28/09/2010

Porque as Porcas são Sextavadas?

image Você já parou para pensar porque as porcas são sextavadas e não formadas por um outro polígono como pentágono, octógono ou mesmo um decágono? É certo que encontramos porcas em formato quadrado, mas a escolha por fabricar uma porca no formato hexagonal não é por acaso e, neste post, vou mostrar porque uma porca neste formato é mais eficiente.

Considere a figura 1:

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[Figura 1]

Ao girarmos a chave no sentido horário, estamos apertando a porca e para que o vértice B do hexágono (que representa a porca) chegue até a posição do vértice A, a chave descreve um arco com ângulo de θ = 60°.

Se considerarmos o hexágono inscrito a uma circunferência de raio r, podemos calcular o comprimento do arco descrito no deslocamento do vértice B para A:

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[Figura 2]

Sabemos que o comprimento de uma circunferência é dado por C = r e equivale aos 360° da circunferência. Se quisermos descobrir somente o comprimento de um dado arco, em nosso caso um arco formado por um ângulo interno de 60°, fazemos:

clip_image006

clip_image008

Esta é uma regra de três simples e resolvemos da seguinte forma:

clip_image010

clip_image012

Já para uma porca em formato quadrado, o ângulo θ = 90° e, consequentemente, o arco descrito pelo vértice B ao girarmos a chave no sentido horário, para que alcance a posição do vértice A, também será de 90°:

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[Figura 3]

Analogamente ao que foi feito para encontrarmos o comprimento do arco gerado pelo deslocamento do vértice B até para o ângulo de 60°, fazemos:

clip_image006[1]

clip_image018

clip_image020

clip_image022

Aqui, observamos que o comprimento do arco dado em (1) é menor do que o dado em (2). Mas o que isso quer dizer? Bem, o esforço é menor, já que o deslocamento da chave gera um arco de menor tamanho. Isso na prática é muito importante, pois há lugares de acesso restrito às porcas em equipamentos, motores, etc. e a questão de ter que girar a chave apenas 60° ao invés de 90° para que se possa encaixar novamente a boca da chave na porca é fundamental.

Então você me pergunta: porque, então, as porcas não são octogonais ou mesmo decagonais já que teríamos o ângulo θ menor?

image [Figura 4]

A resposta é simples: vejam que quanto mais aumentamos o número de lados do polígono, o comprimento do lado diminui e a área de contato da chave diminui perdendo sua eficiência, acontecendo o chamado “espanar”. Vejam que quanto maior o número de lados, mais o polígono assemelha-se a um circunferência:

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[Figura 5]

Matematicamente falando, quando o número de lados n de um polígono regular tende ao infinito, o polígono tende a uma circunferência.


Veja mais:

Mais Curiosidades
Demonstração da Área do Círculo
Transformações de Áreas


17 comentários:

  1. Mas surge uma pergunta por que não usar porcas pentagonais cujo o ângulo de giro de 72 graus? Creio que a resposta seja devido a falta de eixos de simetria, dificultando novamente o encaixe da chave de boca, enquanto que no hexágono, temos 3 eixos de simetria. Parabéns novamente pela excelente aplicação da Matemática no dia-a-dia.

    Abraços!

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  2. É verdade Paulo, uma porca pentagonal não serviria para chaves de boca pelo fato que você mencionou (por não haver lados paralelos), mas já para aquelas tipo canhão, não teria problema, já que são acopladas à porca de outra forma. Mas creio que não fabriquem para manter um determinado padrão.

    Obrigado pelo seu comentário!

    Forte abraço!

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  3. O meu contador de comentários e posts funciona normalmente porque eu não coloquei o antigo. Coloquei o do blog usuário compulsivo. Paguei um preço de colocar esse contador que é a propaganda deste blog.

    Abraços!

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  4. Parabéns pelo post, muito legal Kléber!


    Um abraço!

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  5. Seria estranha uma chave de boca pentagonal! kkkkk

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  6. Prof. Fabrício21/11/2010 06:37

    O hexágono tem seis eixos de simetria (3 passando por pares de vértices e 3 passando por pontos médios dos lados).

    Um abraço!
    Prof. Fabrício

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  7. Obrigado Prof. Fabrício por contribuir com seu comentário.

    Forte abraço.

