Resolução das questões da Prova Discursiva de Matemática do processo seletivo para 2026 do IME (Instituto Militar de Engenharia).
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Questão 1
Seja $i$ tal que $i^2=-1$. Considere o número complexo $z=\alpha + \beta \ i$, sendo $\alpha$ e $\beta$ números inteiros não nulos. Sabendo que $z^3=-9+46\ i$, determine $\alpha$ e $\beta$.
Resolução:
$$z^3 = -9 + 46\ i\\
\ \\
\big(\alpha + \beta \ i \big)^3 = -9 + 46\ i\\
\ \\
\alpha^3 + 3\alpha^2 \beta \ i + 3\alpha \beta^2\ i^2 + \beta^3\ i^3 = -9 + 46\ i\\
\ \\
\alpha^3 + 3\alpha^2 \beta i - 3\alpha \beta^2 - \beta^3 i = -9 +46\ i\\
\ \\
\big(\alpha ^3 - 3\alpha \beta^2 \big) + \big(3 \alpha^2 \beta - \beta ^3\big) i = -9 + 46\ i
$$
Parte real:
$$\alpha ^3 - 3\alpha \beta^2 = 9 \tag{1}
$$
Parte imaginária:
$$3\alpha^2\beta - \beta^3 = 46 \tag{2}
$$
Nas equações $(1)$ e $(2)$, podemos colocar $\alpha$ e $\beta$ em evidência:
$$\alpha \big(\alpha^2-3\beta^2\big) = -9 \tag{3}
$$
e
$$\beta \big(3\alpha^2 - \beta^2 \big) = 46 \tag{4}
$$
Como $\alpha$ e $\beta$ são inteiros não nulos, $\alpha$ deve ser um divisor de $-9$ e $\beta$ deve ser um divisor de $46$. Assim:
■ Os divisores de $-9$ são: $\pm 1, \pm 3, \pm 9$
■ Os divisores de $46$ são: $\pm 1, \pm 2, \pm 23, \pm 46$
Testando valores inteiros para $\alpha$ e $\beta$
Usando as equações $(3)$ e $(4)$, vamos testar valores de $\beta$ para a equação $(4)$:
$$\beta\big(3\alpha^2 - \beta^2\big)=46
$$
$\longrightarrow$ Para $\beta = 1$:
$$1\big(3\alpha^2-1\big)=46\\
\ \\
3\alpha^2 = 47\\
\ \\
\alpha^2 = \dfrac{47}{3}
$$
Não é um quadrado perfeito, logo $\alpha$ não é inteiro.
$\longrightarrow$ Para $\beta=-1$:
$$-1\big(3\alpha^2-2^2\big)=46 \\
\ \\
-3 \alpha^2 + 1 = 46 \\
\ \\
-3\alpha^2 = 45\\
\ \\
\alpha^2 = -15
$$
Impossível para $\alpha$ real.
$\longrightarrow$ Para $\beta = 2$:
$$2\big(3\alpha^2 - 2^2 \big) = 46\\
\ \\
2\big(3\alpha^2 - 4 \big) = 46\\
\ \\
3\alpha^2-4 = 23\\
\ \\
3\alpha^2 = 27 \\
\ \\
\alpha^2 = 9\\
\ \\
\alpha = \pm 3
$$
Temos duas possibilidades:
$$(\alpha , \beta ) = (3,2)\text{ e } (-3,2)
$$
$\longrightarrow$ Para $\beta=-2$:
$$-2\big(3\alpha^2 - (-2)^2 \big) = 46\\
\ \\
-2\big(3\alpha^2 - 4 \big) = 46\\
\ \\
3\alpha^2-4 = -23\\
\ \\
3\alpha^2 = -19 \\
\ \\
\alpha^2 = -\cfrac{19}{3}
$$
Impossível para $\alpha$ real.
$\longrightarrow$ Para $\beta = 23$:
$$23\big(3 \alpha^2 - 23^2 \big) = 46 \\
\ \\
3\alpha^2 - 529 = 2 \\
\ \\
3\alpha ^2 = 531 \\
\ \\
\alpha^2 = 177
$$
Não é um quadrado perfeito, logo $\alpha$ não é inteiro.
$\longrightarrow$ Para $\beta = -23$:
$$-23\big(3 \alpha^2 - (-23)^2 \big) = 46 \\
\ \\
3\alpha^2 - 529 = -2 \\
\ \\
3\alpha ^2 = 527 \\
\ \\
\alpha^2 = \frac{527}{3}
$$
Não é um quadrado perfeito, logo $\alpha$ não é inteiro.
$\longrightarrow$ Para $\beta = 46$:
$$46\big(3 \alpha^2 - 46^2 \big) = 46 \\
\ \\
3\alpha^2 - 2116 = 1 \\
\ \\
3\alpha ^2 = 2117 \\
\ \\
\alpha^2 = \frac{2177}{3}
$$
Não é um quadrado perfeito, logo $\alpha$ não é inteiro.
$\longrightarrow$ Para $\beta = -46$:
$$-46\big(3 \alpha^2 - (-46)^2 \big) = 46 \\
\ \\
3\alpha^2 - 2116 = -1 \\
\ \\
3\alpha ^2 = 2115 \\
\ \\
\alpha^2 = 705
$$
Não é um quadrado perfeito, logo $\alpha$ não é inteiro.
Testando as possibilidades da equação
Tomando os pares $(\alpha , \beta)=(3,2)$ e $(-3,2)$, vamos substituir os valores de$\alpha$ e $\beta$.
