Representação de intervalos de números reais

A notação de intervalos é utilizada para representar subconjuntos de números reais. Devido à sua simplicidade e clareza é muito utilizada em tópicos de álgebra, cálculo e análise matemática para descrever conjuntos de números que satisfazem determinadas condições. Veremos nesse artigo os tipos de intervalos, como representá-los e exemplos de aplicações.

1. O que é um intervalo?

Um intervalo é um conjunto de números reais que inclui todos os valores entre limites determinados. Esses limites são chamados de extremos, podendo ou não pertencer ao conjunto.

Quando queremos representar um conjunto de números reais, basicamente utilizamos duas notações principais:

a) Notação de intervalo: utilizamos os símbolos de parênteses $(\ \ )$ e de colchetes $[\ \ ]$ para indicar se os extremos do intervalos estão incluídos ou não.

b) Notação de desigualdade: utilizamos os símbolos $<$, $>$, $\leq$ e $\geq$ para expressar os limites do intervalo.

Podemos utilizar uma representação gráfica na retal real a fim de visualizar o intervalo em questão.  Para isso, desenhamos uma reta horizontal com setas em seus extremos, convencionada que os números aumentam da esquerda para a direita. Os limites do intervalos são representados por bolinhas abertas ou fechadas para indicar, respectivamente, se os extremos pertencem ou não ao conjunto numérico.

2. Tipos de intervalos

Os intervalos podem ser abertos, fechados, semiabertos ou semifechados.

2.1. Intervalo fechado

Um intervalo fechado inclui todos os números entre dois extremos incluindo os próprios extremos. Representamos utilizando colchetes "virados para dentro".

Notação: $[a,b]$.

Representação: $\{ x \in \mathbb{R}\ | \ a\leq x \geq b \}$.

Como se lê: Xis pertence ao conjunto dos números reais tal que, xis é maior ou igual a $a$ e menor ou igual a $b$.

Exemplo: $[2,5]$ representa todos os números reais entre $2$ e $5$ incluindo os próprios extremos $2$ e $5$.

Representação na reta real: Podemos representar o intervalo na reta real como:

2.2. Intervalo aberto

Um intervalo aberto inclui todos os números entre dois extremos, mas não inclui os próprios extremos. Representamos utilizando parênteses "virados para dentro" ou colchetes "virados para fora".

Notação: $(a,b)$.

Representação: $\{ x \in \mathbb{R}\ | \ a < x < b \}$.

Como se lê: Xis pertence ao conjunto dos números reais tal que, xis è maior que $a$ e menor que $b$.

Exemplo: $(2,5)$ ou $]a,b[$ representam todos os números reais entre $2$ e $5$, sem incluir os extremos $2$ e $5$.

Representação na reta real: Podemos representar o intervalo na reta real como:

2.3. Intervalo semiaberto ou semi-fechado

Um intervalo semiaberto ou semi-fechado inclui todos os números entre dois extremos, incluindo apenas um dos extremos. Representamos utilizando uma combinação de colchetes e parênteses "virados para dentro" ou ainda de colchetes virados para dentro e para fora, dependendo de qual extremos será incluído ou excluído.

2.3.1. Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita

Notação: $[a,b)$ ou $[a,b[$.

Representação:  $\{ x \in \mathbb{R} \ | \ a \leq x < b \}$

Como se lê: Xis pertence ao conjunto dos números reais tal que, xis é maior ou igual a $a$ e menor que $b$.

Exemplo: $[2,5)$ ou $[2,5[$ representam todos os números reais entre $2$ e $5$, incluindo apenas o extremo $2$.

Representação na reta real: Podemos representar o intervalo na reta real como:

2.3.2. Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita

Notação: $(a,b]$ ou $]a,b]$.

Representação:  $\{ x \in \mathbb{R} \ | \ a < x \geq b \}$

Como se lê: Xis pertence ao conjunto dos números reais tal que, xis é maior que $a$ e menor ou igual a $b$.

