29/01/2010

Galileu e a Queda dos Corpos

Galileu Galilei O exemplo mais familiar de movimento retilíneo uniformemente acelerado é a queda livre de um corpo solto em repouso. Este foi um dos problemas analisados por Galileu em seus trabalhos, que deram origem à era moderna da física.

Os gregos da época clássica encontraram dificuldades intransponíveis na análise do movimento. Essas dificuldades estavam relacionadas com a formulação dos conceitos básicos do Cálculo Infinitesimal (como os de limite, derivada e integral), que nasceram precisamente da análise do problema do movimento. No século V a.C., Zenon de Eléia formulou quatro célebres paradoxos, um dos quais, “Aquiles e a tartaruga”, está diretamente relacionado com este problema: Aquiles aposta uma corrida com uma tartaruga, e é 10 vezes mais veloz que ela. A tartaruga parte antes dele, de modo que está a uma distância d quando Aquiles parte. Quando Aquiles atinge a distância d, a tartaruga já terá percorrido uma distância adicional d/10, e continuará à frente de Aquiles. Quando Aquiles tiver percorrido a distância d/10, a tartaruga terá percorrido d/100, e assim por diante: a conclusão do paradoxo é que Aquiles nunca conseguirá alcançar a tartaruga. A dificuldade básica dos gregos estava em entender que a soma de uma série infinita de intervalos de tempo que tendem a zero rapidamente (em progressão geométrica) pode ser finita.

Na Física de Aristóteles (século IV a.C.), a matéria era analisada em termos dos “Quatro Elementos”: Terra, Água, Ar e Fogo, cada um dos quais teria seu “lugar natural”: Água (oceanos) e Terra em baixo, Ar e Fogo (sol e estrelas) em cima. Um elemento deslocado de seu lugar natural procuraria regressar a ele: isto explicaria porque a fumaça sobe, ao passo que um corpo, mais depressa ele cai: uma pedra cai bem mais depressa que uma gota de chuva. Estas idéias. Baseadas em observações qualitativas, transformaram-se em dogma e predominaram durante cerca de 20 séculos!

Galileu Galilei nasceu em Pisa em 1.564. Recebeu a educação Aristotélica convencional. Tendo sido enviado pelo pai à Universidade de Pisa para estudar medicina. Entretanto, interessou-se mais pela matemática e conseguiu mudar para esse campo. Com 21 anos, teve de deixar a Universidade por falta de recursos e foi para Florença; Em Florença, conseguiu rapidamente estabelecer uma tal reputação científica que, aos 26 anos, foi nomeado Professor de Matemática da Universidade de Pisa. Passou dois anos em Pisa, onde fez muitos inimigos devido ao seu espírito independente. Depois mudou-se para a Universidade de Pádua, onde permaneceu como Professor de Matemática durante 18 anos. Foi um grande professor, chegando a ter 2.000 alunos em sua “aula magna”.Foi em Pisa que Galileu procurou verificar experimentalmente se as idéias de Aristóteles de fato eram válidas (o que era então uma atitude revolucionária). Entretanto, as célebre história sobre a bala de canhão e a bala de fuzil que teria deixado cair do alta da Torre de Pisa para verificar se a de canhão realmente atingia o solo antes da outra parecer ser apócrifa. Uma experiência desse tipo parece ter sido feita por Simon Stevin, um cientista holandês precursor de Galileu, que dela teria tido conhecimento.

Em Pádua, Galileu se tornou um defensor da teoria de Copérnico. Voltou à Toscana em 1.610, como Filósofo e Matemático da Corte, e em 1.632 publicou o seu “Diálogo sobre Dois Principais Sistemas do Mundo” defendendo Copérnico. Pouco depois, deu-se o choque com a Inquisição, que manteve Galileu virtualmente como prisioneiro. Foi então, já quase cego, que ele escreveu seu livro mais importante, Discursos e Demonstrações Matemáticas sobre Duas Novas Ciências”, contrabandeado para a Holanda e lá publicado em 1.638, quatro anos antes de sua morte.