$\longrightarrow$ Para $\alpha = 3$ e $\beta = 2$:
$$3\big(3^2 - 3 (2)^2 \big) = -9\\
\ \\
3(9-12) = -9 \\
\ \\
-9 = -9
$$
Verdadeiro
$\longrightarrow$ Para $\alpha = -3$ e $\beta = 2$:
$$-3\big((-3)^2 - 3 (2)^2 \big) = -9\\
\ \\
-3(9-12) = -9 \\
\ \\
9 = -9
$$
Falso
Logo, a única solução para $\alpha$ e $\beta$ inteiros não nulos, é:
$$S = \{ \alpha =3 , \beta =2 \}
$$
Assim, o número complexo é:
$$z = 3 + 2i
$$
Questão 2
Calcule as soluções reais da equação:
x^4 + (2x+7)^3 + 14x^3 + \frac{147}{2} x^2 + \frac{7^3}{2} x = - \frac{7^4}{16}
$$
Resolução:
Iniciamos fatorando os coeficientes de $x$:
x^4 + (2x+7)^3 + 2\cdot 7 x^3 + \frac{3\cdot 7^2 x^2}{2} + \frac{7^3x}{2} + \frac{7^4}{16}=0
$$
Para eliminarmos os denominadores, calculamos o mmc:
16x^4 + 16(2x+7)^3 + 32 \cdot 7 x^3 + 24 \cdot 7^2 x^2 + 8 \cdot 7^3 x + 7^4 = 0 \\
\ \\
2^4x^4 + 2^4(2x+7)^3 + 2^5 \cdot 7x^3 + 2^3 \cdot 3 \cdot 7^2 x^2 + 2^3\cdot 7^3 + 7^4 = 0 \\
\ \\
(2x)^4 + 2^4(2x+7)^3 + 2^2 \cdot (2x)^3 + 2\cdot 3 \cdot 7^2(2x)^2 + 2^2\cdot 7^3(2x) + 7^4 = 0
$$
Reorganizando de forma conveniente:
(2x)^4 + 4(2x)^3 \cdot 7 + 6(2x)^2 \cdot 7^2 + 4(2x)\cdot 7^3 + 7^4 + 16(2x+7)^3 = 0
$$
Se analisarmos com atenção, podemos notar que os coeficientes fazem parte da quarta linha do Triângulo de Pascal:
$$1,4,6,4,1
$$
Assim:
$$(2x+7)^4 + 16(2x+7)^3 = 0 \\
\ \\
(2x+7)^3(2x+7) + 16(2x+7)^3 = 0\\
\ \\
(2x+7)^3 (2x+7+16) = 0 \\
\ \\
(2x+7)^3(2x+23) = 0
$$
Daqui segue que $2x+7=0$ ou $2x+23=0$:
$$2x+7 = 0 \\
\ \\
2x = -7 \\
\ \\
x = -\frac{7}{2}
$$
Ou:
$$2x+23 = 0 \\
\ \\
2x = -23 \\
\ \\
x = -\frac{23}{2}
$$
As raízes da equação são:
$$S = \left\{-\frac{23}{2} , -\frac{7}{2} \right\}
$$
Questão 3
Considere a função $f: [0,1) \longrightarrow \mathbb{R}$, definida por:
$$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \sqrt{x^n}
$$
e $a \in [0,1)$, com $a \neq 1/9$. Dentre todas as retas secantes ao gráfico da função $f$ nos pontos $(a, f(a))$ e $(x,f(x))$, com $x \neq a$, a que tem o menor coeficiente angular é aquela que é paralela à reta de equação $ky-4x=2026$. Determine o valor de $k$ em função de $a$.
A função é definida por:
$$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \sqrt{x^n}
$$
Podemos reescrevê-la como:
$$f(x) = \sum_{n=1}^\infty x^{n/2}
$$
Essa é uma série geométrica com razão $q=x^{1/2}$, válida para $x \in [0,1)$. Como $x^{1/2}< 1 $, a série converge.
O primeiro termo da série é dado para $n=1$:
$$a_1 = \sqrt{x^1} = \sqrt{x}
$$
A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
$$S = \frac{a_1}{1-q} - \frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}
$$
Portanto, a função $f(x)$ pode ser expressa de forma fechada como:
$$f(x) = \frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}
$$
Coeficiente angular da reta secante
O coeficiente angular $m(x)$ da reta secante que passa pelos pontos $(a,f(a))$ e $(x,f(x))$ é dado por:
$$m(x) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}
$$
Fazemos as substituições:
$$m(x) = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}}{x-a}
$$
m(x) = \dfrac{\sqrt{x}\big(1-\sqrt{a}\big) - \sqrt{a}\big(1-\sqrt{x}\big)}{x-a} \cdot\cfrac{1}{(x-a)}
$$
m(x) = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{a} \sqrt{x} - \sqrt{a} + \sqrt{a}\sqrt{x}}{\big(1-\sqrt{x}\big)\big(1-\sqrt{a}\big)\big(x-a\big)}
$$ $$
m(x) = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{a}}{\big(1-\sqrt{x}\big)\big(1-\sqrt{a}\big)\big(x-a\big)}
$$
Podemos escrever $(x-a)$ como:
$$(x-a) = \big(\sqrt{x}-\sqrt{a}\big) \big(\sqrt{x} + \sqrt{a}\big)
$$
Substituímos na relação anterior:
m(x) = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{a}}{\big(1-\sqrt{x}\big)\big(1-\sqrt{a}\big)\big(\sqrt{x}-\sqrt{a}\big) \big(\sqrt{x} + \sqrt{a}\big)}
$$
m(x) = \frac{1}{\big(1-\sqrt{x}\big)\big(1-\sqrt{a}\big) \big(\sqrt{x} + \sqrt{a}\big)}
$$
Encontrando o menor coeficiente angular
