27/12/2010

Relações entre as Escalas Termométricas

Uma escala termométrica corresponde a um conjunto de valores numéricos, em que cada um desses valores está associado a uma temperatura.

Para graduação das escalas foram escolhidos, para pontos fixos, dois fenômenos que acontecem sempre nas mesmas condições: a fusão e a ebulição da água, ambas sob pressão normal (equivalente ao nível do mar).

Admitindo certa temperatura na escala Celsius, como relacioná-la com as escalas Kelvin e Fahrenheit? Considere o esquema abaixo:


Analisando a disposição acima, podemos estabelecer, buscando uma proporção entre os tamanhos dos seguimentos representados pelas três escalas.

Os seguimentos $C_1$, $K_1$ e $F_1$ vão do ponto de fusão ao ponto de ebulição. Estes seguimentos tem tamanhos iguais, pois vão do ponto de fusão ao de ebulição da água nas três escalas.

Os seguimentos $C_2$, $K_2$ e $F_2$ vão do ponto de fusão a um ponto qualquer das escalas Celsius, Kelvin e Fahrenheit. Vemos que estes seguimentos também tem tamanhos iguais, pois relacionam uma temperatura genérica.

Fazemos:
\begin{equation*}
\frac{C_2}{C_1}=\frac{K_2}{K_1}=\frac{F_2}{F_1}
\end{equation*}
Substituindo os valores, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{C-0}{100-0}=\frac{K-273}{373-273}=\frac{F-32}{212-32}\\
\ \\
\frac{C}{100}=\frac{K-273}{100}=\frac{F-32}{180}
\end{equation*}
Simplificando, obtemos:
\begin{equation}
\frac{C}{5}=\frac{K-273}{5}=\frac{F-32}{9}
\end{equation}
Da relação $(1)$ obtemos as fórmulas de conversão entre as escalas de temperatura:

Celsius para Kelvin

\begin{equation*}
K=C+273
\end{equation*}
A temperatura do corpo humano é de $36°\ C$. Quanto mede esta temperatura na escala Kelvin?
\begin{equation*}
K=36+273\\
\ \\
K=309
\end{equation*}
Logo, a temperatura é de $309°\ K$.

Celsius para Fahrenheit

\begin{equation*}
\frac{9}{5}C=F-32\\
\ \\
F=\frac{9}{5}C+32
\end{equation*}
A temperatura do corpo humano é de $36°\ C$. Quanto mede esta temperatura na escala Fahrenheit?
\begin{equation*}
F=\frac{9}{5}\cdot36+32\\
\ \\
F=64,8+32\
\ \\
F=96,8
\end{equation*}
Logo, a temperatura é de $96,8°\ F$.

Veja mais:

A escala Kelvin
Equação de Clapeyron
Comportamento Térmico dos Gases Perfeitos

23/12/2010

O Número Prateado

Este post é apenas um esboço sobre o número prateado, pois ainda o material disponível para consulta é muito escasso. Mas é extremamente curioso e espero que outros entusiastas da matemática publiquem novos artigos em suas páginas.

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O número prateado, ou razão prateada é uma constante matemática. Seu nome é uma alusão ao Número de Ouro, que é a razão limitante da seqüência de Fibonacci. Analogamente, o número prateado é a razão limitante da sucessão de Pell.

Definição

A razão prateada, simbolizada por δS, é um número irracional definido pela soma:

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Desta definição segue que:

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Fração Contínua

A razão prateada pode ser escrita sob a forma de uma fração contínua:

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Potências do Número Prateado

Podemos, ainda, observar algumas propriedades do número prateado:

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clip_image002[4]

clip_image004[4]

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E para a enésima potência de δS, temos:

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Vejam que K é cada uma das etapas de iteração.

Se queremos encontrar o número prateado de grau 5, calculamos K5:

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Para K6, temos que:

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Vejam que as iterações sempre dependem de duas iterações anteriores, exatamente como na seqüência de Fibonacci.


Veja mais:

O Número Prateado e a Área do Octógono Regular
O Número Prateado na Trigonometria
Algumas Propriedades do Número Prateado no blog Fatos Matemáticos
A Razão Áurea no blog Fatos Matemáticos

20/12/2010

Queimem os Livros de Matemática

[Clique aqui para download]

Contam que há muito, muito tempo vivia na China um imperador astuto e cruel. Ele queria a todo custo tornar-se conhecido como o mais inteligente de todos os imperadores que tinham vivido até então.

