Talvez o caro leitor pergunte a si mesmo: “Em que situação do cotidiano eu vou usar equivalência entre duas taxas?”. Talvez não só você caro leitor, mas muitos leitores também farão a mesma pergunta. Isso acontece porque os livros de matemática financeira que tratam desse assunto, não trazem uma só aplicação de equivalência de taxas numa situação real. Os autores só mostram como calcular a equivalência entre duas ou mais taxas.
O motivo que me levou a escrever o presente trabalho, foi depois de ouvir uma conversa entre meus colegas. Essa conversa era concernente a uma matéria publicada no jornal Correio da Paraíba no dia 27 de abril do corrente ano, sobre a taxa de juros cobrada no cheque especial: $322,7\%$ ao ano. Um dos colegas pergunta: e a taxa mensal quanto será? Um outro colega respondeu: $26,89\%$. Outro, pergunta: como você encontrou $26,89\%$ ao mês? Ora, dividindo $322,7\%$ por $12$; haja vista que o ano tem 12 meses. Finalmente, eu entrei na conversa e disse: essa divisão que o colega fez só é usada em juros simples; a taxa de juros do cheque especial é calculada por meio dos juros compostos. Outro colega virou-se para mim e disse: professor Sebá, por que você não escreve um trabalho mostrando como se calcula a taxa de juros do cheque especial? Eu me comprometi a escrever o trabalho, e o trabalho é o que você, caro leitor, vai ler a seguir.
Duas taxas de juros são ditas equivalentes, se aplicadas a um mesmo capital por um mesmo período, produzirem o mesmo montante.
Exemplo:
Qual o montante gerado por um capital de $\text{R\$ }1.000,00$, aplicado pelo prazo de um ano à taxa de $50\%\ a.a.$, se a formação dos juros for feita num regime de:
a) Juros simples;b) Juros compostos.
Resolução:
a) A fórmula do montante em juros simples é $S=P(1+i \cdot n)$.
Dados:
- $P = \text{R\$ }1.000,00$
- $i = 50\% \ a.a. = 0,50$ (Taxa na forma unitária)
- $n = 1$ ano
- $S = ?$
Solução:
$$1000(1+0,50 \times 1) = \text{R\$ }1.500,00
$$
Nota importante: Qualquer que seja a fórmula de juros (simples ou composto) o valor de i será sempre substituído pela taxa na forma unitária. E não esquecer, também, que a taxa e o tempo deverão ser expressos sempre na mesma unidade, isto é, se a taxa for dada em ano, e o tempo em mês, a taxa terá que ser convertida para mês ou converter o tempo para ano. Sendo que em juros simples a conversão é feita usando a proporcionalidade das taxas, ou seja, linearmente; enquanto que em juros compostos a conversa das taxas é feita exponencialmente.
Solução alternativa:
Usando a proporcionalidade das taxas. Já que o ano tem 2 semestres, então, $\displaystyle \frac{50\%}{2}=25\%$. Logo, a taxa de $50\%$ é proporcional à taxa de $25\%\ a.s.$ (ao semestre).
Dados:
- $P = \text{R\$ }1.000,00$
- $i = 25\%\ a.s. = 0,25$ (taxa na forma unitária)
- $n=1$ ano = $2$ semestres
- $S=?$
Solução:
$$1000(1+0,25 \times 2) = $\text{R\$ }1.500,00
$$
Conclusão:
Como as duas taxas ($50\%\ a.a.$ e $25\%\ a.s.$) aplicadas a um mesmo capital ($\text{R\$ }1.000,00$), por um mesmo período (1 ano) produziram o mesmo montante ($\text{R\$ }1.500,00$), então, pode-se dizer que em juros simples, as taxas de $50\%\ a.a.$ e $25\%\ a. s.$ são equivalentes.
Pode-se também concluir que: no regime de juros simples, se duas taxas são proporcionais elas também são equivalentes.
b) A fórmula do montante em juros compostos é $S=(1+i)^n$.