Para um $a$ fixo, minimizar $m$ é equivalente a maximizar o denominador:
$$m_{min} = \frac{1}{D_{max}}
$$
Fazemos $u=\sqrt{x}$. Assim:
$$D(u) = (1-u)(u+\sqrt{a})(1-\sqrt{a})\\
$$
Temos que:
$$h(u) = (1-u)(u+\sqrt{a})\\
\ \\
h(u) = u+\sqrt{a} - u^2 - u\sqrt{a}\\
\ \\
h(u) = -u^2 + (u - u\sqrt{a}) + \sqrt{a}\\
\ \\
h(u) = -u^2 + (1-\sqrt{a})u + \sqrt{a}
$$
Temos que $h(u)$ é uma equação de segundo grau. Podemos utilizar a fórmula do vértice de uma parábola para obter o valor de máximo:
$$u_V = -\frac{b}{a} = \frac{1-\sqrt{a}}{2}
$$
Vamos substituir $u$ em $h(u)$:
$$h(u) = (1-u)(u+\sqrt{a})\\
\ \\
h(u) = \left( 1-\frac{1-\sqrt{a}}{2} \right)\left( \frac{1-\sqrt{a}}{2} + \sqrt{a} \right)\\
\ \\
h(u) = \left( \frac{2-1+\sqrt{a}}{2} \right) \left( \frac{1-\sqrt{a} + 2\sqrt{a}}{2} \right)\\
\ \\
h(u) = \left( \frac{1+\sqrt{a}}{2}\right) \left( \frac{1+\sqrt{a}}{2}\right)\\
\ \\
h(u) = \left(\frac{1+\sqrt{a}}{2}\right)^2
$$
Como, $m_{min} = \dfrac{1}{D_{max}}$, fazemos:
$$m_{min} = \frac{1}{D_{max}}\\
\ \\
m_{min} = \frac{1}{D(u)}\\
\ \\
m_{min} = \dfrac{1}{\left( \dfrac{1+\sqrt{a}}{2} \right) \big(1-\sqrt{a}\big)}\\
\ \\
m_{min} = \frac{4}{\big(1+\sqrt{a}\big)^2 \big(1-\sqrt{a}\big)}
$$
Analisando o paralelismo com a reta dada
A reta dada é $ky - 4x = 2026$. Isolando $y$, obtemos:
$$ky = 4x+2026 \\
\ \\
y = \frac{4x}{k} + \frac{2026}{k}
$$
O coeficiente angular dessa reta é $\dfrac{4}{k}$.
De acordo com o enunciado, a secante de menor coeficiente angular é paralela a essa reta, então:
$$\frac{4}{k} = \frac{4}{\big(1+\sqrt{a}\big)^2\big(1-\sqrt{a}\big)}\\
\ \\
k = \big(1+\sqrt{a}\big)^2 \big(1- \sqrt{a}\big)\\
\ \\ k = \big(1-a\big) \big(1+\sqrt{a}\big)
$$
Questão 4
Seja $i$ tal que $i^2=-1$. Determine os valores do complexo $z$ que satisfazem a equação:
i \left(\frac{z+\overline{z}}{z-\overline{z}} + \frac{z^2+\big(\overline{z}\big)^2}{z^2 - \big(\overline{z}\big)^2} \right) - \left( \frac{z+\overline{z}}{z-\overline{z}} \right)\left( \frac{z^2-\big(\overline{z}\big)^2}{z^2-\big(\overline{z}\big)^2} \right) = 1
$$
em que $\overline{z}$ representa o conjugado de $z$.
Iniciamos fazendo $z=a+bi$, onde $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$. Desta forma, o conjugado de $z$ será $\overline{z}=a-bi$.
Para facilitar o processo, e para a equação não ficar excessivamente longa, vamos efetuar as somas e subtrações separadamente.
$\longrightarrow$ $z+ \overline{z}$
$$z + \overline{z} = a + bi + a - bi\\
\ \\
z + \overline{z} = 2a
$$
$\longrightarrow$ $z - \overline{z}$
$$z - \overline{z} = a+bi - (a-bi)\\
\ \\
z-\overline{z} = 2bi
$$
$\longrightarrow$ $z^2 + \overline{z}\ ^2$
$$z^2 + \overline{z}\ ^2 = (a+bi)^2 + (a-bi)^2
$$
z^2 + \overline{z}\ ^2 = a^2 +2abi + b^2i+a^2-2abi + b^2i^2
$$
z^2 + \overline{z}\ ^2 = 2a^2 + 2b^2i^2 \\
\ \\
z^2 + \overline{z}\ ^2 = 2a^2 - 2b^2 \\
\ \\
z^2 + \overline{z}\ ^2 = 2(a^2-b^2)
$$
$\longrightarrow$ $z^2 - \overline{z}\ ^2$
$$z^2 - \overline{z}\ ^2 = (a+bi)^2 - (a-bi)^2
$$
z^2 - \overline{z}\ ^2 = a^2 +2abi + b^2 i^2 - (a^2-2abi + b^2i^2)\\
\ \\
z^2 - \overline{z}\ ^2 = a^2 + 2abi + b^2i^2 - a^2 + 2abi - b^2i^2\\
$$
z^2 - \overline{z}\ ^2 = 4abi
$$
Agora, vamos substituir esses valores na equação original:
i\left( \frac{2a}{2bi} + \frac{2(a^2-b^2)}{4abi} \right) - \left(\frac{2a}{2bi}\right) \left(\frac{2(a^2-b^2)}{4abi}\right) = 1
$$
$$
\frac{a}{b} + \frac{a^2-b^2}{2ab} - \frac{a}{bi} \cdot \frac{a^2-b^2}{2abi} = 1\\
\ \\
\frac{a}{b}+\frac{a}{2b}-\frac{b}{2a}+\frac{a^2-b^2}{2b^2}=1\\
\ \\
\frac{a}{b} + \frac{a}{2b} - \frac{b}{2a} + \frac{a^2}{2b^2} - \frac{b^2}{2b^2} = 1
$$
Podemos fazer a substituição $t=\dfrac{a}{b}$. Assim:
$$t + \frac{t}{2} - \frac{1}{2t} + \frac{t^2}{2} - \frac{1}{2} - 1 = 0\\
\ \\
2t^2 + t^2 - 1 + t^3 - t - 2t = 0\\
\ \\
t^3 + 3t^2 - 3t - 1 = 0 \\
\ \\
(t-1)(t^2 + 4t + 1) = 0
$$
Daqui, temos que:
$$t_1-1 = 0
\ \\
t_1 = 1
$$
E também:
