15/09/2020

Como calcular a equivalência entre duas taxas de juros em regime de juros compostos

Talvez o caro leitor pergunte a si mesmo: “Em que situação do cotidiano eu vou usar equivalência entre duas taxas?”. Talvez não só você caro leitor, mas muitos leitores também farão a mesma pergunta. Isso acontece porque os livros de matemática financeira que tratam desse assunto, não trazem uma só aplicação de equivalência de taxas numa situação real. Os autores só mostram como calcular a equivalência entre duas ou mais taxas.


Como calcular a equivalência entre duas taxas de juros em regime de juros compostos

Imagem: https://br.freepik.com/

O motivo que me levou a escrever o presente trabalho, foi depois de ouvir uma conversa entre meus colegas. Essa conversa era concernente a uma matéria publicada no jornal Correio da Paraíba no dia 27 de abril do corrente ano, sobre a taxa de juros cobrada no cheque especial: $322,7\%$ ao ano. Um dos colegas pergunta: e a taxa mensal quanto será? Um outro colega respondeu: $26,89\%$. Outro, pergunta: como você encontrou $26,89\%$ ao mês? Ora, dividindo $322,7\%$ por $12$; haja vista que o ano tem 12 meses. Finalmente, eu entrei na conversa e disse: essa divisão que o colega fez só é usada em juros simples; a taxa de juros do cheque especial é calculada por meio dos juros compostos. Outro colega virou-se para mim e disse: professor Sebá, por que você não escreve um trabalho mostrando como se calcula a taxa de juros do cheque especial? Eu me comprometi a escrever o trabalho, e o trabalho é o que você, caro leitor, vai ler a seguir.


Duas taxas de juros são ditas  equivalentes, se aplicadas a um mesmo capital por um mesmo período, produzirem o mesmo montante.


Exemplo:

Qual o montante gerado por um capital de $\text{R\$ }1.000,00$, aplicado pelo prazo de um ano à taxa de $50\%\  a.a.$, se a formação dos juros for feita num regime de:

    a) Juros simples;
    b) Juros compostos.


Resolução:

a) A fórmula do montante em juros simples é $S=P(1+i \cdot n)$.


Dados:

  • $P = \text{R\$ }1.000,00$
  • $i = 50\% \ a.a. = 0,50$ (Taxa na forma unitária)
  • $n = 1$ ano
  • $S = ?$


Solução:

$$

1000(1+0,50 \times 1) = \text{R\$ }1.500,00

$$

Nota importante: Qualquer que seja a fórmula de juros (simples ou composto) o valor de i será sempre substituído pela taxa na forma unitária. E não esquecer, também, que a taxa e o tempo deverão ser expressos sempre na mesma unidade, isto é, se a taxa for dada em ano, e o tempo em mês, a taxa terá que ser convertida para mês ou converter o tempo para ano. Sendo que em juros simples a conversão é feita usando a proporcionalidade das taxas, ou seja, linearmente; enquanto que em juros compostos a conversa das taxas é feita exponencialmente.


Solução alternativa:


Usando a proporcionalidade das taxas. Já que o ano tem 2 semestres, então, $\displaystyle \frac{50\%}{2}=25\%$. Logo, a taxa de $50\%$ é proporcional à taxa de $25\%\ a.s.$ (ao semestre).


Dados:

  • $P = \text{R\$ }1.000,00$
  • $i = 25\%\ a.s. = 0,25$ (taxa na forma unitária)
  • $n=1$ ano = $2$ semestres
  • $S=?$


Solução:

$$

1000(1+0,25 \times 2) = $\text{R\$ }1.500,00

$$

Conclusão:

Como as duas taxas ($50\%\  a.a.$ e $25\%\  a.s.$) aplicadas a um mesmo capital  ($\text{R\$ }1.000,00$), por um mesmo período (1 ano) produziram o mesmo montante ($\text{R\$ }1.500,00$), então, pode-se dizer que em juros simples, as taxas de $50\%\  a.a.$ e $25\%\  a. s.$ são equivalentes.


Pode-se também concluir que: no regime de juros simples, se duas taxas são proporcionais elas também são equivalentes.


b) A fórmula do montante em juros compostos é $S=(1+i)^n$.


