Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.
Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$ \int \frac{1}{x^2-1}\ dx = \frac{1}{2}\ \ln \left | \frac{x-1}{x+1} \right | +C
$$
Seja a integral:
$$ I = \int \frac{1}{x^2-1}\ dx
$$
O denominador do integrando é uma diferença de quadrados, então, podemos reescrevê-lo como:
$$ I = \int \frac{1}{(x+1)(x-1)}\ dx
$$
Utilizaremos o método de integração por frações parciais, onde transformamos o integrando em uma soma de frações:
$$ I = \int \left[ \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}\right]\ dx
$$
Se você não estiver familiarizado com esse método, sugiro a leitura do artigo: Método de integração por frações parciais.
Desta forma, o integrando se transforma em:
$$ \frac{1}{(x+1)(x-1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}
$$
O trabalho que teremos é o de encontrar os valores das constantes $A$ e $B$. Calculamos o m.m.c. entre os denominadores para obtermos:
$$ \frac{1}{(x+1)(x-1)} = \frac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}\\
\ \\
1 = A(x+1)+B(x-1)
$$
Aplicamos a propriedade distributiva:
$$ 1= Ax - A + Bx + B
$$
Agrupamos os termos semelhantes:
$$ 1 = (Ax+Bx) + (B-A)\\
\ \\
1 = (A+B)x + (B-A)
$$
Dois polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes dos termos de mesma potência são iguais. Sendo assim, da igualdade acima, obtemos o seguinte sistema de equações:
\begin{cases}
A&+&B&=&0\\
-A&+&B&=&1
\end{cases}
Resolvendo o sistema acima, obtemos:
$$ A&+&B&=&0\\
-A&+&B&=&1
\end{cases}
Resolvendo o sistema acima, obtemos:
A = -\frac{1}{2} \qquad \text{e} \qquad B = \frac{1}{2}
$$
Agora, reescrevemos a integral como:
$$ I = \int \frac{1}{x^2-1}\ dx\\
\ \\
I = \int \frac{1}{(x+1)(x-1)}\ dx\\
\ \\
I = \int \left[ \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1} \right]\ dx\\
\ \\
I = \int \left[ \frac{-1/2}{x+1}+\frac{1/2}{x-1} \right]\ dx\\
\ \\
I = -\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1} + \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1}
$$
Para ambas as integrais, utilizaremos o método de integração por substituição.
Para a primeira integral, fazemos $u=x+1$, obtendo $du=dx$; e para a segunda integral, fazemos $dv=dx$. Assim:
$$ I = -\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} + \frac{1}{2}\int \frac{dv}{v}\\
\ \\
I = -\frac{1}{2} \ln |u| + \frac{1}{2}|v| + C
$$
Substituímos novamente os valores de $u$ e $v$:
$$ I = \frac{1}{2} \ln |x-1| - \frac{1}{2} \ln |x+1| + C
$$
Podemos reescrever o resultado como:
$$ I = \frac{1}{2} \big[ \ln |x-1| - \ln|x+1| \big] + C
$$
Ou ainda:
$$ I = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|+C
$$
Links para este artigo:
- https://bit.ly/integral-1-dividido-x2-1
- https://www.obaricentrodamente.com/2022/05/resolucao-da-integral-de-1-dividido-por-x-ao-quadrado-menos-1.html
Nice post thank you Morgan
ResponderExcluirNice post thank you Jeff
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