$$t_2\ ^2 + 4t + 1 = 0\\
\ \\
t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\ \\
t_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2}\\
\ \\
t_2 = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2}\\
\ \\
t_2\ = -2 \pm \sqrt{3}
$$
Como fizemos $t=\dfrac{a}{b}$, temos:
$$t_1 = \frac{a}{b}\\
\ \\
1 = \frac{a}{b}\\
\ \\
a=b
$$
E também:
$$t_2 = \frac{a}{b}\\
\ \\
-2\pm\sqrt{3} = \frac{a}{b}\\
\ \\
a = b\big(-2 \pm \sqrt{3} \big)
$$
Pela definição $z = a+bi$:
$$z_1 = a+bi \\
\ \\
z_1 = b+bi\\
\ \\
z_1 = b(1+i), \quad z \neq 0
$$
$$
z_2 = a + bi\\
\ \\
z_2 = b(-2 + \sqrt{3}\big) + bi\\
\ \\
z_2 = -2b +b\sqrt{3} + bi\\
\ \\
z_2 = b \big(-2+\sqrt{3} + i\big)\ \quad z \neq 0
$$
$$
z_3 = a + bi\\
\ \\
z_3 = b\big(-2-\sqrt{3}\big) + bi\\
\ \\
z_3 = -2b-b\sqrt{3} + bi\\
\ \\
z_3 = b\big(-2-\sqrt{3}+i\big), \quad z \neq 0
$$
Solução:
$$\left\{
\begin{matrix}
b(1+i)\\
\ \\
b\big(-2+\sqrt{3}+1\big)\\
\ \\
b\big(-2-\sqrt{3}+1\big)
\end{matrix}
\right\}
, \quad z \neq 0
$$
Questão 5
Sejam $a$, $b$ e $c$ número reais positivos. Prove que:
(a+b+c) \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq 9
$$
Resolução:
Para esta demonstração, vamos usar as desigualdades entre médias aritméticas e harmônicas.
A desigualdade média afirma que, para $n$ números reais positivos:
$$x_1, x_2, x_3, \cdots , x_n
$$
Tem-se:
$$MA \geq MG \geq MH
$$
onde:
- $MA$ = média aritmética
- $MG$ = média geométrica
- $MH$ = média harmônica
Sendo:
$$MA = \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\\
\ \\
MG = \sqrt[n]{\big(x_1 \cdot x_2\cdot \ldots \cdot x_n\big)}\\
\ \\
MH = \frac{n}{\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n}}
$$
Como no problema temos $n=3$ termos $(a,b,c)$, fazemos:
$$\frac{a+b+c}{3}
\geq \frac{3}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}}
$$
Multiplicamos ambos os membros por 3:
$$a+b+c \geq \frac{9}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}}
$$
Multiplicamos ambos os membros por $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$:
$$(a+b+c) \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \geq 9
$$
Questão 6
Seja $a_1, a_2, a_3, \cdots , a_{2027}$ uma sequência de números reais tal que $a_1=1$, $a_4=10$ e que o sistema linear:
$$\begin{cases}
x & + & 2y & + & z & = & a_j\\
\ \\
x & + & 3y & + & z & = & a_{j+1}\\
\ \\
x & + & 4y & + & z & = & a_{j+2}
\end{cases}
$$
é possível para cada $j=1, \cdots , 2025$. Calcule:
$$\sum _{j=1}^{2025} \big( x_j + y_j + z_j \big)
$$
em que $\big(x_j, y_j, z_j\big)$ representa uma solução do sistema para cada $j=1, \cdots , 2025$.
Resolução:
Dado o sistema linear para cada $j=1,2,\cdots , 2025$:
$$\begin{cases}
x & + & 2y & + & z & = & a_j & & (1)\\
\ \\
x & + & 3y & + & z & = & a_{j+1} & & (2)\\
\ \\
x & + & 4y & + & z & = & a_{j+2} & & (3)
\end{cases}
$$
Queremos calcular:
$$\sum _{j=1}^{2025} \big( x_j + y_j + z_j \big)
$$
onde $\big(x_j, y_j, z_j\big)$ é uma solução para cada $j$.
Subtraímos a equação $(1)$ da equação $(2)$:
$$(x + 3y + x) - (x+2y+z) = a_{j+1} - a_j\\
\ \\
y = a_{j+1} - a_j
$$
Substraindo a equação $(2)$ da equação $(3)$:
$$(x+4y+z) - (x+3y+a) = a_{j+2}-a_{j+1}
\ \\
y = a_{j+2} - a_{j+1}
$$
Temos então que:
$$a_{j+1} - a_j = a_{j+1} - a_{j+1}
$$
Essa igualdade significa que a diferença entre os termos consecutivos é constante, válida para $j=1$ até $j=2025$:
a_3-a_2 = a_2-a_1 = a_4-a_3 = \cdots = a_{2027} - a_{2026}
$$
Cálculo da razão da PA:
A razão $r$ é obtida por:
$$r = a_2-a_1
$$
Pelos dados do problema, temos que $a_1=1$ e $a_4=10$. Podemos escrever como:
$$a_1=1\\
\ \\
a_2 = a_1+r \\
\ \\
a_3 = a_1 + 2r\\
\ \\
a_4 = a_1 + 3r
$$
Substituímos os valores de $a_1$ e $a_4$, obtemos:
$$10 = 1 + 3r \\
\ \\
3r = 9\\
\ \\
r = 3
$$
Logo, se $a_n$ é a PA, então:
$$a_n = a_1 + (n-1)r\\
\ \\
a_n = 1 + (n-1)\cdot 3\\
\ \\
a_n = 1 + 3n - 3\\
$$ $$ a_n = 3n -2 \tag{4}
$$
para $n=1,2, \cdots , 2027$.
