abraço!

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  2. Olá Kleber,

    Venho por meio deste comentário dizer que adorei o seu site. Eu sou estudante de Física do primeiro período, na UERJ. E como todo aspirante a cientista, a matemática passa a ser parte de nossas vidas, e entender a lógica e a beleza dela, muitas vezes me inspira a continuar a estudar, perceber que ela é linguagem que pode dizer como o universo funciona é sublime. Muitas vezes, nas escolas, aprendemos técnicas e conceitos úteis, mas que não nos inspiram nem um tipo de admiração ou reflexão, pois na maior parte do tempo, somos bombardeados por fórmulas e exercícios, o seu blog (na minha visão), no entanto é uma antítese a forma de ensino de matemática tradicional, é fazer-nos refletir sobre a lógica e o pensamento, e inspirar-nos a aprender. Por isso, eu agradeço pelo trabalho!

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    Respostas
    1. Olá Pedro. Agradeço seu comentário. Sou muito preocupado com o conteúdo que posto, em não ser apenas mais um artigo na internet, com imagens e com a clareza nas passagens.

      Quando estava na graduação, lembro-me bem das dificuldades que tinha em encontrar material razoável. Desde a criação deste blog, muitos outros de qualidade surgiram e pude acompanhar o desenvolvimento.

      Obrigado e um abraço!

      Excluir

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