Ambos os livro são escritos em forma de diálogo entre 3 personagens: Salviati (que representa Galileu), Simplício (defensor de Aristóteles) e Sagredo (representando um observador imparcial inteligente). Na 1ª Jornada, Salviati refuta Aristóteles:

“Aristóteles diz que “uma bola de ferro de cem libras, caindo de cem cúbitos (1 cúbito equivale a cerca de 45 a 50cm) de altura, atinge o solo antes que uma bala de uma libra tenha caído de um só cúbito”. Eu digo que chegam ao mesmo tempo. Fazendo a experiência, você verifica que a maior precede a menor por dois dedos, ou seja, quando a maior chegou ao solo, a outra está a dois dedos de altura;você não pode querer esconder nesses dois dedos os noventa e nove cúbito de Aristóteles...”

Galileu atribui as pequenas discrepâncias de tempo de queda, no exemplo citado, ao efeito da resistência do ar, que pode afetar bem mais um corpo mais leve, explicando assim as observações qualitativas em que Aristóteles se baseara. Mais tarde, com a invenção da máquina pneumática, foi possível verificar que objetos de pesos muito diferentes, de fato, caiam ao mesmo tempo, quando se eliminava a resistência do ar, fazendo o vácuo.

Galileu inicia a 2ª parte dos “Discursos” anunciando qual é seu propósito:

“Meu objetivo é expor uma ciência muito nova que trata de um tema antigo. Talvez nada na natureza seja mais antigo que o movimento, e os livros escritos por filósofos sobre este tema não são poucos nem pouco volumosos; todavia, descobri pela experiência algumas propriedades dele que merecem ser conhecidas e que não foram observadas nem demonstradas até agora. Foram feitas algumas observações superficiais, como, a de que o movimento em queda livre de um corpo pesado é continuamente acelerado, mas exatamente de que forma esta aceleração ocorre não foi anunciado até agora...

Foi observado que os projéteis descrevem algum tipo de trajetória curva; mas ninguém mencionou o fato de que esta trajetória é uma parábola. Consegui demonstrar este e outros fatos, nem um pouco numerosos nem menos dignos de nota; e, o que considero mais importante, foram abertos a esta vasta e excelentíssima ciência, da qual meu trabalho é apenas o começo, caminhos e metas pelos quais outras mentes, mais agudas do que a minha, explorarão seus recantos mais remotos“.

Depois de definir e discutir o movimento uniforme, Galileu passa a tratar o movimento uniformemente acelerado, definindo-o como aquele em que ocorre incrementos iguais de velocidade em tempos iguais (Galileu havia pensado primeiro numa definição em que incrementos iguais de velocidade corresponderiam a percursos iguais, mas logo percebeu que ela não seria satisfatória). Assim, foi o primeiro a definir aceleração.

Um estudo experimental direto da queda livre seria muito difícil naquela época, porque os tempos de queda nas condições usuais são muito curtos. Galileu resolveu esta dificuldade diminuindo a aceleração, com o auxílio de um plano inclinado. Em lugar de mediar a velocidade em função do tempo, o que teria sido muito difícil, mediu a distância percorrida por um objeto descendo por um plano inclinado a partir do repouso, mostrando que cresce com o quadrado do tempo, o que, conforme ele havia provado na discussão anterior, é característico do movimento uniformemente acelerado:

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É interessante observar como Salviati descreve a experiência:

“Foi tomada uma prancha de madeira, com cerca de 12 cúbitos de comprimento, meio cúbito de largura e três dedos de espessura; na beirada dela, foi escavado um canal de pouco mais de um dedo de largura; tendo feito este canal bem reto, liso e polido, e tendo-o forrado com pergaminho, também tão liso e polido quanto possível, fizemos rolar ao longo dele uma bola de bronze dura, lisa e bem redonda. Tendo colocado a prancha numa posição inclinada, elevando uma extremidade um ou dois cúbitos acima da outra, rolamos a bola, como estava dizendo, ao longo do canal, notando, na forma que vamos descrever, o tempo com tal precisão que o desvio entre duas observações nunca excedesse um décimo de um batimento do pulso (cardíaco). Tendo executado esta operação e tendo-nos assegurado que o resultado merecia confiança, fizemos a bola de apenas 1/4 do comprimento do canal; e, tendo medido o tempo de descida, encontramos precisamente a metade do anterior. Tentamos a seguir outras distâncias, comparando o tempo para o comprimento total com aquele para a metade, ou 2/3, ou 3/4, ou qualquer outra fração; em tais experiências, repetidas cem vezes, sempre encontramos que os espaços percorridos estavam entre si como os quadrados dos tempos, e que isto valia para qualquer inclinação do plano, ou seja, do canal, ao longo do qual fazíamos rolar a bola...