Voltamos para o sistema, para $j$ fixo, sabemos que:
$$y_j = a_{j+1} - a_j = r = 3 \tag{5} $$
É constante e não depende de $j$.
Tomando a equação $(1)$:
$$x_j + 2y_j + z_j = a_j\\
\ \\
x_j + 6 + z_j = a_j \\
\ \\
$$ $$ x_j + z_j = a_j - 6 \tag{6}
$$
Cálculo do somatório:
O objetivo é calcular o somatório:
$$S = \sum _{j=1}^{2025} \big( x_j + y_j + z_j \big)
$$
Fazemos:
$$S = \sum _{j=1}^{2025} \big[ \big(x_j + z_j\big) + y_j \big]
$$
Substituindo $(5)$ em $(6)$:
$$S = \sum _{j=1}^{2025} \big[ a_j-6+3\big]\\
\ \\
S = \sum _{j=1}^{2025} \big( a_j - 3 \big)
$$
Da relação $(4)$, sabemos que:
$$a_j = 3j-2
$$
Então:
$$S = \sum _{j=1}^{2025} \big( 3j-2-3 \big)\\
\ \\
S = \sum _{j=1}^{2025} \big( 3_j - 5 \big)
$$
Separando a soma em duas partes:
$$S = \sum _{j=1}^{2025}3_j - \sum _{j=1}^{2025} 5\\
\ \\
S = 3 \sum _{j=1}^{2025} j - \sum _{j=1}^{2025} 5
$$
Para a primeira soma, usamos a fórmula para calcular a soma dos $n$ números naturais:
$$S_1 = \frac{n(n+1)}{2}
$$
Assim:
$$S_1 = 3 \cdot \left( \frac{2025 (2025 + 1}{2} \right)\\
\ \\
s_1 = 3 \cdot \left( \frac{2025 \times 2026}{2} \right)
$$
A segunda soma é:
$$S_2 = \sum _{j=1}^{2025} 5 = 5 \times 2025
$$
Portanto, o somatório é dado por:
$$S = S_1 + S_2 \\
\ \\
S = 3\left(\frac{2025 \times 2026}{2} \right) - 5 \times 2025\\
\ \\
S = 2025 \left( \frac{3 \times 2026}{2} - 5 \right)\\
\ \\
S = 2025 \big( 3 \times 1013 - 5 \big)\\
\ \\
S = 2025 \big(3039 - 5 \big)\\
\ \\
S= 2025 \times 3034\\
\ \\
S = 6.143.850
$$
Questão 7
A probabilidade de um computador estar infectado por um vírus é de 90%. Um programa antivírus detecta a presença de vírus em um computador infectado com probabilidade de 95%, mas indica a presença de vírus quando o computador não está infectado com probabilidade de 1%. O programa analisou um dado computador e respondeu que o mesmo não está infectado. Qual é a probabilidade do computador examinado estar infectado?
Resolução:
Analisando o problema, podemos definir os eventos como:
- $I:$ O computador está infectado
- $\overline{I}:$ O computador não está infectado
- $D:$ O antivírus detecta o vírus
- $\overline{D}:$ O antivírus não detecta o vírus
Usaremos o Teorema de Bayes para resolver este problema, pois permite calcular a probabilidade de um evento, dado que outro evento ocorreu. O teorema relaciona a probabilidade de um evento $A$ ocorrer dado que um evento $B$ já ocorreu, com a probabilidade de $B$ dado $A$, atrabés da fórmula:
P(A|B) = \frac{P(A) \times P(B|A)}{P(A) \times P(B|A) + P(A)\times P(B|A)}
$$
Dados do problema:
O problema pede a probabilidade do computador estar infectado $(I)$, dado que o antivírus não detectou $(\overline{D})$, ou seja, queremos calcular $(I|\overline{D})$.
1. A probabilidade de o computador estar infectado é de 90%. Assim:
$$P(I) = 0,90
$$
2. Logo, a probabilidade de o computador não estar infectado é de 10%. Assim:
$$P(\overline{I}) = 0,10
$$
3. A probabilidade de não detecção se infectado é um falso negativo e é o complemento da probabilidade de detecção, dado que está infectado:
$$P(\overline{D}|I) = 1- P(D|I)\\
\ \\
P(\overline{D}|I) = 1 - 0,95\\
\ \\
P(\overline{D}|I) = 0,05
$$
4. A probabilidade de não detecção se não infectado é um verdadeiro positivo e é o complemeto da probabilidade do falso positivo:
$$P(\overline{D}|\overline{I}) = 1 - P(D|\overline{I})\\
\ \\
P(\overline{D}|\overline{I}) = 1 - 0,01\\
\ \\
P(\overline{D}|\overline{I}) = 0,99
$$
Aplicação do Teorema de Bayes
O Teorema de Bayes é dado por:
$$P(I|\overline{D}) = \frac{P(\overline{D}|I) \times P(I)}{P(\overline{D})}
$$
Precisamos calcular a probabilidade $P(\overline{D})$ do antivírus não detectar o vírus. Em geral, fazemos usando a Lei da Probabilidade total:
$$P(\overline{D}) = P(\overline{D}|I) \cdot P(I) + P(\overline{D}|\overline{I}) \cdot P(\overline{I})\\
\ \\
P(\overline{D}) = 0,05 \times 0,90 + 0,99 \times 0,10\\
\ \\
P(\overline{D}) = 0,054 + 0,099\\
\ \\
P(\overline{D}) = 0,144
$$
Agora, substituímos na fórmula do Teorema de Bayes para calcular a probabilidade final.
