25/04/2018

O conceito de número é concreto ou abstrato?

Uma das noções mais importantes da Matemática é a de número. Implica, já em suas origens, uma relação complexa entre o pensamento concreto e o abstrato.

Tomemos por exemplo, um par de carneiros, um par de seres humanos e um par de recipientes, utilizados por este casal em suas refeições. O que estes pares têm em comum? Se pensarmos individualmente, nada. No entanto, se levarmos em conta as reuniões de corpos de mesma natureza, poderíamos responder, com base em nossos conhecimentos atuais, que esses grupos têm em comum é o fato de serem constituídos pelo mesmo número de objetos, que no caso é 2. Mas, uma vez que nosso objetivo é investigar o que é o número "2", tal resposta não é a mais adequada.

O conceito de número é concreto ou abstrato?

O procedimento utilizado desde as sociedades antigas, e que está na origem do conceito de número, é a correspondência entre dois grupos de coisas, ou duas coleções. No exemplo citado acima, temos duas coleções compostas de sedes vivos (ovelhas e seres humanos) e podemos associar uma ovelha a um ser humano. Da mesma forma, podemos associar cada recipiente a um ser humano ou a uma ovelha.

Esta correspondência é exatamente do mesmo tipo daquela que empregamos ao "contar nos dedos". Podemos associar, por exemplo, cada ovelha a um dedo das mãos e concluir que em uma certa coleção de ovelhas há a mesma quantidade de dedos nas mãos. Se tivermos dez ovelhas, podemos chamas esta quantidade de "10" e dizer que uma propriedade comum à coleção de ovelhas e à coleção de dedos das mãos é a que ambas possuem 10 seres.

É lícito fazer  a  mesma  coisa  associando  qualquer  coleção  de  seres  a  uma  outra  coleção  de  seres determinada que possua uma quantidade fixa de elementos (como os dedos das mãos). Efetuar uma correspondência entre essas duas coleções de seres é "contar".

O procedimento de contagem dá origem a um "número" que designa a quantidade de seres em  uma  determinada  coleção.  Assim,  a  noção  de  número  traduz  o  fato  de  que,  dadas  duas coleções com o mesmo número de seres, pode se chamar a quantidade de elementos em cada uma dessas coleções pelo mesmo nome: 2, 10, etc. A definição de número implica, portanto, uma "abstração"em relação à qualidade dos seres que estão em cada coleção, para que apenas a sua quantidade seja considerada.

Tal  definição  de  número,  baseada  na  ideia  de  correspondência  um  a  um  entre  objetos diferentes, foi proposta durante o desenvolvimento da teoria dos conjuntos, no século XIX. Mas isso não quer dizer que a noção de número praticada pelos mesopotâmicos fosse concreta, e que tenhamos tido que esperar quase seis mil anos para que uma formalização abstrata dessa noção fosse proposta. O exemplo histórico nos ajuda a compreender em que sentido o número pode ser entendido como uma abstração.

A palavra "abstrair" designa justamente que certas propriedades foram isoladas, separadas dos exemplos concretos em que estão presentes. É possível pensar em uma abstração também quando associamos cores a objetos, pois abstraímos todas as outras características do objeto para nos fixarmos somente em sua cor. No entanto, o número é um conceito abstrato diferente da cor, já que não é uma das propriedades do objeto e sim de uma coleção de objetos. Essa propriedade só pode ser identificada pela associação dessa coleção a outras.

O conceito de número é abstrato, mas não porque pode ser representado por um símbolo, e sim porque pressupõe abstrair a natureza particular dos seres em uma coleção. A abstração torna possível um conceito de número que poderá, então, receber um nome e ser representado por um símbolo.  Assim,  em  diferentes  processos  de  contagem,  ainda  que  o  estabelecimento  de correspondências seja equivalente, os nomes dos números podem diferir.

Antes  do  fim  do  quarto  milênio  a.C.,  os  povos  da Mesopotâmia  desenhavam  símbolos  em  argila.  No  entanto,  inicialmente,  estes  eram  distintos para coisas distintas e para representar uma quantidade, bastava repeti-los um certo número de vezes. Sendo assim, cinco recipientes contendo grãos podiam ser representados por cinco marcas para  grãos;  e  cinco  jarros  de  água,  por  cinco  marcas  para  jarros  de  água.  Em  resumo:  os números escritos dependiam dos objetos contados.

Mas  se  estamos  interessados  em  determinar  a  quantidade  de  algo,  não  é  preciso  indicar, necessariamente,  a  natureza  desse  objeto.  Quando  se  fala,  hoje,  em  cinco  jarros  de  água, significa que se tem a mesma quantidade de jarros do que a quantidade de dedos de uma das mãos,  e  que  essa  propriedade  comum  é  o  número  5,  representado  em  nosso  sistema  de numeração pelo símbolo "5". O conceito de número está, portanto, ligado a essa possibilidade de representar uma certa quantidade de jarros pelo mesmo nome usado para a quantidade de dedos.

Na virada do quarto para o terceiro milênio a.C., foram introduzidos símbolos para designar quantidades  de  coisas  de  naturezas  diferentes.  Esses  sinais  numéricos  traduziam  o  conceito  de "unidade", "doisidade", "tresidade", abstraídos de qualquer objeto particular. "Dois" não existe na natureza, mas somente conjuntos com dois objetos concretos, como dois dedos, duas pessoas, duas  ovelhas,  ou  mesmo  conjuntos  compostos  de  elementos  heterogêneos,  como  1  fruta  +  1 animal. "Dois"  é  a  abstração  da  qualidade  de  "doisidade"  compartilhada  por  esses  conjuntos. Logo, os numerais escritos nos tabletes desse período são o primeiro indício da utilização de um sistema de numeração abstrato.

Antes  disso,  já  eram  empregados  símbolos  para  designar  a  quantidade  de  coisas  em  uma coleção determinada, mas o número não era abstrato. Contar, e registrar quantidades, pode ser dita uma atividade concreta, pois implica um corpo a corpo com os objetos contados. Quando os tokens  eram  manipulados  na  contagem,  e  mesmo  quando  eram  impressos  na  superfície  dos invólucros, essa concretude estava em jogo. A abstração tem lugar a partir do momento em que o conteúdo dos invólucros podia ser esquecido, levando a um registro independente do que estava sendo contado, impresso em tabletes. O número assim obtido é abstrato porque expressa uma propriedade que foi abstraída, que foi separada da natureza dos objetos contados.

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Referências:

  • História da Matemática, Uma visão crítica desfazendo mitos e lendas - Tatiana Roque

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Um comentário:

  1. Parabéns Kleber pelo seu artigo. Realmente a ideia de número é uma das noções mais importantes e fascinantes da Matemática.

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