Para a medida de tempo, empregamos um grande recipiente com água, colocando numa posição elevada; um cano de pequeno diâmetro foi soldado ao fundo do recipiente, deixando escoar um filete de água. Que era coletado num copinho no decurso de cada descida, fosse ela ao longo de todo o canal ou apenas de uma parte dele; a água assim coletada era pesada, após cada descida numa balança de muita precisão; as diferenças e razões desses pesos nos davam as diferenças e razões dos tempos, e isto com tanta precisão que, embora a operação fosse repetida muitas e muitas vezes, não havia discrepância apreciável entre os resultados.”

As experiências de Galileu, e muitas outras posteriores, acabaram estabelecendo como fato experimental que o movimento de queda livre de um corpo solto ou lançado verticalmente, na medida em que a resistência do ar possa ser desprezada, é um movimento uniformemente acelerado, em que a aceleração é a mesma para todos os corpos (embora sofra pequenas variações de ponto a ponto da Terra). Esta aceleração da gravidade é indicada por g e seu valor aproximado é:

clip_image002[4]

Referências:

[1] Curso de Física Básica – V1 Mecânica - H. Moysés Nussenzveig


Veja Mais:

O Teorema de Stevin
Medidas de Tempo
EDO: Queda dos Corpos em Queda Livre

26/01/2010

A Química Newtoniana

Newton deixou suas marcas na mecânica, na matemática, na óptica, mas costuma-se esquecer de citar seus trabalhos no campo da química, dos quais destacam-se dois aspectos. Por um lado, distingue-se o Newton esotérico, envolvido durante toda a vida em pesquisas alquímicas; por outro lado, o Newton empenhado em aplicar seu método indutivo à interpretação da reatividade química. Seus trabalhos experimentais, embora abundantes e desenvolvidos com atenção aos detalhes, não deixariam marcas na história da química; mas suas interpretações mecanicistas influenciariam durante mais de um século os “filósofos da matéria”: a princípio somente os ingleses, depois também os continentais.

image [Figura 1: Laboratório Alquímico de Newton]

Newton sempre se interessou pela química e praticou as “artes químicas” desde o Trinity College, no início da década de 1660, até a casa da Moeda, em Londres (da qual foi nomeado diretor em 1697), que o aproxima da metalurgia. Entre 1675 e 1680 ele se corresponde principalmente com Robert Boyle, autor do Sceptical chemist (1661), obra capital que propões uma abordagem da noção moderna de elemento químico. A segunda metade do século XVII é também a da volta do atomismo, devida em grande medida a Pierre Gassendi, filósofo francês que reabilita na França o epicurismo e, portanto, o atomismo, numa época em que o Ocidente católico ainda é fracamente hostil aos filósofos materialistas.

Newton terá o cuidado de não divulgar seu interesse pela alquimia e só publicará suas reflexões mais bem-acabadas e menos esotéricas. É sobretudo em seu tratado Optikis, e principalmente na célebre questão XXXI da 2ª edição inglesa de 1717, que Newton expõe o fruto de suas “reflexões químicas”. Aí ele descreve as reações químicas com interações entre átomos (termo empregado por Newton), de moléculas (ele fala de partículas ou de corpos) e concebe a ligação química (ele chama de coesão) em termos de interações a “pequena distância” de origem elétrica. Notemos que essas hipóteses, guiadas unicamente pela intuição e pela observação do desenvolvimento de numerosas reações químicas, não poderiam, à época, ser comprovadas por dados experimentais quantitativos.

Essas reflexões sobre a reatividade, e, portanto, sobre a seletividade das reações químicas, serviriam de base para o desenvolvimento do conceito de afinidade química.