$$P(I|\overline{D}) = \frac{P(\overline{D}|I) \cdot P(I)}{P(\overline{D})}\\
\ \\
P(I|\overline{D}) = \frac{0,05 \times 0,90}{0,144}\\
\ \\
P(I|\overline{D}) = \frac{0,045}{0,144}\\
\ \\
P(I|\overline{D}) = 0,3125
$$
Assim, a probabilidade do computador examinado estar infectado, dado que o programa antivírus espondeu que o mesmo não estava, é de:
$$0,3125 \quad \text{ou} \quad 31,25 \%
$$
Questão 8
Prova que o sistema admite uma única solução real e calcule-a:
$$\begin{cases}
x + \log \big(x + \sqrt{x^2+1}\ \big) = y\\
\ \\
y + \log \big(y + \sqrt{y^2+1}\ \big) = z\\
\ \\
z + \log \big(z + \sqrt{z^2 +1}\ \big) = x
\end{cases}
$$
Resolução:
Para provar que o sistema admite uma única solução, iniciamos analisando a função:
$$f(t) = t + \log \big( t + \sqrt{t^2+1} \big)
$$
Essa função é estritamente crescente para todo $t \in \mathbb{R}$, porque:
- $t \longmapsto t$ é crescente
- $t \longmapsto \log \big(t+\sqrt{t^2+1} \big)$ é crescente, pois o argumento é crescente e positivo
Logo, $f(t)$ é injetora se $f(a)=f(b)$, então $a=b$.
Procurando uma solução:
Podemos reescrever o sistema de equações como:
$$\begin{cases}
f(x) = y\\
\ \\
f(y) = z\\
\ \\
f(z) = x
\end{cases}
$$
Seja $F(x) = f \circ f \circ f$. Então, $F(x)=x$. Como $f$ é estritamente crescente, então $F$ também será.
Se $x$ é um ponto fixo de $F$, então $f(x)=x$, pois os únicos ciclos possíveis são de tamanho 1.
1. Se $x>y$, então $f(x) > g(x)$, ou seja, $y>z$.
2. Se $y>z$, então $f(y)>f(z)$, ou seja $z>x$.
3. Se $z>x$, então $f(z)>f(x)$, ou seja, $x>y$.
Isso leva a uma contradição, pois $x>y>$, $y>z$ e $z>x$, o que é impossível.
Da mesma forma, se tivermos:
1. Se $x < y$, então $f(x) < g(x)$, ou seja, $y < z$.
2. Se $y < z$, então $f(y) < f(z)$, ou seja $z < x$.
3. Se $z < x$, então $f(z) < f(x)$, ou seja, $x < y$.
Isso também nos leva a uma contradição: $x < y < z < x$, o que é impossível.
Assim, a única possibilidade possível é que $x=y=z$.
Encontrando uma equação:
Substituindo $x=y=z$ na primeira equação do sistema, obtemos:
$$x + \log \big(x + \sqrt{x^2+1}\ \big) = x\\
\ \\
\log \big( x+ \sqrt{x^2+1}\ \big) = 0
$$
Pela definição de logaritmo, $\log _a (b) = 0$, significa que $a^0=b=1$. Assim:
$$x + \sqrt{x^2+1} = 1
\ \\
\sqrt{x^2+1} = 1-x
$$
Para que a equação tenha solução real, devemos ter que $1-x \geq 0$, ou seja $x \leq 1$.
Elevamos ambos os membros ao quadrado:
$$x^2+1 = (1-x)^2\\
\ \\
x^2 + 1 = 1 - 2x + x^2\\
\ \\
x^2 - x^2 +1 - 1 -2x = 0 \\
\ \\
-2x = 0 \\
\ \\
x = 0
$$
Verificamos que $x=0$ satisfaz a condição $x \leq 1 $, portanto, a única solução real é:
$$x = y = z = 0
$$
Questão 9
No quadrado $ABCD$ de lado $a$, são dados os pontos $M$ sobre o lado $BC$ e $N$ sobre o lado $CD$ de forma que $AMN$ seja um triângulo equilátero. Calcule, em função de $a$, o raio do círculo inscrito no triângulo $CMN$.
Resolução:
Sejam $\angle BAM = \theta$. Como $AMN$ é equilátero, logo $\angle MAN = 60^\circ$. Assim:
$$\angle NAD = 90^\circ - 60^\circ - \theta = 30^\circ - \theta
$$
No triângulo $ABM$, retângulo em $B$, temos:
$$\text{cos}(\theta) = \frac{AB}{AM} = \frac{a}{\ell}\\
\ \\
\ell = \frac{a}{\text{cos}(\theta)}
$$
No triângulo $ADN$, retângulo em $D$, temos:
$$\text{cos}(30^\circ -\theta ) = \frac{AD}{AN} = \frac{A}{\ell} = \text{cos}(\theta)
$$
Para calcularmos $\text{cos}(30^\circ - \theta) = \text{cos}(\theta)$, consideramos $\theta \in \big[0^\circ , 90^\circ \big]$:
$$30^\circ - \theta = \theta\\
\ \\
2\theta = 30^\circ \\
\ \\
\theta = 15^\circ
$$
Determinando o lado do triângulo:
Temos que:
$$\ell = \frac{a}{\text{cos}(\theta)} = \frac{a}{\text{cos}(15^\circ)}
$$
Para encontrarmos $\text{cos}(15^\circ)$, podemos usar a identidade do cosseno da diferença, dada pela fórmula:
$$\text{cos}(\alpha - \beta) = \text{cos}(\alpha)\text{cos}(\beta) + \text{sen}(\alpha) \text{sen}(\beta)
$$
Assim:
$$\text{cos}(15^\circ) = \text{cos}(45^\circ - 30^\circ) $$
\text{cos}(15^\circ) = \text{cos}(45^\circ) \text{cos}(30^\circ) + \text{sen}(45^\circ) \text{sen}(30^\circ)
$$
Sabemos que:
$$\text{cos}(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{e} \quad \text{cos}(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\ \\
\text{sen}(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{e} \quad \text{sen}(30^\circ)=\frac{1}{2}
$$
Substituindo:
$$\text{cos}(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\\
\ \\
\text{cos}(15^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}\\
\ \\
\text{cos}(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
Assim:
$$\ell = \frac{a}{\text{cos}(15^\circ)} \\
\ \\
\ell = \frac{4a}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\
\ \\
\ell = \frac{4a}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}\\
