Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.
Calcular a integral:
$$\int \sec(x)\ dx
$$
Para resolver esta integral, utilizamos o método de integração por substituição.
Seja a integral:
$$I = \int \sec(x)\ dx
$$
Multiplicamos e dividimos o integrando por $\sec(x)+\text{tg}(x)$:
$$I = \int \sec(x) \left( \frac{\sec(x)+\text{tg}(x)}{\sec(x)+\text{tg}(x)} \right)\ dx\\
\ \\
I = \frac{\sec^2(x) + \sec(x)\text{tg}(x)}{\sec(x)+\text{tg}(x)}\ dx
$$
Fazemos a substituição $u=\sec(x)+\text{tg}(x)$. Assim, $du=\big(\sec^2(x)+\sec(x)\text{tg}(x)\big)dx$ e $\displaystyle dx=\frac{du}{\sec^2(x)+\sec(x)\text{tg}(x)}$:
$$I = \int \frac{\sec^2(x)+\sec(x)\text{tg}(x)}{u}\cdot \frac{du}{\sec^2(x)+\sec(x)\text{tg}(x)}\\
\ \\
I = \int \frac{1}{u}\ du
$$
A integral de $\displaystyle \frac{1}{u}$ é $\ln|u|$. Assim:
$$I = \ln|u| + C
$$
Mas, $u = \sec(x)+\text{tg}(x)$, logo:
$$I = \ln|\sec(x)+\text{tg}(x)| + C
$$
Generalização:
Podemos obter uma fórmula que resolva a integral da secante de $x$ quando o argumento é multiplicado por uma constante:
$$\int \sec(ax)\ dx = \frac{\ln|\sec(ax)+\text{tg}(ax)|}{a} + C
$$
Para ver esta resolução, acesse o artigo:
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