As reflexões Newtonianas de onde deriva a noção de força interparticular ou força de coesão num contexto atômico viriam a chamar a atenção dos físicos-químicos do começo do século XIX. No curso do século XVII, as idéias de Newton seriam comparadas com a teoria do flogístico do alemão Georg Ernst Stahl (1660 - 1734), que descreve as reações óxirredução (combustão, etc.) pela transferência do fluído hipotético, o flogístico, do corpo oxidado para o corpo oxidante. Os trabalhos de Newton serviriam de base aos atomistas, o mais conhecido dos quais é o inglês John Dalton (1766 - 1844); esse admirador de Newton foi o primeiro a relacionar dados experimentais quantitativos a uma descrição atomística da matéria e a propor uma tabela das massas atômicas (1803). Eles influenciariam também o francês Claude-Louis Berthollet (1748 - 1822), pioneiro da termodinâmica química, autor do célebre Ensaio de estática química (1803), onde se encontra a teoria das proporções variáveis (baseada na noção de força de coesão, essa teoria interpreta a influência das condições de reação sobre a natureza dos produtos formados e constitui a base da teoria dos equilíbrios químicos.

Num balanço final, distinguem-se duas facetas de um Newton preocupado em interpretar a dinâmica das reações químicas num contexto racional, ao mesmo tempo que se dedica à alquimia. Não obstante, os historiadores da química são concordes em afirmar que Newton é um dos co-fundadores do atomismo químico.

Referências:

[1] Scientifc American Brasil - Gênios da Ciência nº 1 - Newton, O Pai da Física Moderna


Veja mais:

A Mala de Newton
O Tempo Absoluto de Newton
EDO: A Lei da Refrigeração de Newton

25/01/2010

Elementos de Euclides

Elements Os Elementos de Euclides (grego: Στοιχεῖα) é um tratado matemático e geométrico consistindo de 13 livros escrito pelo matemático grego Euclides em Alexandria por volta de 300 a.C.. Ele engloba uma coleção de definições, postulados (axiomas), proposições (teoremas e construções) e provas matemáticas das proposições. Os treze livros cobrem a geometria euclidiana e a versão grega antiga da teoria dos números elementar. Parece que Euclides pretendia reunir três grandes descobertas do seu tempo: a teoria das proporções de Eudoxo (Livro V), a teoria dos irracionais de Teeteto e a teoria dos cinco sólidos regulares, que ocupava um lugar importante na cosmologia de Platão.

Com a exceção do Sobre a Esfera Movente de Autolycus de Pitane, os Elementos é o tratado grego sobrevivente mais antigo e contém o tratamento axiomático-dedutivo sobrevivente mais antigo da matemática. Ele se provou útil na construção da lógica e da ciência moderna.

Os Elementos de Euclides é o livro mais bem sucedido e influente jamais escrito. Tendo sido colocado em tipos primeiramente em Veneza em 1482, é um dos primeiros trabalhos de matemática e ser impresso depois da invenção da prensa móvel e perde somente para a Bíblia em número de edições publicadas,com o número batendo nas mil edições.

No link abaixo é possível ver os 13 livros de forma interativa com applet’s Java:

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html



Veja mais em:

http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/euclid/1parte.html
http://pt.wikipedia.org/wiki/Os_Elementos
http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_Elements

23/01/2010

O Método do Desfazer

O método do desfazer baseia-se nas noções de inversos operacionais e nas reversibilidades de um processo envolvendo uma ou mais etapas inversíveis.

O método relaciona-se com a operação de achar inversas de funções compostas, que é uma idéia mais complexa do que o método em si.

Vamos considerar a seguinte equação:

clip_image002

Se raciocinarmos o que está acontecendo com a incógnita x, podemos descrever a ordem das operações envolvendo x no primeiro membro. Vejamos o que acontece:

image Começamos com x:

x

Multiplicamos por 2:

2x

Subtraímos 3:

2x – 3

Multiplicamos por 7:

7(2x – 3)

Subtraímos 5:

7(2x – 3) – 5

Dividimos por 10:

clip_image004

O resultado é 3, decorrente da igualdade afirmada na equação, mas notem que para cada valor atribuído a x, teremos resultados distintos. Neste caso o único valor atribuído a x que resulte 3 é x = 4.