\ \\
\ell = \frac{4a(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6 - \sqrt{12} + \sqrt{12} - 2}\\
\ \\
\ell = \frac{4a(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}\\
\ \\
\ell = a(\sqrt{6} - \sqrt{2})
$$
Calculando $CM$ e $CN$:
No triângulo $ABM$, temos:
$$\text{tg}(15^\circ) = \frac{BM}{a}\\
\ \\
BM = a\ \text{tg}(15^\circ)
$$
Para encontrarmos $\text{tg}(15^\circ)$, usamos a fórmula da tangente da diferença, dada pela fórmula:
$$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}(\alpha) - \text{tg}(\beta)}{1+ \text{tg}(\alpha) \text{tg}(\beta)}
$$
Assim:
$$\text{tg}(15^\circ) = \text{tg}(45^\circ - 15^\circ)\\
\ \\
\text{tg}(15^\circ) = \frac{\text{tg}(45^\circ) - \text{tg}(30^\circ)}{1 + \text{tg}(45^\circ) \text{tg}(30^\circ)}
$$
Sabemos que:
$$
\text{tg}(45^\circ) = 1 \quad \text{e} \quad \text{tg}(30^\circ) = \dfrac{1}{\sqrt{3}}
$$
Substituindo:
$$\text{tg}(15^\circ) = \frac{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}}
$$
Multiplicando o numerador por $\sqrt{3}$, obtemos:
$$\text{tg}(15^\circ) = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}
\ \\
\text{tg}(15^\circ) = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}\\
\ \\
\text{tg}(15^\circ) = \frac{3-\sqrt{3} - \sqrt{3} + 1}{3 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1}\\
\ \\
\text{tg}(15^\circ) = 2-\sqrt{3}
$$
Agora, substituímos em $BM$:
$$BM = a\ \text{tg}(15^\circ)\\
\ \\
BM = a (2 - \sqrt{3})
$$
No triângulo $ADN$, temos:
$$\text{tg}(15^\circ) = \frac{a}{DN}\\
\ \\
DN = a\ \text{tg}(15^\circ)\\
\ \\
DN = a (2 - \sqrt{3})
$$
Então:
$$CN = a - DN \\
\ \\
CN = a - a(2-\sqrt{3})\\
\ \\
CN = 1 - 2a + a \sqrt{3} \\
\ \\
CN = a(\sqrt{3}-1)
$$
Portanto:
$$CM = CN = a(\sqrt{3} - 1)
$$
Calculando o raio do círculo:
Temos que:
- $CM = CN = a (\sqrt{3}-1)$
- $MV = \ell = a(\sqrt{6} - \sqrt{2})$
Para encontrarmos o raio do círculo inscrito, utilizamos a fórmula conhecida na Geometria Plana:
$$r = \frac{2 A}{P}
$$
onde $A$ é a área e $P$ é o perímetro;
A área $A$ encontramos fazemndo:
$$A = \frac{CM \cdot CN}{2} \\
\ \\
A = \frac{\big[a(\sqrt{3}-1) \big]^2}{2}\\
\ \\
A = \frac{a^2 (3-2\sqrt{3} + 1}{2}\\
\ \\
A = a^2(2-\sqrt{3})
$$
O perímetro $P$ é dado por:
$$P = CM + CN + MN \\
\ \\
P = 2a(\sqrt{3}-1) + a(\sqrt{6}-\sqrt{2})
$$
Aplicando na fórmula do raio:
$$r = \frac{2a^2(2-\sqrt{3}}{2a(\sqrt{3}-1) + a(\sqrt{6}-\sqrt{2})} \\
\ \\
r = \frac{2a^2(2-\sqrt{3})}{a(2(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{6}-\sqrt{2})}\\
\ \\
r = \frac{2a(2-\sqrt{3})}{2(\sqrt{3}-1) + \sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}\\
\ \\
r = \frac{2a(2-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}-1)(2+\sqrt{2})}
$$
Multiplicando o numerador e o denominador por $2-\sqrt{2}$:
$$r = \frac{2a(2-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}-1)(2+\sqrt{2})} \cdot \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\\
\ \\
r = \frac{2a(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{2})}{2(\sqrt{3}-1)}\\
\ \\
r = \frac{a(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-1)}\\
\ \\
r = \frac{a(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\\
\ \\
r = \frac{a(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)}{2}\\
\ \\
r = \frac{a(\sqrt{3}-1)(2-\sqrt{2})}{2}
$$
Questão 10
Seja o tetraedro regular $ABCD$ de aresta $a$ e a esfera inscrita no mesmo. Considerando cada vértice, traça-se um plano distinto da base oposta, paralelo a esta e tangente à esfera. Um novo tetraedro é então formado a partir do vértice $A$ e dos novos vértices definidos pela intersecção do novo plano traçado, paralelo à base $BCD$, com o tetraedro $ABCD$. Analogamente faz-se o mesmo processo para os vértices $B$, $C$ e $D$. Em seguida, inscreve-se uma esfera em cada novo tetraedro criado. Repete-se o processo de forma indefinida. Calcule em função de $a$ o volume ocupado por todas as esferas interiores ao tetraedro $ABCD$.
Resolução:
Vamos analisar o problema detalhadamente:
Para o tetraedro $ABCD$ dado, de aresta $a$, temos:
- Uma esfera inscrita no tetraedro
- Para cada vértice $(A,B,C,D)$, traçamos um plano $\pi$ paralelo à face oposta e tangente à esfera
- O plano $\pi$ intersecta o tetraedro formando um novo tetraedro com o vértice original e os três pontos de intersecção
- Em cada um dos 4 novos tetraedros formados, inscrevemos uma esfera e repetimos o processo indefinidamente
- O objetivo é calcular o volume ocupado por todas as esferas inscritas geradas pelo processo em função da aresta $a$
O processo de construção define que a cada novo tetraedro criado, com sua respectiva esfera inscrita, será semelhante ao tetraedro original. Vamos encontrar a razão de semelhança.