Dados:
- $P = \text{R\$ }1.000,00$
- $i = 50\%\ a.a. = 0,50$ (Taxa na forma unitária)
- $n=1$ ano
- $S=?$
Solução:
$$S= 1000(1+0,50)^1 = \text{R\$ }1.500,00
$$
Usando a proporcionalidade das taxas:
- $P = \text{R\$ }1.000,00$
- $i = 25\%\ a.s. = 0,35$ (Taxa na forma unitária)
- $n = 1$ ano = $2$ semestres
- $S=?$
S = 1000 (1,25)^2 = \text{R\$ } 1.562,50
$$
- $i = 50\%\ a,a, = 0,50$ (Taxa na forma unitária)
- $n=1$ ano
- $P = \text{R\$ }1.000,00$
- $S_i =$ Montante gerado pela aplicação de $\text{R\$ }1.000,00$ durante 1 ano à taxa $i$.
S_i = 1000 (1+0,50)^1 = \text{R\$ }1.500,00
$$
- $i_p =$ taxa semestral
- $p = 2$ semestres
- $P = \text{R\$ }1.000,00$
- $S_{i_p}=$ Montante gerado pela aplicação de $\text{R\$ }1.000,00$ durante 2 semestres à taxa $i_p$.
S_{i_p} = 1000 (1+i_p)^2
$$
1000 (1,50)^1 = 1000 (1+i_p)^2 = (1,50) = (1+i_p)^2 \tag{1}
$$
(1+i) = (1+i_p)^p - 1
$$
i = (1+i_p)^p - 1
$$
i_p = \sqrt[p]{1+i} - 1
$$
i = (1+i_p)^p -1 \qquad \text{e} \qquad i_p = \sqrt[p]{1+i}-1
$$
- $i$ é a taxa de juros correspondente ao maior período da taxa
- $i_p$ é a taxa de juros correspondente ao menor período da taxa
- $p$ é o número de vezes em que o menor período da taxa está contido no maior período da taxa
Exemplo de aplicação 1:
- Temos duas taxas: uma anual e outra mensal.
- O menor período da taxa é mensal. Logo: $i_n = 5\%\ a.m. = 0,05$ (taxa na forma unitária)
- O maior período da taxa é anual. Logo: $i =?$ (a taxa que se está procurando).
- O número de vezes em que o menor período da taxa está contido no maior: $12$ (o mês está contido $12$ vezes no ano).
i = \left[ (1 + 0,05)^{12} - 1 \right] \times 100 = 79,59\%
$$
Exemplo de aplicação 2:
- Temos duas taxas: uma mensal e outra trimestral.
- O menor período da taxa é mensal. Logo $i_n=?$.
- O maior período da taxa é trimestral. Portanto, $i=30\% \ a.t.=0,30$ (Taxa na forma unitária).
- O número de vezes em que o menor período da taxa está contido no maior é $3$ (o mês está contido $3$ vezes no trimestre).
i_p = \left[ \sqrt[3]{1+0,30} - 1 \right] \times 100 = 9,14\%
$$
- $i = 50\% \ a.a.$
- $p=2$ (número de vezes em que o semestre está contido no ano)
- $i_p = ?$
i_p = \sqrt{1+i} - 1 = \sqrt{1+0,50} - 1 = 0,2247
$$
- $i_p = 22,47\% \ a.s. = 0,2247$ (Taxa na forma unitária).
- $p = 2$ (Número de vezes em que o semestre está contido no ano).
- $i=?$
i = (1 + i_p)^p - 1 = (1 + 0,2247)^2 - 1 = 0,50\\
\ \\
\text{ou}\\
\ \\
i = 100 \times 0,50 = 50\% \ a.a.
$$
Exemplo de aplicação 3:
- O menor período da taxa é mensal. Logo: $i_n=?$.
- O maior período da taxa é trimestral. Portanto $i=322,7\%\ a.a. = 3,227$ (Taxa na forma unitária).
- O número de vezes em que o menor período da taxa está contido no maior é $12$. Logo, $p=12$.
i _p = \left[ \sqrt[12]{1+3,227}-1 \right] \times 100 = 12,76\%
$$
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