Vamos, agora, resolver a equação pelo método do desfazer:

clip_image002[1]

image

Começamos da igualdade:

Multiplicamos 3 por 10, resultando 30;

Somamos 5 ao 30, resultando 35;

Dividimos 35 por 7, resultando 5;

Somamos 3 ao 5, resultando 8;

Dividimos 8 por 2, resultando 4

Encontrando o valor de x = 4

Vejam que este é o método que utilizamos para determinarmos o valor de x, devido à nossa prática em resolução. Então, não há nada de novo até aqui! Mas vejam que o método é importante por oferecer uma oportunidade de integração matemática, na medida em que se conecta a resolução de equações, operações inversas, estimulando a reversibilidade, análise e resolução de problemas.

Referências:

[1] As Ideias da Álgebra – John E. Bernard e Martin P. Cohrn


Veja mais:

A Arte de Armar Equações
Como Resolver um Problema
Um Problema de Língua Portuguesa

21/01/2010

Quadriláteros Notáveis

A Geometria que hoje estudamos teve sua origem aproximadamente a 300 a.C., por Euclides em sua obra Os Elementos, dividido em treze livros.

Na definição 19 do Livro I, Euclides define uma “figura quadrilátera” como sendo aquela contida por quatro linhas retas; e na definição 22 do mesmo livro, ele define alguns quadriláteros notáveis como:

  • Quadrado: É uma figura quadrilátera de quatro lados iguais com ângulos retos;
  • Oblongo: É uma figura quadrilátera com ângulos retos, mas não tem quatro lados iguais;
  • Rombo: É uma figura quadrilátera com quatro lados iguais, mas que não tem ângulos retos;
  • Rombóide: É uma figura quadrilátera que tem lados e ângulos opostos iguais entre si, mas não tem lados iguais nem ângulos retos.

Quadriláteros segundo euclides

[Figura 1: Quadriláteros segundo Euclides]

Vemos que o oblongo de Euclides é o que chamamos hoje de retângulo; o rombo, chamamos de losango e o rombóide de paralelogramo.

Utilizando um diagrama de Venn, podemos representar os quadriláteros definidos por Euclides como:

Venn_euclides_480

[Figura 2: Diagrama de Venn envolvendo os quadriláteros, segundo Euclides]

Já Legendre (1793), que preconizava uma Geometria mais rigorosa, definiu os quadriláteros notáveis como:

  • Quadrado: Tem seus lados iguais e seu ângulos retos;
  • Retângulo: Tem seus ângulos retos, sem ter os lados iguais;
  • Losango: Tem os lados iguais sem que os ângulos sejam retos;
  • Paralelogramo: Tem os lados opostos paralelos.

Vemos que o oblongo, o rombo e o rombóide de Euclides passaram a se denominar retângulo, losango e paralelogramo. Mas vejam que o conceito de paralelogramo foi ampliado, permitindo que os quadrados, retângulos e losangos também sejam casos particulares de paralelogramos.

Mais tarde, em 1898, Hadamard definiu os quadriláteros notáveis como:

  • Quadrado: É um quadrilátero que tem todos os lados iguais e todos os ângulos retos;
  • Retângulo: É um quadrilátero que tem todos os ângulos iguais e, conseqüentemente, retos;
  • Losango: É um quadrilátero que tem todos os lados iguais;
  • Paralelogramo: É um quadrilátero que tem os quatro lados paralelos dois a dois.

Segundo essas definições, todo quadrado pode ser considerado um caso particular de retângulo e losango.

Podemos representar por diagrama de Venn, os quadriláteros definidos por Hadamard:

Venn_hadamard_4802

[Figura 3: Diagrama de Venn envolvendo os quadriláteros, segundo Hadamard]

Essas definições dadas por Hadamard, são as mesmas encontradas hoje em livros didáticos.


Veja mais:

Organograma dos Quadriláteros Notáveis
O Problema dos Quadrados Mágicos
Classificação dos Sistemas Lineares

20/01/2010

Esculturas Matemáticas – Bathsheba Grossman

Bathsheba Grossman é uma artista que explora as regiões entre a Arte e a Matemática, trabalhando sobre a vida em três dimensões, com simetria e equilíbrio, entre o zero e o infinito de modo a encontrar a beleza geométrica.

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Bathsheba utiliza a tecnologia de impressão em 3-D em metal e também de gravação a laser em superfícies de vidro. Veja algumas de suas obras:

 

Borromean Rings

Essa escultura é de uma classe de objetos conhecidos como superfícies de Seifert. Cada nó e ligações (na matemática nós são circuitos fechados, as ligações são conjuntos de nós) tem uma superfície contínua que está na borda. Uma introdução a essas superfícies, juntamente com software livre para gerá-los, estão no site SeifertView.

