16/06/2018

Matemática Financeira: Regime de juros simples

A Matemática Financeira é de extrema importância para a tomada de decisões financeiras, tanto de caráter pessoal quanto empresarial, e auxilia no processo de maximização de resultados.

A Matemática Financeira tem como objetivo fornecer um ferramental técnico, utilizado na avaliação financeira e na Engenharia Econômica, descrevendo as relações do binômio Tempo e Dinheiro.

Sendo assim, a Matemática Financeira fornece subsídios para análise de diversas formas de evolução do dinheiro no decorrer do tempo, além de comparar alternativas para aplicação e obtenção de recursos financeiros.

Os principais objetivos da Matemática Financeira são:
  • Transformação e manuseio de fluxos de caixa, com aplicação de taxa de juros de cada período;
  • Obtenção da taxa interna de retorno que está implícita em um fluxo de caixa;
  • Análise e comparação de diversas alternativas de fluxos de caixa.
A análise financeira avalia os benefícios e custos de um projeto. Caso seja superior aos custos, o projeto é aceitável, caso contrário, deve ser rejeitado, o que mostra a importância aos gestores.

Matemática Financeira: Regime de juros simples

Juros

O juros é fundamental nos estudos sobre Matemática Financeira e um conceito mais simplista, mas preciso é de que o juros é o rendimento obtido (ou pago) auferido por um indivíduo que tenha aplicado (ou tomado emprestado) uma certa quantia por um certo tempo.

Informalmente, entende-se como juros um aluguel pago a alguém pelo uso do dinheiro por um certo tempo. Ou ainda, juros são a remuneração recebida de terceiros pelo uso do dinheiro.

Como exemplos concretos de aplicação de juros, temos:
  • Compras à créditos;
  • Cheques especiais;
  • Prestações de casa própria;
  • Descontos de duplicatas;
  • Vendas à prazo;
  • Financiamento de veículos;
  • Empréstimos.

Simbologia utilizada na Matemática Financeira:

  • $PV$ = (Present Value) Valor presente, capital inicial;
  • $FV$ = (Future Value) Valor futuro, montante ou saldo corrigido no tempo, com juros já incluído;
  • $PMT$ = (Payment) Valor das prestações, depósitos ou saques periódicos;
  • $n$ = prazo, inteiro ou fracionário, ajustado para o mesmo período da taxa de juros;
  • $i$ = (Interest rate) taxa efetiva de juros;
  • $d$ = taxa de desconto, utilizada nas operações de desconto simples.

Regime de capitalização simples

No regime de capitalização a juros simples, o cálculo dos juros em cada período é realizado multiplicando-se a taxa de juros pelo valor do capital (montante).

Ao se calcular rendimentos  utilizando o regime de juros simples, apenas o capital inicial que rende juros e pode ser calculado da seguinte forma:
\begin{equation*}
j = PV \times i
\end{equation*}
Se houver mais de um período, basta multiplicar por $n$ períodos:
\begin{equation*}
j = PV \times i \times n \tag{1}
\end{equation*}
onde $PV$ é o valor presente, $j$ é o juros, $i$ é a taxa de juros e $n$ é o número de períodos.

Evolução do montante no regime de juros simples

Valor futuro ou montante simples

O Valor Futuro ou Montante Simples ($FV$) é obtido após o período de capitalização e é o resultado da soma do capital com o juros:
\begin{equation*}
FV = PV + j \tag{2}
\end{equation*}
Substituindo $(1)$ em $(2)$:
\begin{equation*}
FV = PV + PV \times i \times n \tag{3}
\end{equation*}
ou ainda:
\begin{equation*}
FV = PV \left( 1+i\times n \right) \tag{4}
\end{equation*}
O valor futuro ou montante ($FV$) obtido na relação $(4)$ é o resultado da soma do valor presente com sua remuneração sob forma de juros e mostra como corrigir o dinheiro no tempo.

