Os Bernoulli são sem dúvida a saga familiar mais famosa da história da matemática, estando alguns dos seus membros entre os grandes matemáticos do último terço do século XVII e de todo o século XVIII. Os fundadores da saga foram os irmãos Jacques e Jean Bernoulli.
Importantes campos novos da matemática, como o Cálculo, a Geometria Analítica e a Teoria das Probabilidades, despontaram em sua forma moderna no século XVII. Mas, obviamente, considerando inclusive o estágio da matemática na época, tudo acontecia sem uma fundamentação lógica consistente. Explorar as potencialidades desses campos e fundamentá-los seria uma tarefa longa. E já no século XVII o trabalho de explorar esses campos visando desenvolvê-los e buscar aplicações para eles inicia-se revelando nomes de grande talento matemático, como os irmãos Jacques (Jakob) Bernoulli (1654-1705) e Jean (Johann) Bernoulli (1667-1748), da Basileia, na Suíça.
A família Bernoulli pertencia à burguesia comercial da Basileia, onde se fixara, vinda em fuga da Antuérpia no final do século XVI, após esta cidade ter sido conquistada pela Espanha católica (os Bernoulli eram huguenotes). Cerca de meio século depois, por alguma mutação difícil de explicar, a família começou a produzir cientistas (não sem decepcionar alguns patriarcas) de maneira talvez inédita na história da humanidade. Só matemáticos, até a primeira metade do século XIX, contam-se nada menos que treze membros da família. Mas possivelmente nenhum tenha superado em brilho os irmãos Jacques e Jean.
Ambos os irmãos se bandearam para a matemática, deixando outros interesses e outras carreiras, quando começaram a aparecer na Acta eruditorum os artigos de Leibniz . Eles estavam entre os primeiros matemáticos que perceberam a potência espantosa do cálculo e que aplicaram esse instrumento a uma gama ampla de problemas.
Jacques Bernoulli graduou-se em teologia em 1676 na Universidade da Basileia, atendendo aos desejos do pai. Os seus próprios desejos aparecem no lema que posteriormente adotou: "Invito patre sidera verso" (Estudo as estrelas contra a vontade de meu pai).
Assim, entende-se por que desde os tempos de estudante dedicava o melhor de seu tempo à matemática e à astronomia. De 1676 a 1682 percorre França, Inglaterra e Holanda para se atualizar cientificamente e na volta à Basileia funda uma escola de matemática e ciência. Cinco anos depois assumiu a cadeira de Matemática da Universidade local, onde ficou até a morte.
No que se refere ao Cálculo, Jacques o estudou na forma idealizada por Leibniz, sendo aliás um dos primeiros matemáticos a dominar os artigos em que este lançou as bases de suas ideias sobre o assunto. Ao contrário de Newton, Leibniz era aberto à troca de informações científicas, com o que conseguiu muitos seguidores e correspondentes, entre os quais Jacques.
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Dentre as múltiplas contribuições de Jacques à matemática, talvez a que o tenha tornado mais conhecido seja seu livro Ars conjectandi (A arte de conjecturar) no qual trabalhou cerca de 20 anos (sem completá-lo totalmente) e que só foi publicado após sua morte (em 1713). Trata-se da primeira obra substancial sobre a teoria das probabilidades.
O Ars conjectandi está dividido em quatro partes. Na primeira reproduz a breve introdução de Huygens ao assunto. A segunda é um apanhado geral dos resultados básicos sobre permutações e combinações. Nela figura inclusive a primeira demonstração correta (por indução) do teorema binomial para expoentes inteiros positivos. A terceira apresenta 24 problemas sobre jogos de azar muito populares na época. A última termina com o célebre "teorema de Bernoulli" ou "Lei dos grandes números" (Jacques não viveu para incluir nela as aplicações à economia e à política que tinha em vista).
Entre as contribuições de Jacques Bernoulli à matemática figuram o uso das coordenadas polares (talvez pela primeira vez), a dedução (em coordenadas retangulares e polares) da fórmula do raio de curvatura de uma curva plana, o estudo da catenária (com extensões para fios de densidade variável e fios sob a ação de uma força central), o estudo de muitas outras curvas planas superiores, a descoberta da chamada isócrona (ou curva ao longo da qual um corpo cairá com velocidade vertical uniforme), a determinação da forma assumida por uma haste elástica presa por uma das extremidades e suportando um peso na outra, a determinação da forma assumida por uma lâmina retangular flexível com duas bordas opostas mantidas presas horizontalmente e carregada de um líquido pesado e a forma de uma vela retangular enfunada pelo vento. Ele também propôs e discutiu o problema das figuras isoperimétricas (caminhos planos fechados de uma dada espécie e perímetro fixo que abarcam uma área máxima) e, com isso, foi um dos primeiros matemáticos a trabalhar no cálculo de variações.