Para conseguir isso, o imperador Ti – esse era seu nome – teve uma idéia muito estranha. Tão estranha, que parecia brincadeira. Mas não era.

O imperador Ti esboçou um leve sorriso. Ele adorava observar como o espanto e a surpresa iam tomando conta de seus súditos. Ali estavam seus mais fiéis ajudantes. Tinham sido convocados para uma importante missão:

– Quero que vocês percorram todo o império. Procurem nas grandes cidades, nas pequenas aldeias, vasculhem cada casa, cada porão, cada sótão. Descubram e queimem todos os livros de matemática que existem no reino. Não deve sobrar um único livro. Nem um!

Todos ficaram assustados. Será que o imperador estava ficando louco?

Que ideia genial! Foi esse o pensamento de todos quando o imperador explicou a ordem que tinha dado.
– Os sábios vão escrever novos livros de matemática. Como os livros antigos foram queimados, todos pensarão que a matemática foi inventada durante meu reinado.

O imperador riu, achando que era a pessoa mais brilhante do universo.

E os sábios? Será que eles gostariam do plano do imperador?

Não, de jeito nenhum. Os sábios nunca poderiam concordar com um plano daqueles.

Como aceitar que fosse destruído o trabalho de tantos estudiosos? Muitos daqueles livros tinham demorado uma vida toda para serem escritos. Não, não deixariam que fossem queimados.

Como castigo por sua desobediência, o imperador ordenou que os sábios fossem marcados com ferro em brasa. E condenou-os a quatro anos de trabalhos forçados na Grande Muralha.

Alguns sábios se revoltaram contra o imperador. Ti ordenou que fossem enterrados vivos.

Os livros antigos de matemática foram todos queimados.

Mas nem tudo estava perdido. Alguns sábios conseguiram escapar das prisões da Grande Muralha e refugiaram-se no reino vizinho.

Lá havia um imperador que era exatamente o contrário do malvado Ti: educado, instruído, inteligente.

Protegia os escritores, os artistas e os poetas, permitindo que se dedicassem exclusivamente a seu trabalho.

Bondoso Lii, assim ele era chamado.

O imperador Lii nuca se arrependeu de ter acolhido os sábios fugitivos. Sob sua proteção, eles voltaram a escrever novos livros de matemática. E colocaram nessas obras muitas coisas dos livros queimados, que sabiam de cor.

Lii gostava muito das histórias de matemática que seus sábios contavam. A que o deixava mais curioso era aquela que falava de um quadrado mágico. Quem o encontrasse teria saúde e riqueza por toda a vida.

O imperador Lii não protegia somente os súditos de seu reino. Os animais, as florestas, os rios, os lagos, os mares, tudo estava sob seu olhar atento e vigilante. Quem causasse poluição num de seus queridos rios era castigado com as mais severas penas.

Foi por isso que num belo dia uma pequena tartaruga atravessou de ponta a ponta um dos mais extensos rios da China, o rio Lo. E depositou aos pés do imperador este quadrado mágico:


Vejam só: 

A soma dos números em cada linha é 15.

A Soma dos números em cada coluna também é 15.

E a soma dos números em cada diagonal mais uma vez é 15.

O quadrado mágico causou a maior sensação. Até jogos foram inventados.

Para construir outro quadrado mágico, vamos começar colocando o 1 no centro da primeira linha. Cada um dos nove quadradinhos tem o nome de cela.

Agora imagine uma tartaruga que anda uma cela de cada vez, sempre para cima e para a direita.

Quando a tartaruga sai fora do quadrado, no alto da tabela, ela deve descer até a última cela da coluna e lá colocar o 2.

Quando a tartaruga sai fora do quadrado pelo lado direito da tabela, ela deve voltar e caminhar até a primeira cela da linha e colocar ali o número 3.


Se a tartaruga chega a uma cela ocupada, ela volta para onde estava e coloca o 4 abaixo desta cela:


Em seguida a tartaruga segue seu caminho e coloca o 5 no centro do quadrado e o 6 na cela direita da primeira linha.