Exemplo 1:

Um cliente tomou um empréstimo de $R\$\ 4.000,00$ a uma taxa de $2,5\%$. Quanto pagará no vencimento do empréstimo?

Primeiro calculamos os juros:
\begin{equation*}
j = PV \times i\\
\ \\
j = 4.000,00 \times 0,025\\
\ \\
j  = 100,00
\end{equation*}
Agora somamos os juros ao principal:
\begin{equation*}
FV = PV + j\\
\ \\
FV = 4.000,00 + 100,00\\
\ \\
FV = 4.100,00
\end{equation*}
Podemos ainda calcular o valor futuro diretamente, já incluindo os juros:
\begin{equation*}
FV = PV (1 + i)\\
\ \\
FV = 4.000,00(1+0,025)\\
\ \\
FV = 4.000,00 \times 1,025\\
\ \\
FV = 4.100,00
\end{equation*}
Portanto, o valor a ser pago no vencimento será de $R\$\ 4.100,00$.

Note que o número $1,025$ é o fator de correção do dinheiro no tempo.

Exemplo 2:

Uma empresa tomou um empréstimo à taxa de $5,5\%$ e pagou no vencimento o valor de $R\$\ 44.310,00$. Qual foi o valor do empréstimo?

Para resolver, basta substituirmos os valores na fórmula básica:
\begin{equation*}
FV = PV (1 + i)\\
\ \\
44.310,00 = PV (1 + 0,055)\\
\ \\
44.310,00 = PV \times 1,055\\
\ \\
PV = \frac{44.310,00}{1,055}\\
\ \\
PV = 42.000,00
\end{equation*}
Portanto, o valor do empréstimo foi de $R\$\ 42.000,00$.

Exemplo 3:

Uma loja vende uma mercadoria à vista por $R\$\ 500,00$  e a prazo por $R\$\ 560,00$ com pagamento em um mês. Qual a taxa de juros incluída a prazo?

Para resolver, usamos a fórmula básica:
\begin{equation*}
FV = PV(1+i)\\
\ \\
560,00 = 500,00 (1+i)\\
\ \\
\frac{560,00}{500,00} = 1+i\\
\ \\
1,12 = 1+i\\
\ \\
i=0,12
\end{equation*}
A taxa de juros é de $12\%$.

Exemplo 4:

Um cliente tomou um empréstimo no valor de $R\$\ 1.000,00$ e pagou $R\$\ 80,00$ de juros. Qual a taxa cobrada pelo banco?

Para resolver, usamos a fórmula:
\begin{equation*}
j = PV \times i \times n
\end{equation*}
Como só há um período, logo $n=1$, e a fórmula se transforma em:
\begin{equation*}
j = PV \times i \\
\ \\
80,00 = 1.000,00 \times i\\
\ \\
i = \frac{80,00}{1.000,00}\\
\ \\
i = 0,08
\end{equation*}
A taxa cobrada pelo banco é de $8\%$.

Exemplo 5:

Qual será o valor que teremos acumulado em 14 meses se aplicarmos um capital de $R\$\ 100.000,00$ a uma taxa de juros simples de $2\%$ a. m..Qual a taxa dos juros?

Primeiro vamos calcular o valor futuro:
\begin{equation*}
FV = PV ( 1+i\times n)\\
\ \\
FV = 100.000,00 (1 + 0,02 \times 14)\\
\ \\
FV = 100.000,00 \times 1,28\\
\ \\
FV = 128.000,00
\end{equation*}
O juros pode ser calculado subtraindo o valor presente do valor futuro, ou aplicar a fórmula:
\begin{equation*}
j = PV \times i \times n\\
\ \\
j = 100.000,00 \times 0,02 \times 14\\
\ \\
j = 28.000,00
\end{equation*}
O juros será de $R\$\ 28.000,00$ e o valor acumulado será de $R\$\ 128.000,00$.

Exemplo 6:

Um investidor aplicou $R\$\ 20.000,00$ à taxa de juros simples de $10\%$ ao mês. Calcule o montante no final do primeiro e do quinto mês.