Exemplo: $(2,5]$ ou $]2,5]$ representam todos os números reais entre $2$ e $5$, incluindo apenas o extremo $5$.

Representação na reta real: Podemos representar o intervalo na reta real como:

2.4. Intervalos infinitos

Quando um intervalo se estende indefinidamente à esquerda ou à direita ou em ambos os sentidos, utilizamos o símbolo do infinito acompanhado de parênteses ou de colchetes virados para fora.

2.4.1. Intervalo fechado à esquerda e infinito à direita

Notação: $[a,\infty )$ ou $[a,\infty [$.

Representação:  $\{ x \in \mathbb{R} \ | \  x \geq a \}$

Como se lê: Xis pertence ao conjunto dos números reais tal que, xis é maior ou igual a $a$.

Exemplo: $[2,\infty )$ ou $[2, \infty [$ representam todos os números reais maiores que $2$, incluindo o próprio extremo $2$.

Representação na reta real: Podemos representar o intervalo na reta real como:

2.4.2. Intervalo aberto à esquerda e infinito à direita

Notação: $(a,\infty )$ ou $]a,\infty [$.

Representação:  $\{ x \in \mathbb{R} \ | \  x > a \}$

Como se lê: Xis pertence ao conjunto dos números reais tal que, xis é maior que $a$.

Exemplo: $(2,\infty )$ ou $]2, \infty [$ representam todos os números reais maiores que $2$.

Representação na reta real: Podemos representar o intervalo na reta real como:

2.4.3. Intervalo fechado à direita e infinito à esquerda

Notação: $(-\infty  ,b ]$ ou $]-\infty ,b]$.

Representação:  $\{ x \in \mathbb{R} \ | \  x \leq b \}$

Como se lê: Xis pertence ao conjunto dos números reais tal que, xis é menor ou igual b $a$.

Exemplo: $(-\infty ,5]$ ou $]- \infty ,5]$ representam todos os números reais menores que $5$, incluindo o próprio extremo $5$.

Representação na reta real: Podemos representar o intervalo na reta real como:

2.4.4. Intervalo aberto à direita e infinito à direita

Notação: $(-\infty  ,b )$ ou $]-\infty ,b[$.

Representação:  $\{ x \in \mathbb{R} \ | \ x \leq b \} $

Como se lê: Xis pertence ao conjunto dos números reais tal que, xis é menor que $b$.

Exemplo: $(-\infty ,5)$ ou $]- \infty ,5[$ representam todos os números reais menores que $5$.

Representação na reta real: Podemos representar o intervalo na reta real como:

3. Operações com intervalos

Operar com intervalos envolve combinar, comparar e manipular esses conjuntos de formas variadas, como união, intersecção, complemento, diferença de intervalos e intervalos complementares.

3.1. União de intervalos

A união de dois intervalos $A$ e $B$, representada por $A\cup B$, corresponde ao conjunto de todos os números pertencentes a $A$, $B$ ou em ambos.

Definição: $A \cup B = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x \in A \text{ ou } x \in B \}$

Exemplo: Se $A=(1,3)$ e $B=[2,5]$, então:

$$
A \cup B = (1,3) \cup [2,5] = (1,5]
$$

O resultado inclui todos os números de 1 a 5 considerando sobreposições.

Para visualizarmos a operação, desenhamos duas retas para representar os conjuntos $A$ e $B$ e logo abaixo outra reta  para representar a união entre eles. Traçamos retas verticais pontilhadas passando por cada bolinha. Em seguida, tomamos todos os pontos que fazem parte tanto de $A$ quanto de $B$. Demos observar que a bolinha sobre o número 1 é aberta, e sobre o número 5 é fechada.