Dados:

  • $P = \text{R\$ }1.000,00$
  • $i = 50\%\ a.a. = 0,50$ (Taxa na forma unitária)
  • $n=1$ ano
  • $S=?$


Solução:

$$

S= 1000(1+0,50)^1 = \text{R\$ }1.500,00

$$

Usando a proporcionalidade das taxas:


Dados:
  • $P = \text{R\$ }1.000,00$
  • $i = 25\%\ a.s. = 0,35$ (Taxa na forma unitária)
  • $n = 1$ ano = $2$ semestres
  • $S=?$

Solução:
$$
S = 1000 (1,25)^2 = \text{R\$ } 1.562,50
$$

Conclusão:

Como as duas taxas ($50\%\  a. a.$ e $25\%\  a.s.$) aplicadas a um mesmo capital ($\text{R\$ }1.000,00$), por um mesmo período (1 ano) não produziram o mesmo montante, logo, pode-se dizer que em juros compostos as taxas de $50\%\  a.a.$ e $25\%\  a. s.$ não são equivalentes. Podemos, também, concluir que em juros compostos, taxas proporcionais não são equivalentes.

c) Se a taxa de $50\%\ a.a.$ não é equivalente à taxa de $25\%\ a.s.$, em juros compostos, pergunta-se: Qual será, então, a taxa semestral equivalente à taxa de $50\%\ a.a.$?

Resolução:

Seja:
  • $i = 50\%\ a,a, = 0,50$ (Taxa na forma unitária)
  • $n=1$ ano
  • $P = \text{R\$ }1.000,00$
  • $S_i =$ Montante gerado pela aplicação de $\text{R\$ }1.000,00$ durante 1 ano à taxa $i$.

Então:
$$
S_i = 1000 (1+0,50)^1 = \text{R\$ }1.500,00
$$
Seja:
  • $i_p =$ taxa semestral
  • $p = 2$ semestres
  • $P = \text{R\$ }1.000,00$
  • $S_{i_p}=$ Montante gerado pela aplicação de $\text{R\$ }1.000,00$ durante 2 semestres à taxa $i_p$.

Então:
$$
S_{i_p} = 1000 (1+i_p)^2
$$
Pela definição de equivalência de taxas, se a taxa de $50\%\ a.a.$ for equivalente à taxa $i_p$ (taxa semestral), então $S_{i_p} = S_i$. Logo:
$$
1000 (1,50)^1 = 1000 (1+i_p)^2 = (1,50) = (1+i_p)^2 \tag{1}
$$
Sabe-se que $p=2$ e $\displaystyle 0,50 = \frac{50}{100} = 50\%=i$. Substituindo $0,50$ por $i$ e $2$ por $p$ na equação $(1)$, obtém-se:
$$
(1+i) = (1+i_p)^p - 1
$$
Tirando o valor de $i$ em função de $i_p$ e de $p$, temos:
$$
i = (1+i_p)^p - 1
$$
Expressando $i_p$ em função de $i$ e de $p$, vem:
$$
i_p = \sqrt[p]{1+i} - 1
$$
Em resumo temos:
$$
i = (1+i_p)^p -1 \qquad \text{e} \qquad i_p = \sqrt[p]{1+i}-1
$$
Onde:
  • $i$ é a taxa de juros correspondente ao maior período da taxa
  • $i_p$ é a taxa de juros correspondente ao menor período da taxa
  • $p$ é o número de vezes em que o menor período da taxa está contido no maior período da taxa

Exemplo de aplicação 1: 

Qual a taxa anual equivalente à taxa de $5\%\ a.m.$?

Resolução:
  • Temos duas taxas: uma anual e outra mensal.
  • O menor período da taxa é mensal. Logo: $i_n = 5\%\ a.m. = 0,05$ (taxa na forma unitária)
  • O maior período da taxa é anual. Logo: $i =?$ (a taxa que se está procurando).
  • O número de vezes em que o menor período da taxa está contido no maior: $12$ (o mês está contido $12$ vezes no ano).

Logo, $p=12$.

Solução:
$$
i = \left[ (1 + 0,05)^{12} - 1 \right] \times 100 = 79,59\%
$$
Multiplicamos a fórmula por $100$ para dar a resposta em porcentagem.

