Resolução da integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2-1}\ dx$ por frações parciais

Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

 

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.

 

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.

 

Nesta postagem, vamos demonstrar que:

$$\int \frac{1}{x^2-1}\ dx = \frac{1}{2}\ \ln \left | \frac{x-1}{x+1} \right | +C$$  

Seja a integral:

$$I = \int \frac{1}{x^2-1}\ dx$$

O denominador do integrando é uma diferença de quadrados, então, podemos reescrevê-lo como:

$$I = \int \frac{1}{(x+1)(x-1)}\ dx$$

Utilizaremos o método de integração por frações parciais, onde transformamos o integrando em uma soma de frações:

$$I = \int \left[ \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}\right]\ dx$$

Se você não estiver familiarizado com esse método, sugiro a leitura do artigo: Método de integração por frações parciais.

 

Desta forma, o integrando se transforma em:

$$\frac{1}{(x+1)(x-1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}$$

O trabalho que teremos é o de encontrar os valores das constantes $A$ e $B$. Calculamos o m.m.c. entre os denominadores para obtermos:

$$\frac{1}{(x+1)(x-1)} = \frac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}\\ \ \\ 1 = A(x+1)+B(x-1)$$

Aplicamos a propriedade distributiva:

$$1= Ax - A + Bx + B$$

Agrupamos os termos semelhantes:

$$1 = (Ax+Bx) + (B-A)\\ \ \\ 1 = (A+B)x + (B-A)$$

Dois polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes dos termos de mesma potência são iguais. Sendo assim, da igualdade acima, obtemos o seguinte sistema de equações:

$$\begin{cases} A&+&B&=&0\\ -A&+&B&=&1 \end{cases}$$
Resolvendo o sistema acima, obtemos:

$$A = -\frac{1}{2} \qquad \text{e} \qquad B = \frac{1}{2}$$

Agora, reescrevemos a integral como:

$$I = \int \frac{1}{x^2-1}\ dx\\ \ \\ I = \int \frac{1}{(x+1)(x-1)}\ dx\\ \ \\ I = \int \left[ \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1} \right]\ dx\\ \ \\ I = \int \left[ \frac{-1/2}{x+1}+\frac{1/2}{x-1} \right]\ dx\\ \ \\ I = -\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1} + \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1}$$

Para ambas as integrais, utilizaremos o método de integração por substituição.

 

Para a primeira integral, fazemos $u=x+1$, obtendo $du=dx$; e para a segunda integral, fazemos $dv=dx$. Assim:

$$I = -\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} + \frac{1}{2}\int \frac{dv}{v}\\ \ \\ I = -\frac{1}{2} \ln |u| + \frac{1}{2}|v| + C$$

Substituímos novamente os valores de $u$ e $v$:

$$I = \frac{1}{2} \ln |x-1| - \frac{1}{2} \ln |x+1| + C$$

Podemos reescrever o resultado como:

$$I = \frac{1}{2} \big[ \ln |x-1| - \ln|x+1| \big] + C$$

Ou ainda:

$$I = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|+C$$

Métodos de Integração:

• Por partes
• Tabular
• Por substituição
• Frações parciais
• Substituição trigonométrica
• Integrais literais resolvidas