31/05/2009

A Pirâmide Humana de Newton

A obra de Isaac Newton (1642-1727) foi esmiuçada de cem mil maneiras pelos seus biógrafos. Tudo foi pesquisado, visto e revisto Aqui apresentamos aos leitores, como simples curiosidade, alguns comentários sobre uma frase que é atribuída ao imortal cientista, filósofo, geômetra, astrônomo, alquimista, teólogo e também matemático inglês. Vejamos em que consiste a pirâmide humana de Newton.Pirâmide de Anderson (Newton)

Sendo consultado por seu dileto amigo Edmund Halley (1656-1742), o astrônomo, sobre as notáveis descobertas por ele realizadas, respondeu Newton, revelando, como sempre, o traço marcante de sua incomensurável modéstia:

“Se  eu consegui ver mais longe do que os outros foi porque subi sobre ombros de gigantes”

A forma mais corrente dessa frase, que ficou famosa na História da Matemática, é a seguinte:

“If I have seen farther than others it is because I have stood on the shoulders of gigants”.

Ao espírito do curioso repontam logo duas perguntas que são, aliás, bem naturais:

Quem teria servido de base para a maior glória do imortal criador do Cálculo diferencial? Quais foram os gigantes que permitiram a Newton “ver mais longe do que os outros”?

A estranha pirâmide humana que vemos na figura ao lado foi imaginada pelo matemático americano Professor Raymond W. Anderson e incluída em seu livro Romping Through Mathematics (pág. 134).

Vemos que o autor do incrível Binômio, de binóculo em punho, tem o pé direito sobre o ombro esquerdo de Descartes (1596-1650) e o pé esquerdo bem firme sobre o ombro direito de Neper (1550-1617).

O primeiro foi o criador da Geometria Analítica e o segundo teve a glória de inventar os logaritmos. Está, assim, Newton apoiado em dois gigantes da Análise Matemática.

Descartes e Neper, este com trajes escoceses, pisam tranquilos sobre os ombros de três geômetras orientais: al-Karismi (persa do século XII) que imaginou o sistema de numeração indo-arábico, Omar Khayyamm (persa, 1040-1112) que ampliou o campo algébrico e um matemático anônimo (árabe ou hindu) que teve a idéia genial de criar o zero. Anderson dá a esse matemático a denominação de Mr. Zero.

Os três orientais da pirâmide newtoniana estão amparados por dois gregos de fama: Pitágoras, o Filósofo do Número (século IV a.C.), Euclides, o criador da Axiomática (século III a.C.).

Abaixo dos gregos, com braço estendidos, está o geômetra egípcio (talvez um Ahmés, do Papiro de Rhind) que enunciou as primeiras proposições geométricas e calculou áreas e volumes. Na base da coluna, Anderson colocou o matemático caldeu que construiu as bases do cálculo aritmético e criou o sistema sexagesimal de numeração.

Falta alguém nesta pirâmide?

Sim, na opinião do Prof. Cristovam dos Santos, matemático mineiro, dois geômetras e um astrônomo deveriam ser incluídos entre os gigantes: Arquimedes de Siracusa, Tales de mileto e o Alemão Johannes Kepler.

E por que esquecer o matemático anônimo que inventou o ponto geométrico?

Todos reconhecem e proclamam a importância do conceito de ponto entre noções básicas da Geometria. E tanto assim, que Horácio Lamb, físico e matemático inglês, propôs que se erguesse um monumento ao inventor desconhecido do ponto geométrico. Essa glorificação seria justa, assegurava Lamb, porque o primeiro homem a idealizar o ponto lançou os fundamentos do prodigioso edifício da abstração matemática.

Referências:

[1] Malba Tahan - As Maravilhas da Matemática


Veja Mais:

Galileu e a Queda dos Corpos
A Computação e o Sonho de Babbage

30/05/2009

As Leis de Newton

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Princípio da Dinâmica

Os filósofos antigos se deparavam com questões como: Todos os movimentos necessitam de uma causa? E se tiver correto, qual é a natureza desta causa? A confusão sobre estas questões persistiu até o século XVII, quando Galileu e Newton desenvolveram uma abordagem para estudar estes movimentos, conhecido como “Mecânico Clássica”.

As Leis de Newton são a base do nosso entendimento sobre o movimento e suas causas, até que suas limitações foram reveladas pelas descobertas no século XX, na Física Quântica e da Relatividade.

1ª Lei de Newton: Lei da Inércia

Segundo Aristóteles, tanto para colocar um corpo em movimento, como para mantê-lo em movimento é necessária a ação de uma força.

Em seu monumental tratado “Os Princípios Matemáticos da Filosofia  Natural”, conhecido como Princípia, publicado em 1687, podemos encontrar enunciado por Newton, sua primeira Lei:

“Todo corpo persiste em seu estado de repouso, ou de movimento retilíneo uniforme, a menos que seja compelido a modificar esse estado pela ação de forças impressas sobre ele.”