Para o cálculo no fim do primeiro mês, fazemos:
\begin{equation*}
FV_1 = PV(1 + i)\\
\ \\
FV_1 = 20.000,00 (1+0,1)\\
\ \\
FV_1 = 20.000,00 \times 1,1\\
\ \\
FV_1 = 22.000,00
\end{equation*}
Para o cálculo no fim do quinto mês, basta inserir o número de períodos:
\begin{equation*}
FV_5 = PV(1 + i \times n)\\
\ \\
FV_5 = 20.000,00 (1+0,1 \times 5)\\
\ \\
FV_5 = 20.000,00 \times 1,5\\
\ \\
FV_5 = 30.000,00
\end{equation*}Assim, o montante no final do primeiro mês será de $R\$\ 22.000,00$ e no final do quinto mês será de $R\$\ 30.000,00$.

Operações com indexadores

Os indexadores são muito utilizados nas análises econômicas e financeiras, como por exemplo, IPCA, IGPM, TR, TJLP, taxa Selic, inflação, entre outros. Em muitos casos, a operação é corrigida por um indexador mais uma taxa real de juros, representando o ganho ou custo em relação a o indexador.

Os indexadores são taxas de reajustes, basicamente utilizados para acompanhar a atividade econômica, corrigir preços e evitar a volatilidade.

As taxas de juros não devem ser somadas, pois o ganho real incide sobre o saldo já corrigido pelo indexador. A fórmula utilizada é adaptada da fórmula básica da Matemática Financeira:
\begin{equation*}
FV = PV \times (1+\text{indexador}) \times (1 + i\ \text{real})
\end{equation*}
Vejamos alguns casos para melhor exemplificar:

Exemplo 7:

Um cliente aplicou $R\$\ 100.000,00$ na poupança, que rende $TR$ mais um ganho real de $0,5\%$ ao mês. Quanto vai resgatar após um mês, considerando a $TR$ de $0,2\%$?

Aplicamos a fórmula:
\begin{equation*}
FV = PV \times (1+\text{indexador}) \times (1 + i\ \text{real})\\
\ \\
FV = 100.000,00 \times (1+0,2\%) \times (1+0,5\%)\\
\ \\
FV = 100.000,00 \times 1,002 \times 1,005\\
\ \\
FV = 100.701,00
\end{equation*}
O resgate será o vaor de $R\$\ 100.701,00$.

Vejam que o ganho real de $0,5\%$ ao mês incide sobre o saldo já corrigido pela $TR$. Tem um efeito pequeno para pequenos valores aplicados com taxas de juros reduzidas.

Exemplo 8:

Um cliente tomou um empréstimo imobiliário de $R\$\ 100.000,00$ corrigido pela inflação mais $1\%$ ao mês. Qual o saldo devedor após um mês que a inflação foi de $0,8\%$?

Aplicamos a fórmula:
\begin{equation*}
FV = PV \times (1+\text{indexador}) \times (1 + i\ \text{real})\\
\ \\
FV = 100.000,00 \times (1+0,8\%) \times (1+1\%)\\
\ \\
FV = 100.000,00 \times 1,008 \times 1,01\\
\ \\
FV = 101.808,00
\end{equation*}
O saldo devedor será de $R\$\ 101.808,00$.

Apanhado geral das fórmulas

As fórmulas utilizadas na Matemática Financeira para Juros Simples estudadas até o momento são:


  • Juros: $j = PV \times i \times n$
  • Montante: $FV = PV \times (1+i \times n)$
  • Principal: $\displaystyle PV = \frac{FV}{1+i \times n}$
  • Taxa de juros: $\displaystyle i =\left(\frac{FV}{PV}-1\right) \times \left(\frac{1}{n}\right)$
  • Período: $\displaystyle n = \left(\frac{FV}{PV}-1\right) \times \left(\frac{1}{i}\right)$
Observações:
  • As taxas de juros $i$ são expressas em sua forma decimal;
  • Os valores de $i$ e de $n$ devem ser compatíveis, ou seja, se $i$ estiver expresso em ano, logo, $n$ também deverá ser expresso em anos.
  • Como os juros simples variam de forma linear, $i$ e $n$ são facilmente compatibilizados dividindo-se ou multiplicando-se pelo período correspondente à taxa.