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  8. Wow, muito legal oO

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  9. Interessante! Gostaria de acrescentar a questão econômico. Se imaginarmos duas porca, uma quadrada e outra sextavada, ambas circunscritas na mesma circunferência (de moda a garantir a mesma "parede" mínima e consequentemente o mesmo desempenho aos esforços). Temos que a área da porca sextavada é de aproximadamente 13,4% menor que a da quadrada. Economia significativa no consumo de material.
    Agora, porque não, então, um polígono com mais lados? Uma vez que quanto maior o número de lados menor a área até tender para a circunferência na qual estão circunscritos. Porque, caso as porcas sejam produzidas em chapas, o sextavado é a forma que permite melhor aproveitamento da chapa, junto com o quadrado e o triângulo, porém com menor área. Nos demais casos existe uma sobra que vira resídio e que no final se converte em custo também.
    Mas acontece que normalmente as porcas são confeccionadas a partir de barras, que já são produzidas na forma sextavada pelas usinas para atender a indústria mecânica, e novamente menor área da secção implica em menor peso e menor custo.

    Grande abraço!
    Arq.Urb. André Alves

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  10. Olá André, o que acrescentou é verdade. Temos que levar em conta também o custo do material e quanto menos custar na produção, melhor. Isso implica em aproveitar melhor o material. O formato sextavado também pode ter sido inspirado nas abelhas, que constroem seus favos em formato hexagonal, economizando tempo e trabalho, maximizando os resultados.

    Obrigado pelo comentário. Um abraço.

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  11. Muito interessante. É incrível como o nosso dia-a-dia é recheado de coisas e utensílios à nossa volta, e que nós ficamos tão acostumados com eles que nem paramos pra pensar o porque de eles serem de um formato ou de outro. Certo dia eu estava olhando um clips (é assim que escreve?), esses de prender papéis, e fiquei pensando: Putz, é um pedaço de arame dobrado, mas que sacada genial da pessoa que inventou.

    Eu não tinha lido este post super interessante aqui do Baricentro, e cheguei a ele porque vc colocou no facebook. Achei que era "lançamento". É que é do tipo que não perde a "validade".

    Abraço

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  12. Olá Jairo, meu velho! Basta pararmos para observar que vamos encontrar a mtemática em tudo (e física também). No caso da porca, talvez ainda haja outros motivos que não estes para que tomassem este formato. Aí somente os fabricantes para responderem.

    O clips é intrigante mesmo. Sua forma dobrada permite trabalhar como uma "mola" pressionando as folhas de papel entre suas duas partes. Qual a maior força que ele pode exercer sobre as folhas sem deformar-se? Isso depende de quantas folhas são presas... eu acho. Deixo esta para você.

    No facebook, às vezes coloco links antigos, pelo fato de não produzir artigos novos com tanta frequência.

    A Matemática nunca perde a validade. Às vezes se transformam.

    Abraços.

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    Respostas
    1. Achei neste link um pouco sobre a origem do clipe de papel:

      http://edimarlonjornalista.blogspot.com.br/2010/03/quem-inventou-o-clip-de-papel.html

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  13. Trabalho com usinagem ou seja, fabricação de peças metálicas como porcas, parafusos e outros itens e devo dizer que, o material das porcas é exagoanl por uma simples razão prática na fabricação.
    Com a forma exagonal pode-se segurar, prender o material a ser trabalhado em um disposito centralizador rotativo chamado "placa" seja em tornos mecânicos manuais ou controlados por computador tendo-se assim, esta parte da máquina a função de "segurar" o material para a dita operação de furação e feitura de rosca interna o que é o caso da porca.
    Tem-se então que, por possuir três pontos de contato com a peça a ser trabalhada, placa autocentra ou seja, faz um centralização do material sem a necessidade de inteferência manual no processo fazendo com que o furo da porca fique sempre no meio de seu formato ou centro.
    Assim obtemos o melhor centro de gravidade ou apoio para qualquer operação e isto ocorre sempra com materiais que tenham formas que são divisíveis por 3 mas para efeito prático o de seis lados se torna ideal até mesmo para o armazenamento já que quando se empilha esse ocupa menor espaço.

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  14. Não se esqueça que a chave tem a boca angulada (30°) de modo a permitir o giro na metade do espaço.

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