Quatérnios são uma generalização dos números complexos bidimensionais para três dimensões concebido por Hamilton como uma forma de descrever problemas de rotação tridimensional em torno de um eixo arbitrário.
Um pouco de história
Em 1837, seis anos após Gauss (1777-1855) criar sua abordagem dos números complexos, William Rowan Hamilton (1805-1865) chegou por si próprio à descoberta das mesmas ideias, que aplicou a rotações e vetores no plano, como outros já tinham feito.
Em um segundo artigo sobre o assunto (1843), generalizou de pares ordenados para n-uplas, com ênfase nas quádruplas, chamados quatérnios, que estendem a álgebra dos vetores do plano para os vetores do espaço. Assim, o conceito de número complexo, representáveis como uma soma de números reais e complexos, sob a forma $a+bi$ foi estendido para os quatérnios como uma combinação linear sob a forma:
$$a+bi+cj+dk
$$
onde $a$, $b$, $c$ e $d$ são números reais e:
$$i^2=j^2=k^2=-1=ijk
$$
A mais notável propriedade desses quatérnios era a não-validade da lei comutativa. Foram necessários quinze anos de trabalho antes de ocorrer a Hamilton que era possível construir um sistema matemático útil e consistente contradizendo a tradicional lei $AB=BA$.
Este lampejo lhe ocorreu em um dia de outubro, quando estava passeando com a esposa ao longo do "Royal Canal", em Dublin. Hamilton gravou então as fórmulas fundamentais em uma pedra da ponte Brougham.
Hamilton também teve ocasião de comentar a lei associativa em seu Lectures on quaternions (1853), onde, no prefácio, escreveu:
Dou muita importância ao princípio ou propriedade associativa.
Naturalmente a lei associativa era usada muito antes de ser nomeada, e já tinha sido notada explicitamente em 1830, quando Adrien-Marie Legendre (1752-1833) chamou a atenção para ela em seu Théorie des nombres, escrevendo:
Supõe-se comumente que ao se multiplicar um dado número $C$ por outro número $N$, que é o produto dos fatores $A$ e $B$, obtém-se o mesmo resultado ao e multiplicar $C$ por $N$ de uma vez, ou $C$ por $A$ e depois por $B$.
Simbolicamente Legendre escreveu:
$$C \times \overline{AB} = \overline{CA} \times B
$$
Curiosamente, os nomes atuais das leis comutativa e distributiva foram dados por François-Joseph Servois (1767-1847) em 1814 em uma discussão envolvendo funções. Servois observava que, se $f\varphi z = \varphi f z$, onde $f$ e $\varphi$ são funções e $z$ é uma variável independente, então as funções se dizem "comutativas". Além disso, dizia que, se:
$$f(x+y+\cdots)=f(x)+f(y)+\cdots
$$
então a função se diz "distributiva" (Servois usava menos parênteses do que usamos atualmente).
Deve-se mencionar de passagem que Hermann Grassmann (1809-1877) criou, de forma simultânea e independente, uma teoria até mais geral que a de Hamilton sobre n-uplas. Mas as publicações de Grassmann eram pesadas e marcadas por expressões filosóficas e não foram lidas pelos matemáticos a tempo de que suas ideias tivessem o mesmo impacto que os quatérnios de Hamilton.
Com o tempo, os quatérnios revelaram-se menos práticos do que Hamilton acreditara e forma logo eclipsados por invenções posteriores de aplicação mais fácil. Mas eles trouxeram para a álgebra o que os conceitos não-euclidianos estavam fazendo pela geometria. Ao se perceber que $AB=BA$ não era um axioma irrevogável, os matemáticos começaram a experimentar novos sistemas, em que outros axiomas também foram mudados.
Em fevereiro de 1845, Arthur Cayley (1821-1895) mostrou que os quatérnios podiam ser usados para representar orientação.
Em 1948, F. M. Dimentberg, e depois, J. Denavit e R. S. Hartenberg, utilizaram na análise cinemática de mecanismos tridimensionais via métodos algébricos e com procedimentos numéricos iterativos.
Recentemente, vários trabalhos publicados por E. Pervin e J. A. Webb vêm promovendo seu uso em robótica e computação gráfica.
Álgebra dos quatérnios
O conjuntos dos quatérnios é representado por $\mathbb{H}$ e é uma extensão do conjunto dos números complexos $\mathbb{C}$.
O conjunto $\mathbb{H}$ é uma álgebra associativa formada pelos números da forma:
$$a + bi + cj + dk
$$
onde $a$, $b$, $c$ e $d$ pertencem ao conjunto dos números reais $\mathbb{R}$ e $i$, $j$ e $k$ são unidades imaginárias.
A imagem abaixo descreve uma regra mnemônica para representar a não-comutatividade das multiplicações de quatérnios, onde a multiplicação de dois termos em sentido horário fornece como resultado o terceiro termo com sinal positivo.
Por exemplo, se multiplicarmos $ij$ (sentido horário) obteremos $k$; se multiplicarmos $ji$ (sentido anti-horário), obteremos $-k$.
Deste modo, observamos que os componentes unitários $i,j,k$ do quatérnio, obedecem às relações fundamentais:
\begin{cases}i^2=j^2=k^2=ijk=-1\\
\ \\
ij = k = -ji\\
\ \\
jk = i = -kj\\
\ \\
ki = j = -ik
\end{cases}
Assim, a multiplicação de quatérnios não é comutativa.
Fractais
Os quatérnios podem ser utilizados em uma variedade de fractais. Por exemplo, fixar $j=k=0$ fornece o plano complexo, permitindo o conjunto de Mandelbrot. Fixando $j$ ou $k$ em valores diferentes, fractais quaterniônicos tridimensionais são obtidos pela rotação do conjunto complexo de Mandelbrot em torno do eixo $x$.
Referências:
- Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula - John K. Baumgart
- https://pt.wikipedia.org/wiki/Quaterni%C3%A3o
- Um estudo sobre quatérnios e sua aplicação em robótica - Theldo Cruz Franqueira
- A sutileza dos quatérnios no movimento de rotação de corpos rígidos - Andreyson Bicudo Jambersi, Samuel da Silva
- https://en.wikibooks.org/wiki/Pictures_of_Julia_and_Mandelbrot_Sets/Quaternions
- https://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html
Links para este artigo:
- https://bit.ly/quaternios
- https://www.obaricentrodamente.com/2022/01/introducao-e-influencia-dos-quaternios.html
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