Assim, a solução é dada por:

$$
A \cup B = (1,3) \cup [2,5] \\
\ \\
A \cup B = (1,5]\\
\ \\
A \cup B = \{x \in \mathbb{R}\ | \ 1< x \leq 5\}
$$

3.2. Intersecção de intervalos

A intersecção de dois intervalos $A$ e $B$, representada por $A \cap B$, corresponde a todos os números que são comuns a ambos os intervalos, ou seja, aos números que aparecem tanto no intervalo $A$ quanto no intervalo $B$.

Definição: $A \cap B = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x \in A \text{ e } x \in B \}$

Exemplo: Se $A=(1,3)$ e $B=[2,5]$, então:

$$
A \cup B = (1,3) \cup [2,5] = [2,3)
$$

O resultado inclui todos os números de 2 a 3 respeitando os extremos de cada intervalo.

Para visualizarmos a operação, desenhamos duas retas para representar os conjuntos $A$ e $B$ e logo abaixo outra reta  para representar a intersecção entre eles. Traçamos retas verticais pontilhadas passando por cada bolinha. Em seguida, tomamos todos os pontos que são comuns aos dois intervalos. Demos observar que a bolinha sobre o número 3 é aberta, e sobre o número 2 é fechada.

Assim, a solução é dada por:

$$
A \cap B = (1,3) \cap [2,5] \\
\ \\
A \cap B = [2,3)\\
\ \\
A \cap B = \{x \in \mathbb{R}\ | \ 2 \leq x < 3\}
$$

3.3. Diferença de intervalos

A diferença de dois intervalos $A$ e $B$, representada por $A-B$, corresponde a todos os números que estão em $A$, mas não estão em $B$.

Definição: $A - B = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x \in A \text{ e } x \neq B \}$

Exemplo: Se $A=(1,5]$ e $B=(4,6]$, então:

$$
A - B = (1,5] - (4,6] = (1,4]
$$

O resultado inclui todos os números de 1 a 4, excluindo o extremo 1.

Para visualizarmos a operação, desenhamos duas retas para representar os conjuntos $A$ e $B$ e logo abaixo outra reta  para representar a diferença $A-B$. Traçamos retas verticais pontilhadas passando por cada bolinha. Em seguida, tomamos todos os pontos que estão em $A$ mas não estão em $B$. Devemos observar que a bolinha sobre o número 4 deverá ser fechada, já que o número 4 pertence ao conjunto $A$ mas não pertence ao conjunto $B$.

Assim, a solução é dada por:

$$
A - B = (1,5] - (4,6] \\
\ \\
A - B = (1,4]\\
\ \\
A - B = \{x \in \mathbb{R}\ | \ 1 < x \leq 4 \}
$$

3.4. Complementar de um intervalo

O complementar de um intervalo $A$ é o conjunto de números reais que não pertencem a ele. Ou seja, todos os números reais que não pertencem ao conjunto $A$.

A representação do complementar de um intervalo depende de cada autor. Podemos encontrar em livros como $\overline{A}$ ou $A^C$ ou ainda $C^A_{\mathbb{R}}$.

Definição: $A^C = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x =  \mathbb{R} - A\}$.

Exemplo: Se $A=(1,4]$, então o complementar de $A$ é dado por:

$$
A^C = (-\infty , 1] \text{ e } (4, \infty)$$

O resultado inclui todos os números reais excluindo os número entre 1 e 4, mas com o 1 incluído.

Para visualizarmos a operação, desenhamos uma reta para representar o conjunto $A$ e logo abaixo outra reta  para representar o complementar de $A$. Traçamos retas verticais pontilhadas passando por cada bolinha. Em seguida, tomamos todos os pontos que não estão em $A$. Devemos observar que a bolinha sobre o número 4 deverá ser aberta, já que o número 4 pertence ao conjunto $A$, e a bolinha sobre o número 1 deverá ser fechada, já que o número 1 não pertence ao conjunto $A$.

