Neste artigo, veremos uma demonstração de que a unidade imaginária $i$ elevada a ela mesma resulta em um número real. Para isso, utilizaremos a Relação de Euler e algumas manipulações algébricas.
Quando estudamos números complexos no Ensino Médio, nos deparamos com a unidade imaginária, representada pela letra $i$, que surgiu na Matemática pela necessidade de representar a raiz de um número negativo. Leonhard Euler foi o responsável por usar a notação $i$, de tal modo que $i^2 = -1$.
Aprendemos as operações com números complexos, incluindo potências de $i$ com expoente natural, mas não é citado nos livros que podemos calcular $i^i$.
Uma forma de demonstrar esse resultado é utilizando a Relação de Euler:
$$e^{i \pi} = \cos(\pi) +i\ \text{sen}(\pi)\\
\ \\
e^{i \pi} = -1 + i \cdot 0\\
\ \\
e^{i \pi} = -1\\
\ \\
e^{i \pi} + 1 = 0
$$
Essa relação reúne, talvez, os números mais importantes da Matemática: $e$, $i$, $\pi$, $1$ e $0$, além das operações de exponenciação, multiplicação e soma. Através dela, podemos iniciar a demonstração:
$$e^{i \pi} = -1
$$
Convenientemente, elevamos ambos os membros à potência $1/2$:
$$(-1)^{1/2} = \left( e^{i \pi}\right)^{1/2}\\
\ \\
\sqrt{-1} = e^{(\pi / 2)\ i}\\
\ \\
i = e^{(\pi / 2)\ i}
$$
Elevamos ambos os membros à potência $i$:
$$i^i = \left(e^{(\pi / 2)\ i} \right)^i\\
\ \\
i^i = e^{(\pi /2)\ i^2}\\
\ \\
i^i = e^{(\pi / 2)(-1)}\\
\ \\
i^i = e^{-\pi / 2}\\
\ \\
i^i = 0,20787957 \cdots
$$
Obtemos, assim, um número real, mas que também é transcendental, pois não é raiz de nenhum equação polinomial com coeficientes inteiros.
Vamos ver graficamente como se comporta a curva $f(x)=e^x$ no ponto $x = -\pi / 2$:
Referências:
Links para este artigo:
- bit.ly/i-i-real
- https://www.obaricentrodamente.com/2020/03/uma-demonstracao-de-que-i-elevado-i-e-um-numero-real.html
Fantástico!
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