Foi também um dos primeiros a se ocupar da probabilidade matemática. Várias coisas em matemática têm hoje o nome de Jaques Bernoulli, entre elas estão: A distribuição de Bernoulli e o teorema de Bernoulli da estatística e da teoria das probabilidades; A equação de Bernoulli, de um primeiro curso de equações diferenciais; Os números de Bernoulli e os polinômios de Bernoulli de interesse da teoria dos números; A lemniscata de Bernoulli, que aparecem nos cursos iniciais de cálculo.
Na resolução de Jacques Bernoulli do problema da curva isócrona, publicada na Acta eruditorum em 1690, encontra-se pela primeira vez a palavra integral com um sentido ligado ao cálculo. Leibniz havia chamado o cálculo integral de calculus summatorius. Em 1696 Leibniz e Jean Bernoulli acordaram em chamá-lo de calculus integralis. Causava forte impressão em Jacques a maneira como a espiral equiangular (spira mirabilis) se reproduzia em si mesma quando submetida a várias transformações e pediu, imitando Arquimedes, que essa curva fosse gravada em seu túmulo com a inscrição “Eadem mutata resurgo” (“Embora transformada, reapareço igual”).
Jean Bernoulli, segundo os planos de seu pai, deveria sucedê-lo à testa dos negócios da família. Contudo, sem vocação comercial, conseguiu dissuadir o velho de suas intenções concordando em fazer medicina. Mas, simultaneamente, era orientado pelo irmão para o caminho que aspirava trilhar – o da matemática e das ciências físicas. Tanto quanto Jacques, logo dominou os métodos do cálculo de Leibniz, tornando-se um dos maiores expoentes e divulgadores do assunto em sua época. Após 10 anos como professor de Matemática da Universidade de Groningen (Holanda), em 1705 sucedeu o falecido irmão na Universidade da Basileia, onde também ficou até a morte.
Um episódio que marcou a vida de Jean foi seu relacionamento com o Marquês de L'Hospital (1661-1704). Este nobre francês, desejando dominar o Cálculo, então uma novidade científica, contratou para tanto os serviços de Jean, o qual, sabe-se lá por que, concordou até com o que o Marquês usasse como lhe aprouvesse as descobertas que fazia e que a ele comunicava. E em 1696 L'Hospital lançou o livro Analyse des infinement petits, o primeiro texto de Cálculo a ser publicado, não sem agradecimentos especiais, embora genéricos, ao "jovem professor de Groningen". O livro teve muito sucesso, o que chegou a envaidecer Jean. Mas este, após a morte do autor, passou a reivindicar a paternidade de boa parte do conteúdo do livro – tudo indica que com razão. Por exemplo, o teorema sobre limites de quocientes, conhecido como método de determinação da forma indeterminada $0/0$, conhecido hoje como regra de L'Hospital, muito provavelmente é de Jean Bernoulli.
Jean Bernoulli contribuiu para a matemática mais ainda do que seu irmão Jacques, sendo um dos professores mais inspirados de seu tempo. Enriqueceu grandemente o cálculo desepenhando um papel destacado na divulgação das potencialidades desse novo campo de estudo na Europa; Escreveu sobre múltiplos tópicos, como fenômenos ópticos relacionados com reflexões e refrações, determinações de trajetórias ortogonais de uma família de curvas, retificação de curvas e quadratura de áreas por meios de séries, trigonometria analítica, cálculo exponencial e muitos outros assuntos.
A matemática, que foi um elo de ligação a mais entre os irmãos Jacques e Jean, acabou por estremecer as relações entre ambos, dado o zelo com que se empenhavam em suas pesquisas. O pivô da desavença entre ambos pode ter sido o problema da braquistócrona (nome derivado das palavras gregas menor e tempo) com que a certa altura Jean desafiou a comunidade matemática do mundo.
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O problema consistia em determinar a curva de descida no menor espaço de tempo possível de uma partícula dados dois pontos $A$ e $B$, com alturas diferentes, em um plano vertical, sob a ação da gravidade. A solução do problema é o arco (único) da cicloide invertida unindo $A$ com $B$. A cicloide é a curva descrita por um ponto $P$ de uma circunferência que roda sem deslizar sobre uma reta:
Referências:
- Fundamentos de Matemática Elementar V5 - Combinatória e Probabilidade - Samuel Hazzan
- Introdução à História da Matemática - Howard Eves
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