Assim, a solução é dada por:

$$
\overline{A} = (-\infty , 1] \text{ e } (4,\infty)\\
\ \\
\overline{A} = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x\leq 1 \text{ e } x > 4 \}
$$

4. Propriedades importantes das operações

As operações com intervalos seguem propriedades semelhantes às operações com conjuntos. Essas propriedades garantem que as combinações e manipulações de intervalos sejam consistentes e previsíveis.

4.1. Propriedades da união

4.1.1. Comutatividade

A ordem dos intervalos na união não altera o resultado:

$$
A \cup B = B \cup A
$$

4.1.2. Associatividade

A união de três ou mais conjuntos pode ser feita agrupando-os de qualquer maneira:

$$
(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)
$$

4.1.3. Identidade

A união de um intervalo com o conjunto vazio não altera o intervalo:

$$
A \cup \emptyset = A
$$

4.1.4. Idempotência

A união de um intervalo consigo mesmo resulta no próprio intervalo:

$$
A \cup A = A
$$

4.2. Propriedades da intersecção

4.2.1. Comutatividade

A ordem dos intervalos na intersecção não altera o resultado:
$$
A \cap B = B \cap A
$$

4.2.2. Associatividade

A intersecção de três ou mais intervalos pode ser feita agrupando-os de qualquer maneira:

$$
(A \cap B)\cap C = A \cap (B\cap C)
$$

4.2.3. Identidade

A intersecção de um intervalo com o conjunto dos números reais $(\mathbb{R})$ não altera o intervalo:

$$
A \cap \mathbb{R} = A
$$

4.2.4. Idempotência

A intersecção de um intervalo consigo mesmo resulta no próprio intervalo:

$$
A \cap A = A
$$

4.2.5. Intersecção com o conjunto vazio:

A intersecção de um intervalo com o conjunto vazio resulta no conjunto vazio:
$$
A \cap \emptyset = \emptyset
$$

4.3. Propriedades combinadas da união e intersecção

4.3.1. Lei da distributividade

A união e a intersecção distribuem-se entre si:

$$
A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\\
\ \\
A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
$$

4.3.2. Lei de De Morgan

Essas leis relacionam as operações de união e intersecção com os complementos:

$$
(A \cup B)^C = A^C \cap B^C\\
\ \\
(A \cap B)^C = A^C \cup B^C
$$

4.4. Propriedades da diferença de intervalos 

4.4.1. Identidade

A diferença de um intervalo com o conjunto vazio não altera o intervalo:

$$
A - \emptyset = A
$$

4.4.2. Conjunto vazio

A diferença de um intervalo consigo mesmo resulta no conjunto vazio:

$$
A - A = \emptyset
$$

4.4.3. Inclusão

Se $A \subseteq B$, ou seja, todos os elementos de $A$ está contidos em $B$, a diferença resulta no conjunto vazio:

$$
A - B = \emptyset
$$

4.4.4. Complementação

A diferença de $\mathbb{R}$ com um intervalo $A$ é o complementar de $A$:

$$
\mathbb{R} - A = A^C
$$

4.5. Propriedades do complementar

4.5.1. Complementar do complementar

O complementar do complementar de um intervalo é o próprio intervalo:

$$
(A^C)^C = A
$$

4.5.2. Complementar da união

O complementar da união de dois intervalos é a intersecção dos complementares:

$$
(A \cup B)^C = A^C \cap B^C
$$

4.5.3. Complementar da intersecção

O complementar da intersecção de dois intervalos é a união dos complementos:

$$
(A \cap B)^C = A^C \cup B^C
$$

4.5.4. Complementar do conjunto universal

O complementar do conjunto de todos os números reais $(\mathbb{R})$ é o conjunto vazio:

$$
\mathbb{R} ^C = \emptyset
$$

4.5.5. Complementar do conjunto vazio

O complementar do conjunto vazio é o conjunto de todos os reais:

$$
\emptyset^C = \mathbb{R}
$$

5. Aplicações das operações com intervalos

As operações com intervalos têm aplicações em matemática, ciência, engenharia e outros campos que lidam com relações numéricas, análise de dados ou modelagem. Seguem alguns exemplos.