O plano $\pi_A$ traçado a partir do vértice $A$ é paralelo à face oposta $BCD$ e o vértice $A$ é a altura $H$ do tetraedro $ABCD$, dado por:
$$H = \frac{a\sqrt{6}}{3}
$$
O centro $O$ da esfera $E_0$ está sobre a altura $H$ do tetraedro e a distância de $O$ ao plano $BCD$ é o raio $r$, dado por:
$$r = \frac{a\sqrt{6}}{12}
$$
O plano $\pi_A$ é tangente à esfera $E_0$, o que significa que a distância entre $O$ e $\pi_A$ também é igual a $r$.
Como $\pi_A$ e $BCD$ são paralelos, a distância entre eles é dada por:
$$d(\pi_A , BCD) = d(\pi_A , O) + d(O, BCD) \\
\ \\
d(\pi_A , BCD) = r + r\\
\ \\
d(\pi_A , BCD) = = 2r
$$
O novo tetraedro $T_A$ é formado pelo vértice $A$ e a intersecção do plano $\pi_A$ com o tetraedro $ABCD$. A altura $H_A$ do tetraedro $T_A$ é a distância entre o vértice e o plano $\pi_A$:
$$H_A = H - d(\pi_A , BCD) \\
\ \\
H_A = H - 2r
$$
Como $r = \dfrac{H}{4}$, temos:
$$H_A = H - \frac{H}{2} \\
\ \\
H_A = \frac{H}{2}
$$
A razão de semelhança $K$ entre o novo tetraedro $T_A$ e o original $ABCD$ é a razão entre suas alturas:
$$K = \frac{H_A}{H}\\
\ \\
K = \frac{\dfrac{H}{2}}{H}\\
\ \\
K = \frac{1}{2}
$$
Série geométrica dos volumes:
Vamos encontrar o volume da esfera inicial $E_0$ e os volumes das esferas criadas $E_n$.
Volume da esfera inicial $E_0$:
O raio da esfera inicial $E_0$ é dado por:
$$r_0 = r = \frac{a \sqrt{6}}{12}
$$
Seu volume $V_0$ é dado por:
$$V_0 = \frac{4}{3} \pi \ r_0^3 \\
\ \\
V_0 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{a\sqrt{6}}{12} \right)^3
$$
Volumes das esferas criadas $E_n$:
O processo é repetido indefinidamente. A cada nova etapa, são criadas 4 novos tetraedros. Assim, na n-ésima etapa são criados $4^n$ novos tetraedros, assim, com $4^n$ novas esferas.
Como a razão de semelhança entre um tetraedro e cada um dos 4 tetraedros criados em cada etapa é $k=\dfrac{1}{2}$, a razão entre seus volumes será:
$$k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}
$$
O volume da esfera inscrita em um tetraedro de aresta $a^\prime$ é:
$$V^\prime _{esfera} = \frac{4}{3} \pi \ r{^\prime}^3
$$
Se $r^\prime = k \cdot r$, então:
$$V^\prime _{esfera} = k^3 \cdot V_{esfera}
$$
Ou seja, o volume de cada esfera criada é $1/8$ do volume da esfera anterior.
O volume total das 4 esferas da primeira etapa $(n=1)$ é:
$$V_1 = 4 \cdot \frac{1}{8} V_0 = \frac{1}{2} V_0
$$
Da esfera $n$, o volume total das esferas adicionadas será:
$$V_n = 4^n \cdot \Big(k^3 \Big)^n \ V_0\\
\ \\
V_n = 4^n \cdot \left( \left(\frac{1}{2}\right)^3 \right) V_0\\
\ \\
V_n = 4^n \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^n V_0\\
\ \\
V_n = \left( \frac{4}{8}\right)^n V_0\\
\ \\
V_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n V_0
$$
O volume total $V_T$ é a soma dos volumes de $E_0$ e de todas as esferas criadas:
$$V_T = V_0 + V_1 + V_2 + V_3 + \cdots \\
$$
V_T = V_0 + \frac{1}{2}V_0 + \left(\frac{1}{2}\right)^2V_0 + \left(\frac{1}{2}\right)^3+\cdots
$$
Esta é uma soma uma PG infinita, onde:
- O primeiro termo é $t=V_0$
- A razão é $q=\dfrac{1}{2}$
Como $q < 1$, a soma $S$ converge. Assim:
$$S = \frac{t}{1-q} = \frac{V_0}{1-\dfrac{1}{2}} = \frac{V_0}{\dfrac{1}{2}} = 2V_0
$$
Calculando o volume total:
O volume total $V_T$, ocupado por todas as esferas é $V_T=2V_0$. Substituindo a expressão para $v_0$:
$$V_T = 2 V_0 \\
\ \\
V_T = 2 \cdot \frac{4}{3} \pi\ r_0 ^3\\
\ \\
V_T = \frac{8}{3} \pi \ r_0^3
$$
Substituindo $r_0 = \dfrac{a \sqrt{6}}{12}$, obtemos:
$$V_T = \frac{8}{3} \pi \left( \frac{a \sqrt{6}}{12} \right)^3 \\
\ \\
V_T = \frac{8}{3} \pi \frac{a^3 6 \sqrt{6}}{12^3} \\
\ \\
V_T = \frac{8}{3} \pi \cdot \frac{a^3 6 \sqrt{6}}{1728} \\
\ \\
V_T = \frac{48 \pi a^3 \sqrt{6}}{5184}\\
\ \\
V_T = \frac{\pi a^3 \sqrt{6}}{108}
$$
Excelente!!!
ResponderExcluirObrigado, meu amigo pela sugestão!
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