Quando a tartaruga sai fora do quadrado pelo canto superior da tabela, ela retorna ao ponto de partida e coloca o 7 na cela abaixo do 6.


Agora a tartaruga sai fora do quadrado pelo lado direito da tabela. Ela volta até a primeira linha e coloca lá o 8.

Em seguida, a tartaruga coloca o 9.







Pronto! Aí está o jogo do quadrado mágico que fazia tanto sucesso no reino do imperador Lii.

A notícia correu depressa. Logo o cruel Ti soube que seu vizinho Lii tinha recebido um quadrado mágico de presente de uma tartaruga.

De pura inveja, não teve dúvida: mandou prender todas as tartarugas de seu reino. Até uma tartaruga de 100 anos foi para a cadeia!

Ti deu uma ordem: elas só seriam liberadas quando também ele ganhasse um quadrado mágico.

Não dava para resistir a essa maldade. As tartarugas do reino de Ti não podiam sofrer tanto. Por isso, um dia uma pequena tartaruga atravessou de ponta a ponta o rio Lo e depositou aos pés de Ti um quadrado mágico.

O imperador não cabia em si de contente. O seu quadrado mágico era muito maior do que o de Lii!

Mas, de repente, Ti e seus ajudantes ficaram mudos de susto: o quadrado mágico tinha só um número.

Na torre do castelo do imperador Ti existe uma sala sempre iluminada. Algumas pessoas não gostam de passar lá à noite. Juram ter visto um velho de cabelos bem compridos, gesticulando muito e fazendo cálculos incompreensíveis.

Outros dizem que não é nada disso. Todos os castelos têm algumas salas sempre iluminadas.

Mas muitos acreditam que aquela sala de luz acesa está o imperador Ti. Ele ficou louco, de tanto passar dias e noites tentando descobrir o jogo do quadrado mágico.

Será que você não é capaz de achar a solução?

Este é o quadrado mágico do imperador Ti: 


Jogando com a Matemática

Quantos jogos divertidos e interessantes os sábios chineses inventaram sobre quadrados mágicos! Vamos fazer alguns?


1) Forme este quadrado mágico e calcule a soma em cada linha, coluna e diagonal.



2) Este é outro quadrado mágico. Vamos completá-lo? Use apenas os números de 1 a 16 e não repita nenhum!


3) Complete este quadrado mágico de multiplicação. O produto tem de ser o mesmo em cada linha, coluna e diagonal.



4) Utilize os números 20, 50, 120, 150 e 300, só uma vez cada um, de modo que o produto ao longo de cada linha seja sempre o mesmo.



5) Vamos resolver um problema-desafio? Este não é um quadrado mágico. O caminho azul dá como soma 132. Encontre um caminho que some 99 e outro que some 102.



Veja Mais:

O Problema dos Quadrados Mágicos
O Quadrado Mágico da Besta no blog Fatos Matemáticos

19/12/2010

As Sete Unidades de Base do SI

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O Protótipo Internacional do quilograma (K), o único padrão materializado ainda em uso, para definir uma unidade de base do SI.

O Bureau Internacional de Pesos e Medidas, o BIPM, foi criado pelo artigo 1º da Convenção do Metro, no dia 20 de maio de 1875, com a responsabilidade de estabelecer os fundamentos de um sistema de medições, único e coerente, com abrangência mundial. O sistema métrico decimal, que teve origem na época da Revolução Francesa, tinha por base o metro e o quilograma. Pelos termos da Convenção do Metro, assinada em 1875, os novos protótipos internacionais do metro e do quilograma foram fabricados e formalmente adotados pela primeira Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), em 1889. Este sistema evoluiu ao longo do tempo e inclui, atualmente, sete unidades de base. Em 1960, a 11a CGPM decidiu que este sistema deveria ser chamado de Sistema Internacional de Unidades, SI (Système international d’unités, SI). O SI não é estático, mas evolui de modo a acompanhar as crescentes exigências mundiais demandadas pelas medições, em todos os níveis de precisão, em todos os campos da ciência, da tecnologia e das atividades humanas. Este documento é um resumo da publicação do SI, uma publicação oficial do BIPM que é uma declaração do status corrente do SI.