2ª Lei de Newton: Lei Fundamental da Dinâmica

Uma das implicações da 1ª Lei de Newton é que qualquer variação da velocidade v de um corpo em relação a um referencial inercial, ou seja, qualquer aceleração diferente de zero deve estar associada à ação de forças.

A força é dada por:

clip_image002[4]

onde:

clip_image002[6] é a força, clip_image002[8] é a aceleração e m é a massa do corpo.

A unidade de massa é definida em termos de um protótipo, padrão de platina iridiada, depositado no Ofício Internacional de Pesos e Medidas em Paris, que representa o quilograma (kg), e foi construído originalmente para corresponder à massa de 1l de água à pressão atmosférica e à temperatura de 4ºC. Por definição, 1kg é a massa desse protótipo. Poderíamos pensar em adotar também unidades atômicas para a massa, mas isto seria atualmente desvantajoso do ponto de vista de precisão nas aplicações práticas, uma vez que não podemos contar diretamente o número de átomos contido num corpo macroscópico, e o número de Avogrado (número de moléculas por mol) é conhecido com precisão muito inferior à precisão com a qual podemos medir massas em termos de quilograma padrão.

A unidade de força no S.I. é o Newton (N). Por definição, 1N é a força que, quando aplicada a um corpo de massa de 1kg, lhe imprime uma aceleração de 1m/s2. Para ter uma idéia concreta da ordem de grandeza do Newton, a aceleração da gravidade clip_image002[42], 1N é a ordem de grandeza da força-peso exercida pela gravidade sobre um corpo de massa de aproximadamente igual a 100g (uma maçã, por exemplo!).

Observação: No sistema CGS de unidade, em que as unidades básicas são: cm, g e s (centímetro, grama e segundo), a unidade de força é 1 dina, a força que comunica uma aceleração de 1cm/s2 é uma massa de 1g. Como:

clip_image002

e

clip_image002[14]

temos que:

clip_image002[16]

Uma aplicação da 2ª Lei de Newton é que só intervém na dinâmica deslocamentos, velocidades e acelerações das partículas. Não é preciso considerar, por exemplo, derivadas temporais da aceleração, tais como:

clip_image002

Outra implicação importante está relacionada com o caráter vetorial da fórmula:

clip_image002[20]

Como clip_image002[8] é um vetor e m é um escalar, segue-se que a força clip_image002[22] é um vetor. Assim F1, F2, F3, ..., FN, são forças de diferentes origens que atuam sobre a mesma partícula, a força F é a resultante que atua sobre a partícula, ou seja:

clip_image002[24]

onde a soma vetorial (para N = 2), obedece à regra do paralelogramo. Este é um resultado experimental, conhecido como princípio de superposição de forças:

Regra Paralelogramo

Considerando a partícula 1 da figura acima interagindo com outras duas, 2 e 3, e seja F1(2) a força sobre 1 devida à partícula 2, e F1(3) a força sobre 1 devida à partícula 3. A força resultante sobre a partícula 1 será:

clip_image002[4]

Newton não formulou originalmente a força como produto da massa pela aceleração. Newton começou definindo o que chamou de “quantidade de movimento”, também conhecido como momento linear, ou simplesmente momento. A definição de Newton foi:

“A quantidade de movimento é a medida do mesmo, que se origina conjuntamente da velocidade e da massa.”

Ou seja: o momento linear de uma partícula é o produto de sua massa por sua velocidade:

clip_image002[26]

Decorre imediatamente que p é um vetor.

Se m não varia com o tempo, ou seja, se excluirmos sistemas de massa variável, obtemos, derivando em relação ao tempo ambos os membros da equação do momento linear:

clip_image002[28]

clip_image002[6]

clip_image004

Comparando com a equação da força, obtemos:

clip_image002[8]

que corresponde à formulação de Newton da 2ª Lei:

“A variação do momento é proporcional à força impressa e tem a direção da força.”

Ou seja, a força é a taxa de variação do momento linear em relação ao tempo. Embora esta formulação da 2ª Lei pareça inteiramente equivalente a F = m . a, tem algumas vantagens sobre esta. Uma delas é que revela a importância do conceito de momento. Outra é que mesmo na mecânica relativista permanece válida.

3ª Lei de Newton: Conservação do Momento

Todas as forças são parte de interações mútuas entre dois ou mais corpos.

Considere o caso Terra-Lua: A Terra exerce uma força gravitacional sobre a Lua e esta exerce uma força gravitacional sobre a Terra.

As forças que agem sobre um corpo A são devidas a outros corpos da vizinhança. Suponha que um corpo B aja sobre A. A força de ação será:

clip_image002[36]

Por sua vez, a força que o corpo A exerce sobre B será:

clip_image002[38]

Enunciado da 3ª Lei de Newton:

Quando um corpo exerce uma força sobre o outro, o segundo exerce uma força sobre o primeiro. Essas duas forças são sempre iguais em intensidades e opostas em sentido.

clip_image002[40]

Forma Compacta da 3ª Lei de Newton:

A cada ação existe uma reação igual em intensidade e oposta em sentido.