Desconto simples

A operação de desconto simples é inversa à da capitalização e consiste em se determinar um valor presente equivalente a um determinado valor futuro.

Quando um comprador efetua uma compra de muitas unidades de um determinado produto, é comum que seja concedido um desconto, um abatimento no preço unitário que remete a uma redução no valor total. Esse abatimento é chamado de desconto.

No meio corporativo, as operações de desconto são realizadas com os títulos de crédito que são os instrumentos de crédito que possuem garantia legal (duplicatas, notas promissórias, etc.) e podem ser negociados livremente antes de sua data de vencimento, sendo convertido em dinheiro ou substituído por outros títulos anteriormente à data prevista para sua liquidação.

A conversão é feita pelo Valor Presente do título ($PV$), que corresponde a seu Valor de Face, Valor Nominal ou Valor Futuro do título, menos o desconto ($D$) que é a compensação em valor pela antecipação do resgate do título.

O valor de Desconto Simples ou Comercial ($D$), também chamado de Desconto Simples "Por Fora", equivale aos juros simples calculados sobre o Valor Nominal ($N$) do título:
\begin{equation*}
D = N \times d \times n \tag{5}
\end{equation*}
onde $D$ é o desconto, $N$ é o valor nominal do título, $d$ é a taxa de desconto e $n$ é o prazo expresso na mesma unidade da taxa de desconto.

A diferença $N-D$ é o valor descontado, ou valor líquido do título e é representado por $V_d$.

Exemplo 9:

Uma empresa desconta em um banco uma duplicata no valor de $R\$\ 12.000,00$, três meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto de $3\%$ ao mês. Calcular a taxa de juros simples cobrada pelo banco.

O desconto é dado por:
\begin{equation*}
D  = N \times d \times n\\
\ \\
D = 12.000,00 \times 0,03 \times 3\\
\ \\
D = 1.080,00
\end{equation*}
O valor líquido recebido pela empresa é:
\begin{equation*}
V_d = 12.000,00 - 1.080,00 = 10.920,00
\end{equation*}
Para o banco, o valor de $R\$\ 10.920,00$ é o capital ($PV$) e o valor de $R\$a 12.000,00$ é o montante ($FV$) a ser recebido em 3 meses.

A taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco pode ser calculada como:
\begin{equation*}
j = PV \times i \times n\\
\ \\
j = 10.920,00 \times i \times 3\\
\ \\
1.080,00 = 10.920,00 \times i \times 3\\
\ \\
i = 0,032967
\end{equation*}
Portanto, a taxa de juros simples efetiva cobrada pelo banco é de $3,29\%$.

A diferença entre as taxas de desconto $d$ e a taxa de juros $i$ decorre do fato de a primeira incindir sobre o valor final de $R\$\ 12.000,00$ e a segunda incidir sobre o valor de $R\$\ 10.920,00$.

Exemplo 10:

Um lojista descontou um cheque pré-datado para 40 dias no valor de $R\$\ 18.000,00$. O banco cobrou uma taxa de desconto simples de $4,2\%$ ao mês. Qual o valor emprestado ao lojista e qual a taxa mensal de juros simples cobrado do cliente?

Vamos calcular o valor do desconto e subtrair o valor futuro:
\begin{equation*}
D = FV \times d \times n\\
\ \\
D = 18.000,00 \times 0,042 \times \frac{40}{30}\\
\ \\
D = R\$\ 1.008,00
\end{equation*}
A taxa desconto ao mês é de $4,2\%$. A taxa de desconto para 40 dias é de $5,6\%$, calculada acima dividindo a taxa mensal por 30 e depois multiplicando por 40.

