Porque as porcas são sextavadas?

Você já parou para pensar porque as porcas são sextavadas e não formadas por um outro polígono como pentágono, octógono ou mesmo um decágono? É certo que encontramos porcas em formato quadrado, mas a escolha por fabricar uma porca no formato hexagonal não é por acaso e, neste post, vou mostrar porque uma porca neste formato é mais eficiente.

Vamos considerar a imagem abaixo:

Ao girarmos a chave no sentido horário, estamos apertando a porca e para que o vértice $B$ do hexágono (que representa a porca) chegue até a posição do vértice $A$, a chave descreve um arco com ângulo $\theta=60^\circ$.

• Construção de um hexágono com régua e compasso
• Arcos de circunferência
  

Se considerarmos o hexágono inscrito a uma circunferência de raio $r$, podemos calcular o comprimento do arco descrito no deslocamento do vértice $B$ para $A$:

Sabemos que o comprimento de uma circunferência é dado por $C=2\pi r$ e equivale aos $360^\circ$ da circunferência. Se quisermos descobrir somente o comprimento de um dado arco, em nosso caso um arco formado por um ângulo interno de $60^\circ$, fazemos:

$$
C_{Total} = 2\pi r = 360^\circ\\
\ \\
C_{Arco} = x = 60^\circ
$$

Esta é uma regra de três simples e resolvemos da seguinte forma:

$$
360x=120\pi r\\
\ \\
x = \frac{1}{3}\pi r
\tag{1}
$$

Já para uma porca em formato quadrado, o ângulo $\theta=90^\circ$ e, consequentemente, o arco descrito pelo vértice $B$ ao girarmos a chave no sentido horário, para que alcance a posição do vértice $A$, também será de $90^\circ$:

Analogamente ao que foi feito para encontrarmos o comprimento do arco gerado pelo deslocamento do vértice $B$ até $A$¸para o ângulo de $60^\circ$, fazemos para o ângulo de $90^\circ$:

$$
C_{Total} = 2\pi r = 360^\circ\\
\ \\
C_{Arco} = x = 90^\circ
$$

O que nos leva a:

$$
360x = 180 \pi r\\
\ \\
x = \frac{1}{2} \pi r
\tag{2}
$$

Aqui, observamos que o comprimento do arco dado em $(1)$ é menor do que o dado em $(2)$. Mas o que isso quer dizer? Bem, o esforço é menor, já que o deslocamento da chave gera um arco de menor tamanho. Isso na prática é muito importante, pois há lugares de acesso restrito às porcas em equipamentos, motores, etc. e a questão de ter que girar a chave apenas $60^\circ$ ao invés de $90^\circ$ para que se possa encaixar novamente a boca da chave na porca é fundamental.

Então você me pergunta: porque, então, as porcas não são octogonais ou mesmo decagonais já que teríamos o ângulo $\theta$ menor?

A resposta é simples: vejam que quanto mais aumentamos o número de lados do polígono, o comprimento do lado diminui e a área de contato da chave diminui perdendo sua eficiência, acontecendo o chamado “espanar”. Vejam que quanto maior o número de lados, mais o polígono assemelha-se a um circunferência:

Matematicamente falando, quando o número de lados n de um polígono regular tende ao infinito, o polígono tende a uma circunferência.

Veja mais:

• Os ângulos notáveis
• Organograma dos quadriláteros notáveis
• Como determinar o número de diagonais de um polígono