Veja Mais:

O Movimento de Precessão da Terra
Cálculo Centro de Massa Terra Lua
Gravitação Universal e Campo Gravitacional
Galileu e a Queda dos Corpos
As Velocidades da Terra

24/05/2009

EDO: Técnica de Datação por Carbono-14 (14C)

A técnica do carbono $14$ foi descoberta pelo químico Willard Libby no ano de $1947$. Essa descoberta é considerada uma das mais importantes descobertas científicas para a arqueologia e outras áreas de estudos, pois através desta técnica é possível se precisar a idade dos fósseis encontrados e assim reconstruir a história do planeta Terra.

Plantas assimilam $^{14}C$ durante a fotossíntese e animais comem plantas. Assim, todos os seres terrestres vivos mantêm sua entrada de $^{14}C$ durante sua vida. O $^{14}CO_2$, como o ,$CO_2$, dissolve-se nos oceanos e está disponível ao plâncton, corais, moluscos e peixes, de modo que todos os seres durante sua vida reabastecem-se continuamente de $^{14}C$.

Na morte das plantas ou animais a entrada de $^{14}C$ cessa. O tempo da morte pode ser estabelecido pela determinação de $^{14}C$ residual. A abundância natural do $^{14}C$ é de $0,000001\%$, enquanto do $^{12}C$ é de $98,9\%$. O decaimento segue a seguinte equação:
\begin{equation*}
^{14}_{6}C \ \longrightarrow \ ^{14}_{7}N \ \longrightarrow  \ ^0_{-1}\beta
\end{equation*}
O $^{14}C $ decai com meia-vida de $5730$ anos. Por convenção internacional utiliza-se até hoje o valor de meia-vida de $5568$ anos determinado na década de $50$, que sabidamente apresenta um erro da ordem de $3\%$.
\begin{equation*}
A_{\text{análise}} = A_{\text{padrão}} \times \exp \left[ -\frac{\ln (2)}{T_{1/2}} \ t \right]
\end{equation*}
onde:

$A_{\text{análise}}$ é a atividade medida;

$A_{\text{padrão}}$ é a atividade padrão, na ocasião da morte do fóssil;

$T_{1/2}$ é a meia-vida do, $5.568$ anos;

$t$ é o tempo decorrido em anos.

Com base nestas informações e no resultado da equação diferencial do decaimento radiativo, determine há quanto tempo viveu um fóssil, cujas análises revelaram:

$A_{\text{análise}}  = 0,0069\ Bq$

$A_{\text{padrão}} = 1,0000\ Bq$

Resolução:

\begin{equation*}
A_a = A_p \times \exp \left[ -\frac{\ln (2)}{T_{1/2}} \ t \right]\\
\ \\
0,0069 = 1 \times \exp \left[ -\frac{\ln (2)}{5568} \ t \right]\\
\ \\
0,0069 = 1 \times \exp \left[ -\frac{0,6931471}{5568} \ t \right]\\
\ \\
0,0069 = \exp \left[ 1,25 \times 10^{-4}\ t \right]\\
\ \\
0,0069 = e^{1,25 \times 10^{-4}\ t}\\
\ \\
\ln (0,0069) = -1,25 \times 10^{-4}\ t\\
\ \\
-4,976 = -1,25 \times 10^{-4}\ t\\
\ \\
t = 39.809,8
\end{equation*}
O fóssil viveu aproximadamente $39.810$ anos.

Veja mais:

Medias de tempo
Medidas de tempo muito longos
Queda dos corpos com resistência do ar


Transmissão de Movimento Circular Uniforme

É possível efetuar a transmissão de movimento circular por contato (engrenagens) ou por correia (correntes, polias, etc.):

Transmissão por contato:

Transmissão por contato

Transmissão por corrente:

Transmissão por corrente

Na transmissão por contato, há inversão de movimento, já na transmissão por corrente, não há. No entanto, independentemente do tipo de transmissão, os pontos periféricos das duas rodas têm os mesmos módulos de velocidades linear, então:

clip_image002

Como v = r. w, então:

clip_image002[4]

Como:

clip_image002[6]

Então:

clip_image002[8]

clip_image002[10]

 

Veja Mais:

Aceleração Centrípeta

No movimento circular, a partícula tem a direção da velocidade linear constantemente alterada. Isto ocorre porque sobre ela, atua uma aceleração chamada de Aceleração Centrípeta

Considerando o caso de um satélite que orbita em torno da Terra. No ponto P1 ele está com velocidade v. Se não houvesse aceleração ele iria do ponto P1 ao P2, num intervalo de tempo t. Porém, ele chega ao ponto P’2.

ace centrip 1

Assim, num certo sentido, o satélite “cai” à distância h. Tomando um tempo muito pequeno, teremos h << r (h muito menor que r):

ace centrip 2

clip_image002[10]

clip_image004[6]

clip_image006[4]

clip_image008[4]

Associado h com:

clip_image002

reconhecemos que a aceleração centrípeta é:

clip_image002[4]

mas como v = r. w, temos:

clip_image002[6]

clip_image004

Que é a aceleração centrípeta, medida em m/s2

 

Veja Mais:

16/05/2009

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