Vamos calcular agora o valor presente:
\begin{equation*}
PV = FV - D\\
\ \\
PV = 18.000,00 - 1.080,00\\
\ \\
PV = R\$\ 16.992,00
\end{equation*}
Por fim, vamos calcular a taxa mensal de juros simples:
\begin{equation*}
FV = PV \times (1+i)\\
\ \\
18.000,00 = 16.992,00 (1+i)\\
\ \\
i = 0,0593 = 5,93\%
\end{equation*}
A taxa de encontrada acima de $5,93\%$ é para um período de 40 dias. Para encontrarmos o equivalente a 30 dias, dividimos por 40 e depois multiplicamos por 30, obtendo $4,45\%$ ao mês.

O lojista tomou o empréstimo de $R\$\ 16.992,00$ e deu como garantia o cheque pré-datado de $R\$\ 18.000,00$. Descontar esse cheque à taxa de $4,2\%$ ao mês é equivalente a pegar um empréstimo à taxa aproximada de $4,45\%$ ao mês a juros simples.

Exemplo 11:

Um lojista descontou um cheque 41 dias antes do vencimento. O banco cobrou uma taxa de desconto simples de $6\%$ ao mês. O valor recebido pelo lojista no ato da operação foi de $R\$\ 7.803,00$. Qual o valor do cheque pré-datado?

Usamos a fórmula:
\begin{equation*}
PV = FV (1 - d \times n)\\
\ \\
7.803,00 = FV \left(1 - 0,06 \times \frac{41}{30}\right)\\
\ \\
7.803,00 = FV \times 0,918\\
\ \\
FV = 8.500,00
\end{equation*}
O valor do cheque pré-datado é de $R\$\ 8.500,00$.

Relação entre a taxa de juros e de desconto

A diferença conceitual entre a taxa de juros e a taxa de desconto utilizadas nos exemplos acima é que a taxa de juros incide sobre o valor presente e a taxa de desconto sobre o valor futuro. Mas o resultado financeiro é o mesmo, seja chamado de juros ou desconto. Vejamos mais um exemplo:

Exemplo 12:

Um lojista descontou um cheque de $R\$\ 100,00$ para um mês à taxa de desconto simples de $9\%$ ao mês. Qual a taxa mensal de juros simples?

Vamos usar a fórmula:
\begin{equation*}
D = FV \times d \times n\\
\ \\
D = 100,00 \times 0,08 \times 1\\
\ \\
D = R\$\ 8,00
\end{equation*}
Vamos calcular a taxa de juros:
\begin{equation*}
j = PV \times i \times n\\
\ \\
8,00 = 92,00 \times i \times 1\\
\ \\
i = 0,087 = 8,7\%
\end{equation*}
Vejam que a diferença entre as taxas de juros e taxa de desconto são:


  • $\displaystyle d = \frac{\text{juros}}{FV} = \frac{8,00}{100,00} = 8,0\%$
  • $\displaystyle i = \frac{\text{juros}}{PV} = \frac{8,00}{92,00} = 8,7\%$


As taxas são diferentes porque a base de comparação, ($FV$) no caso de desconto simples e ($PV$) no caso de juros simples, é diferente. Mas, o valor dos juros no tempo é o mesmo.

Links para este artigo:


Referências:

  • Apostila MBA Executivo em Gestão Financeira, Matemática Financeira - Bruno Elia
  • Matemática Financeira, série Gestão Empresarial FGV - G. J. Boggis et al
  • Fundamentos de Matemática Elementar V11, Matemática Financeira - Gelson Iezzi et al

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2 comentários:

  1. Rigorosamente falando, juros simples não pertencem à Matemática Financeira, e sim, à matemática comercial. Juros Compostos sim, pertencem à Matemática Financeira.

    Prof. Sebá

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Sebá, como vai? Estou montando uma série de publicações sobre Matemática Financeira, e achei interessante começar por juros simples. Obrigado pelo comentário.

      Abs.

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