Estas superfícies são freqüentemente bonitas, especialmente por ter nós simétricos. Essa superfície tem três lados, cada um formando um simples circuito fechado, que estão presos juntos formando os chamados Anéis de Borromeu.

A malha orgânica é larga o suficiente para deixar a luz passar, sem deixar de responder com sensibilidade à curvatura e dar uma textura tátil.

Borromean Rings 3 Borromean Rings 1 Borromean Rings 2

 

Quintrino

Esta peça é um clássico e é essencial para quem vive no espaço 3-D. Com base num Sólido Platônico, o Quintrino utiliza uma simetria dodecaédrica misteriosa com um grande volume escondido em seu interior.

Quintrino 3  Quintrino 2

 

The 120-Cell

Este é um sólido 4-D análogo ao dodecaedro, projetado no espaço 3-D, composta por 12o faces dodecaédricas

The 120-Cell 1The 120-Cell 2

 

The 24-Cell

Este é outro sólido 4-D projetado em 3-D, composto de 24 células octaédricas. Também conhecida como hyperdiamond. É um dos mais interessantes dos sólidos regulares em 4-espaço, pois uma de suas propriedades é que é auto-dual.

The 24-Cell 1The 24-Cell 2

 

The 600-Cell

Este é o mais complexo dos sólidos regulares em 4 dimensão, o 600-Cell. Às vezes, é visto como o análogo do icosaedro, e tem, como se poderia esperar, 600 células tetraédricas. Não é nada fácil visualizar este modelo no espaço 3-D e por isso foi usado uma projeção ortogonal ao invés de os diagramas Schlegel do polytopes construídos por Bathsheba.

Parece complicado devido aos muitos ângulos, mas girando o sólido,pode-se ver a beleza ao longo das simetrias cúbicas.

The 600-Cell 1 The 600-Cell 2 The 600-Cell 3

Vejam alguns trabalhos feitos através da gravação a laser em superfícies de vidro:

Via Láctea

Milk Way Galaxy 1Milk Way Galaxy 2

Geodynamo – O Campo magnético da Terra

      Geodynamo Crystal 1Geodynamo Crystal 2

 

Visitem o site da artista plástica e confiram sua galeria.

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08/01/2010

Quem Sabe Somar Sabe Dividir

Somar é a primeira operação matemática que aprendemos, a que temos mais facilidade e que gostamos mais.

Primeiro gostamos de somar várias vezes palitos e giz, depois brinquedos e roupas da moda, depois somar dinheiro, depois somar carros e casas e sempre somar alegria e felicidade.

Isso já é multiplicação, que também é fácil de aprender, é só somar várias vezes a mesma coisa.

A segunda operação que aprendemos é a subtração.

Aí começa a ficar estranho.

Principalmente quando temos de pedir emprestado na casa do vizinho, digo, casa decimal ao lado.

Ninguém gosta mais de diminuir do que de somar.

Quando chega na divisão é quase sempre um desespero, ainda mais quando sobra um resto.

É que ninguém entende para onde ou para quem vai ficar o resto.

Até no cotidiano ninguém gosta de dividir nada.

A dificuldade no aprendizado não parece à toa, o homem rejeita essa prática.

Quando o homem aprender a dividir corretamente e souber onde deve ficar o resto, entenderá que é o mesmo que somar para alguns, mantendo a quantidade de outros, sem necessariamente subtrair de alguém, ou seja, é o mesmo que somar igual para todos... Entenderá também que somando os restos teremos mais um inteiro divisível, fazendo outros felizes.

O resultado final também é uma soma, a soma da felicidade geral.

Poderíamos até chamar esta operação de soma distribuída.

Com esta visão, com certeza a matemática daria mais resultados, talvez fosse dispensável aprender contas de dividir e os homens continuariam felizes a somar palitos, brinquedos, dinheiro, carros, casas e felicidade, porém não somente para si.

Quem sabe?

Autor desconhecido.
Retirado do blog do Professor Ismael
http://www.topicosmatematicos.blogspot.com/
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