5.1. Resolução de desigualdades

Ao resolver sistemas de desigualdades, as soluções são frequentemente descritas como intervalos. Operações como união e intersecção ajudam a combinar ou refinar as soluções:

Exemplo: Encontrar a intersecção entre as desigualdades $x>2$ e $x \leq5$.

$x>2 \Longrightarrow (2, \infty)$

$x\leq 5 \Longrightarrow (-\infty , 5]$

A solução é dada por: $(2,5]$.

5.2. Definição de domínio de funções

Muitas vezes, o domínio de uma função é um intervalo (ou uma união de intervalos) delimitado por restrições naturais, como evitar divisões por zero ou raízes de números negativos:

Exemplo: O domínio da função $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x-3}$ é $\mathbb{R} - \{3\}$, que pode ser descrito como:

$$
D(f) = \{x \in \mathbb{R} \ | \ x \neq 3 \}
$$

Ou como: $(-\infty , 3) \cup (3, \infty )$.

5.3. Integração e análise em Cálculo

Quando vamos resolver uma integral definida, o intervalo de integração especifica os limites inferior e superior, enquanto a união de intervalos pode ser usada para tratar integrais definidas em domínios particionados.

Exemplo: Para calcular a área sob a curva $f(x)$ nos intervalos $[0,1] \cup [2,3]$, precisamos utilizar a propriedade das integrais que diz: a integral da soma é a soma das integrais. Assim:

$$
\int_0^1 f(x)\ dx + \int_2^3 f(x)| dx
$$

5.4. Modelagem matemática e física

Em problemas de cinemática ou dinâmica, intervalos representam intervalos de tempo ou regiões do espaço onde eventos específicos ocorrem.

Exemplo: Um carro se move com uma velocidade constante $v_1$ em um intervalo $[0,5]$ segundos e depois muda para $v_2$ em $[5,10]$. Esses intervalos podem ser usados para modelar a posição $x(t)$ ao longo do tempo.

5.5. Computação e análise de algoritmos

Em ciência da computação, intervalos são usados para otimização, pesquisa de dados e condições.

Exemplo: No balanceamento de árvores binárias, intervalos ajudam a determinar os valores que podem ser inseridos em cada subárvore.

5.6. Estatística e probabilidade

Intervalos são usados para expressar incertezas em medições e estimativas. Um intervalo de confiança indica a faixa provável de valores para uma estatística populacional.

Exemplo: Um intervalo de confiança de 95% para a média de uma amostra pode ser algo como $[4,5 ; 5,5]$.

5.7. Controle de qualidade e engenharia

Intervalos definem limites aceitáveis para medidas ou propriedades físicas em processos industriais.

Exemplo: Um componente deve ter um comprimento entre $10 \pm 0,2\ cm$, representado pelo intervalo $[9,8 ; 10,2]$.

5.8. Teoria dos conjuntos e topologia

Intervalos são usados para estudar propriedades de conjuntos, como continuidade, densidade e compactação.

Exemplo: Provar que $[a,b]$ é compacto em $\mathbb{R}$ baseia-se na definição de que ele é fechado e limitado.

5.9. Programação linear e otimização

Variáveis em problemas de otimização podem ser restritas a intervalos, representando condições ou limites.

Exemplo: Maximizar uma função objetivo $f(x)$ com a restrição $x \in [0, 10]$.

5.10. Gráficos e representações visuais

Intervalos são usados em gráficos para destacar regiões específicas como domínios de funções ou limites de integração.

Exemplo: Considere a função definida por partes:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2,& \text{se }& x \in [0,2]\\
\ \\
2x-3,& \text{se }& x \in (2,4]
\end{cases}
$$

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