Vamos iniciar relembrando a identidade de Euler:
$$e^{i\pi} = \cos(\theta) + i\ \text{sen}(\theta) \tag{1}
$$
Se fizermos $\theta = \pi$, obteremos:
$$e^{i\ \pi} = \cos(\pi) + i\ \text{sen}(\pi) \tag{2}
$$
Como $\cos(\pi)=-1$ e $\text{sen}(\pi)=0$, chegamos a:
$$e^{i\ \pi} = -1 \tag{3}
$$
Para entender como se chega a esse resultado, leia o artigo: Demonstração da Identidade de Euler.
Reescrevemos $(3)$ como:
$$-1 = e^{i\ \pi} \tag{4}
$$
Elevando ambos os membro à potência $\pi$:
$$(-1)^\pi = \left(e^{i\ \pi}\right)^\pi \tag{5}
$$
Obtendo:
$$(-1)^\pi = e^{i\ \pi^2} \tag{6}
$$
No entanto, se substituírmos o valor de $\theta$ po $\pi^2$ na relação $(1)$, obteremos:
$$e^{i\ \pi^2} = \cos\Big(\pi^2 \Big) + i\ \text{sen}\Big(\pi^2 \Big) \tag{7}
$$
Substituindo $(7)$ na relação $(6)$:
$$(-1)^\pi = \cos\Big(\pi^2\Big) + i\ \text{sen}\Big(\pi^2\Big) \tag{8}
$$
Numericamente, teremos:
$$(-1)^\pi \approx -0,9027 - (0,4303)\ i
$$
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