Uma equação é uma sentença matemática que apresenta uma igualdade e contém pelo menos uma incógnita, ou seja, um termo cujo valor é desconhecido. Por exemplo:
$$\Large \underbrace{x+1}_{\text{1º membro}} = \underbrace{3}_{\text{2º membro}}
$$
O símbolo de igualdade $(=)$ indica que o 1º membro possui o mesmo valor do 2º membro. Dizemos então que $x+1$ é igual a $3$. Ou seja, que a quantidade $x+1$ deve ser igual a $3$. O problema se resume em encontrar um valor para $x$ que, somado a $1$, seja igual a $3$.
Uma forma de pensar a solução é fazer uma analogia a uma balança de pratos, onde a quantidade $x+1$ está em equilíbrio com a quantidade $3$.
Para descobrirmos o valor de $x$, temos que pensar uma forma de isolar $x$. Se subtrairmos $1$ apenas do lado esquerdo, a balança ficará desequilibrada:
Para manter o equilíbrio, devemos subtrair $1$ de ambos os membro da igualdade:
Com isso, resolvemos o problema, encontrando o valor de $x=2$ como solução para a equação $x+1=3$:
$$x+1=3\\
\ \\
2+1=3\\
\ \\
3=3
$$
1) O triângulo aditivo
Podemos pensar outras formas para visualizar equações. Se tivermos uma operação simples envolvendo 3 quantidades, por exemplo $a+b=c$, podemos criar uma representação em forma de triângulo:
As arestas do triângulo possuem setas indicando o sentido em que vamos ler o problema contendo a operação envolvida. Os vértices do triângulo contém as quantidades envolvidas.
Podemos ler a relação de 3 formas possíveis, tendo em vista que a regra é seguir uma aresta entre duas quantidades no sentido da seta, cuja soma ou diferença seja igual à quantidade restantes. Assim, temos:
Forma 1: $a+b=c$ ou $b+a=c$. A aresta entre $a$ e $b$ possui setas em ambos os sentidos
Forma 2: $c-a=b$. A aresta entre $c$ e $a$ possui uma seta no sentido de $c$ para $a$.
Forma 3: $c-b=a$. A aresta entre $c$ e $b$ possui uma seta no sentido de $c$ para $b$.
Se pensarmos no método da balança de pratos, obteríamos os mesmo resultado.
Então, se tivermos a equação $x+1=3$, podemos representar como:
\begin{cases}
x+1=3\quad \text{ou} \quad 1+x=3\\
\ \\
3-x=1\\
\ \\
3-1=x
\end{cases}
$$
Neste caso, se tomarmos a terceira opção, encontraremos facilmente o valor de $x$:
$$3-1=x\\
\ \\
2=x
$$
Logo, para que a sentença $x+1=3$ seja verdadeira, $x$ deve ser igual a $2$.
Se em ambos os membros da equação contiver operações, como por exemplo $a+b=c+d$, podemos representar como:
Para quaisquer valores de $a+b$ e de $c+d$, a igualdade é representada pelo encontro dos vértices dos triângulos:
$$\begin{cases}
a+b=c+d\\
\ \\
a+b-d=c\\
\ \\
a+b-c=d\end{cases}
$$
Vamos considerar o exemplo numérico $1+x=1+4$:
3+4-1=x\\
\ \\
7-1=x\\
\ \\
6=x
$$
2) O triângulo multiplicativo
Analogamente, podemos criar uma representação para equações que envolvam multiplicação e divisão:
Assim, podemos ler a relação entre as quantidades $a$, $b$, $c$ e $d$ como:
$$\begin{cases}
a\cdot b = c \quad \text{ou} \quad b\cdot a = c\\
\ \\
c \div a = b\\
\ \\
c \div b = a\end{cases}
$$
Se tivermos a equação $2x=6$, por exemplo, podemos representar a equação como:
\begin{cases}
2\cdot x = 6\\
\ \\
6 \div x = 2\\
\ \\
6 \div 2 = x\end{cases}
$$
Tomando a terceira representação, obtemos:
$$6 \div 2 = x\\
\ \\
3=x
$$
Logo, para que $2x=6$ seja verdadeira, $x$ deve ser igual a $3$.
Se em ambos os membros da equação contiver multiplicações, como por exemplo $2x=3y$, podemos representar como:
Assim:
$$\begin{cases}
2x=3y\\
\ \\
\displaystyle \frac{2x}{3}=y\\
\ \\
\displaystyle \frac{2x}{y}=3\\
\ \\
\displaystyle \frac{3y}{x}=2\\
\ \\
\displaystyle \frac{3y}{2}=x\end{cases}
$$
Como a equação envolve duas incógnitas, $y$ fica em função de $x$ ou $x$ em função de $y$. Isso quer dizer que o valor de $x$ depende do valor de $y$. Se adotarmos $y=4$, teremos:
$$\frac{3y}{2}=x\\
\ \\
\frac{3\cdot 4}{2}=x\\
\ \\
\frac{12}{2}=x\\
\ \\
6=x
$$
3) Mesclando triângulos aditivos e multiplicativos
Uma situação possível envolvendo somas e produtos pode ser representada como:
Podemos relacionar $x$, $y$, $a$ e $b$ como:
$$\begin{cases}
a\cdot x + b = y\\
\ \\
a\cdot x - y = -b\\
\ \\
(y-b)\div x = a\\
\ \\
(y-b)\div a=x\end{cases}
$$
Como exemplo, se tivermos a equação $2x+5=y$, podemos representar como:
Outras representações:
$$\begin{cases}
2x-y=-5\\
\ \\
(y-5)\div x = 2\\
\ \\
(y-5) \div 2=x\end{cases}
$$
4) A propriedade associativa da adição
A propriedade associativa da adição diz que em uma adição com 3 ou mais parcelas, a ordem em que as somas forem realizadas não altera o resultado.
$$(a+b)+c = a+(b+c) = (a+c)+b
$$
Podemos pensar uma representação como:
(a+b)+c = (b+c)+a
$$
5) Propriedade distributiva da multiplicação
A propriedade distributiva da multiplicação é uma regra matemática que diz que, quando um número é multiplicado por uma soma (ou subtração), o resultado será o mesmo que a soma (ou subtração) de cada parcela multiplicada por esse número:
$$a(b+c) = ab+ac
$$
Podemos pensar uma representação como:
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