20/08/2022

Resolução da integral $\displaystyle \int ax\ \cos(bx) dx$

Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

 
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
 
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituiçãopor partespor frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.
 
Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$
\int ax\ \cos(bx)\ dx = \frac{a\Big( bx \ \text{sen}(bx) + \cos(bx) \Big)}{b^2} + C
$$
resolucao-da-integral-de-ax-sen-bx
Seja a integral:
$$
I = \int ax\ \cos(bx)\ dx
$$
onde, $a$ e $b$ são constantes diferentes de $0$.

Iniciamos fatorando a constante $a$:
$$
I = a \int x\ \cos (bx)\ dx
$$
Para o integrando, $x\ \cos (bx)$, utilizamos o método de integração por partes. Lembrando que:
$$
\int u\ dv = uv - \int v\ du
$$
Fazemos $u=x$ e $dv = \cos (bx)dx$ para obtermos $du=dx$ e $v=\cfrac{\text{sen}(bx)}{b}$. Para entender como foi obtida a integral de $\cos(bx)$, indico a leitura do artigo contendo a resolução. Assim:
$$
I = a \left[ x\left( \frac{\text{sen}(bx)}{b} \right) - \int \frac{\text{sen}(bx)}{b}\ dx \right]\\
\ \\
I = \frac{ax\ \text{sen}(bx)}{b} - \frac{a}{b} \int \text{sen}(bx)\ dx
$$
Para o integrando $\text{sen}(bx)$, utilizamos o método de integração por substituição. Fazemos $u=bx$. Assim, $du=b\ dx$ e $dx = \cfrac{1}{b}du$:
$$
I = \frac{ax\ \text{sen}(bx)}{b} - \frac{a}{b} \int \text{sen}(u)\cdot \frac{1}{b}\ du\\
\ \\
I = \frac{ax\ \text{sen}(bx)}{b} - \frac{a}{b^2} \int \text{sen}(u)\ du
$$
A integral de $\text{sen}(u)$ é $-\cos (u)$. Assim:
$$
I = \frac{ax\ \text{sen}(bx)}{b} + \frac{a}{b^2} \ \cos(u) + C
$$
Mas, $u=bx$, logo:
$$
I = \frac{ax\ \text{sen}(bx)}{b} + \frac{a}{b^2}\ \cos(bx) + C
$$
Ou ainda:
$$
I = \frac{a\Big( bx\ \text{sen}(bx) + \cos(bx)\Big)}{b^2} + C
$$

Se $a$ e $b$ valerem $1$, então a integral se transforma em:
$$
I = \int x\ \cos (x)\ dx = x\ \text{sen}(x) + \cos(x) + C
$$

Exemplo:

Seja a função $f(x) = x\ \cos(2x)$. Encontrar a área hachurada.
resolucao-da-integral-de-x-cos-2x
As raízes da função $f(x)=x\ \cos(2x)$ são dadas por:
$$
x=0 \quad \text{e} \quad x=\frac{1}{4}\pi (2n-1), \quad n \in \mathbb{Z}
$$
Sendo assim, a área hachurada está compreendida entre os pontos $x_1=0$ e $x_2=\cfrac{\pi}{4}$ quando $n=1$:
$$
x_2 = \frac{1}{4}\pi (2 \cdot 1 - 1) = \frac{1}{4}\pi
$$
E a área hachurada é dada pela integral definida:
$$
A = \int_0^{\pi/4} x\ \cos(2x)\ dx
$$
Aplicamos o resultado obtido logo acima, observamos que $a=1$ e $b=2$:
$$
A = \left[ \frac{2x\ \text{sen}(2x)+\cos(2x) }{2^2} \right]_0^{\pi/4}\\
\ \\
A = \frac{1}{4}\ \left( \frac{\pi}{2}\ \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) \right) - 0\\
\ \\
A = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} \cdot 1 + 0\right)\\
\ \\
A = \frac{\pi}{8}\\
\ \\
A \approx 0,392699
$$
COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Resolução da integral $\displaystyle \int ax\ \cos(bx) dx$. Publicado por Kleber Kilhian em 20/08/2022. URL: . Leia os Termos de uso.


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