Como dividir um segmento de reta em 3 partes iguais

Seja um segmento de reta $AB$. Para dividirmos em três segmentos congruentes, seguimos os passos:

1. Encontramos o ponto médio $M$ do segmento $\overline{AB}$. Para isso, descrevemos dois arcos de circunferências de raio iguais a $\overline{AB}$ e marcamos as intersecções como $C$ e $D$. A reta que passa por $C$ e $D$ intersecta $\overline{AB}$ em seu ponto médio.

2. Descrevemos duas circunferências de raios iguais a $\overline{AM}$ com centros em $A$ e em $B$.

3. Com centro em $M$ e raio $\overline{AM}$, descrevemos outra circunferência e marcamos como $E$ e $F$ nas intersecções com as circunferências centradas em $A$ e $B$ de raios $\overline{AM}$.

4. Traçamos dois segmentos que passam por $\overline{CE}$ e $\overline{CF}$. As intersecções desses segmentos com o segmento $\overline{AB}$ geram os pontos $G$ e $H$, que o dividem em três segmentos congruentes.

5. Assim, $\overline{AG}$, $\overline{GH}$ e $\overline{HB}$ valem $\displaystyle \frac{1}{3}\ \overline{AB}$.

Demonstração:

Os triângulos $\triangle ABC$ e $\triangle AEM$ são equiláteros por construção. Leia o artigo Construção de um triângulo equilátero com régua e compasso.

Por semelhança de triângulos, temos que:

Assim:
$$
\frac{\overline{AB}}{\overline{AM}} = \frac{\overline{AG}}{\overline{GM}}
$$

Mas, como $\displaystyle \overline{AM} = \frac{\overline{AB}}{2}$, substituímos na relação acima:

$$
\frac{\overline{AB}}{\displaystyle \frac{\overline{AB}}{2}} = \frac{\overline{AG}}{\overline{GM}}\\
\ \\
\frac{2\ \overline{AB}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{AG}}{\overline{GM}}\\
\ \\
2=\frac{\overline{AG}}{\overline{GM}}\\
\ \\
2\ \overline{GM} = \overline{AG}
$$

Como $\triangle ABC$ e $\triangle AEM$ são semelhantes, logo:

$$
2\ \overline{AG} = \overline{GB}
$$

E, portanto:

$$
\overline{AG} = \frac{1}{3}\overline{AB}
$$

Por simetria, podemos demonstrar analogamente que:

$$
\overline{HB} = \frac{1}{3}\overline{AB}
$$

E, consequentemente:

$$
\overline{GH} = \frac{1}{3}\overline{AB}
$$

Assim::

$$
\overline{AG} \cong \overline{GH} \cong \overline{HB}
$$

Veja mais:

• Construção geométrica de um triângulo equilátero
  
• Construções geométricas de perpendiculares
  
• Como encontrar o centro de um círculo, por Euclides