Resposta:

A taxa equivalente é de $79,59\%\ a.a.$.

Exemplo de aplicação 2:

Qual a taxa mensal equivalente à taxa de $30\%\ a.t.$?

Resolução:
  • Temos duas taxas: uma mensal e outra trimestral.
  • O menor período da taxa é mensal. Logo $i_n=?$.
  • O maior período da taxa é trimestral. Portanto, $i=30\% \ a.t.=0,30$ (Taxa na forma unitária).
  • O número de vezes em que o menor período da taxa está contido no maior é $3$ (o mês está contido $3$ vezes no trimestre).

Logo $p=3$.

Solução:
$$
i_p = \left[ \sqrt[3]{1+0,30} - 1 \right] \times 100 = 9,14\%
$$
Resposta:

A taxa equivalente é de $9,14\% \ a.m.$.

Lembre-se sempre: a taxa $i$ sempre se refere ao maior período; enquanto a taxa $i_p$ refere-se ao menor. Sendo $p$ igual ao número de vezes em que o menor período da taxa está contido no maior.

Vamos responder, com a fórmula deduzida, a pergunta feita inicialmente: qual a taxa semestral equivalente à taxa de $50\% \  a.a.?$

Resolução:  

A taxa procurada é uma taxa semestral (período semestre); a taxa dada é uma taxa anual (período ano). Como o menor período , entre as duas taxas, é o semestre, logo, a taxa pedida é $i_p$.

Dados:
  • $i = 50\% \ a.a.$
  • $p=2$ (número de vezes em que o semestre está contido no ano)
  • $i_p = ?$

Solução:
$$
i_p = \sqrt{1+i} - 1 = \sqrt{1+0,50} - 1 = 0,2247
$$
Que é a taxa na forma unitária.

Portanto, $i_p = 0,2247 \times 100 = 22,45\% \ a.s.$, que é a taxa na forma percentual.

Resposta:

A taxa semestral equivalente à taxa de $50\% \ a.a.$ é a taxa de $22,47 \% \ a.s.$ (Em juros compostos).

E se o problema pedisse para encontrar a taxa anual equivalente à taxa de $22,47\% \ a.s.?$ Ora, pelo resultado anterior sabemos que é a taxa de $50% \ a.a.$.  Mas vamos supor que não soubéssemos.

Resolução: 

Como a taxa pedida, seu período é ano, e a taxa dada seu período é semestre, e como o ano é maior que o semestre, logo, $i$ é a taxa procurada.

Dados:
  • $i_p = 22,47\% \ a.s. = 0,2247$ (Taxa na forma unitária).
  • $p = 2$ (Número de vezes em que o semestre está contido no ano).
  • $i=?$

Solução:
$$
i = (1 + i_p)^p - 1 = (1 + 0,2247)^2 - 1 = 0,50\\
\ \\
\text{ou}\\
\ \\
i = 100 \times 0,50 = 50\% \ a.a.
$$

Resposta:

A taxa anual equivalente à taxa de $22,47\% \ a.s.$ é a taxa de $50\% \ a.a.$.

Exemplo de aplicação 3:

Se o cheque especial está cobrando uma taxa de $322,7\% \ a.a.$, qual a taxa equivalente mensal?

Resolução:

Temos duas taxas: uma mensal e outra anual.
  • O menor período da taxa é mensal. Logo: $i_n=?$.
  • O maior período da taxa é trimestral. Portanto $i=322,7\%\ a.a. = 3,227$ (Taxa na forma unitária).
  • O número de vezes em que o menor período da taxa está contido no maior é $12$. Logo, $p=12$.

Solução:
$$
i _p = \left[ \sqrt[12]{1+3,227}-1 \right] \times 100 = 12,76\%
$$
Resposta:

A taxa equivalente é de $12,76\% \ a.m.$ e não $26,89\% \ a.m.$ como o colega calculou, logo no início do artigo.

Este artigo foi escrito por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá), Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Como calcular a equivalência entre duas taxas de juros em regime de juros compostos. Publicado por Kleber Kilhian em 15/09/2020. URL: . Leia os Termos de uso.


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