As sete unidades de base do SI, listadas abaixo, fornecem as referências que permitem definir todas as unidades de medida do Sistema Internacional. Com o progresso da ciência e com o aprimoramento dos métodos de medição, torna-se necessário revisar e aprimorar periodicamente as suas definições. Quanto mais exatas forem as medições, maior deve ser o cuidado para a realização das unidades de medida.

As sete unidades de base, que correspondem às sete unidades de base, são: Comprimento, Massa, Tempo, Corrente Elétrica, Temperatura termodinâmica, Quantidade de substância e Intensidade luminosa:

Comprimento: Metro (m)

O metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 do segundo. Assim, a velocidade da luz no vácuo, c0, é exatamente igual a 299 792 458 m/s.

Massa: Quilograma (kg)

O quilograma é a unidade de massa, igual à massa do protótipo internacional do quilograma. Assim, a massa do protótipo internacional do quilograma, m(К), é exatamente igual a 1kg.

Tempo: Segundo (s)

O segundo é a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133. Assim, a frequência da transição hiperfina do estado fundamental do átomo de césio 133, ν(hfs Cs), é exatamente igual a 9.192.631.770 Hz.

Corrente Elétrica: Ampere (A)

O ampere é a intensidade de uma corrente elétrica constante que, mantida em dois condutores paralelos, retilíneos, de comprimento infinito, de seção circular desprezível, e situados à distância de 1 metro entre si, no vácuo, produziria entre estes condutores uma força igual a 2x10-7 Newton por metro de comprimento. Assim, a constante magnética, μ0 , também conhecida como permeabilidade do vácuo, é exatamente igual a 4πx10-7 H/m.

Temperatura Termodinâmica: Kelvin (K)

O kelvin, unidade de temperatura termodinâmica, é a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica no ponto tríplice da água. Assim, a temperatura do ponto tríplice da água, Tpta, é exatamente igual a 273,16 K.

Quantidade de Substância: Mol (mol)

1. O mol é a quantidade de substância de um sistema contendo tantas entidades elementares quantos átomos existem em 0,012 quilogramas de carbono 12.

2. Quando se utiliza o mol, as entidades elementares devem ser especificadas, podendo ser átomos, moléculas, íons, elétrons, assim como outras partículas, ou agrupamentos especificados dessas partículas. Assim, a massa molar do carbono 12, M(12C), é exatamente igual a 12 g/mol.

Intensidade Luminosa: Candela (cd)

A candela é a intensidade luminosa, numa dada direção, de uma fonte que emite uma radiação monocromática de frequência 540x1012 hertz e cuja intensidade energética nessa direção é 1/683 watt por esterradiano. Assim, a eficácia luminosa espectral, K, da radiação monocromática de freqüência 540x1012 Hz é exatamente igual a 683 lm/W.


Veja Mais:

Medidas de Tempo
Medidas de Tempos Muito Longos

11/12/2010

EDO: Naftalina e o Tempo de Sublimação

A naftalina, quimicamente designada por naftaleno, é um hidrocarboneto aromático cuja molécula é constituída por dois anéis benzênicos condensados, juntamente com o benzenos (C6H6) e antraceno (C14H10).

Sua fórmula estrutural é dada por:

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Sua fórmula molecular é dada por:

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É uma substância cristalina branca em forma de lâminas ou esferas, altamente volátil que sofre sublimação(1) e possui odor característico de alcatrão das esferas antitraças e que arde como chama luminosa.

Nota (1): Sublimação é o processo físico que as partículas de uma dada substância passam do estado sólido para o gasoso (ou do gasoso para o sólido) diretamente, sem passar pela fase intermediária do estado líquido.

Exatamente por possui o odor forte e desagradável, esta característica é responsável pela propriedade inseticida, pois os fortes odores exalados pela substância são capazes de eliminar qualquer micro-organismo indesejável. É por isso que as esferas de naftalinas combatem a presença de traças em roupas de lã em armários fechados.

A naftalina ocorre de forma natural no petróleo, mas em pequenas quantidades através de um processo denominado reforming, modificação catalística de hidrocarbonetos alifáticos. Desta forma, é mais conveniente obter a substância por destilação do alcatrão da hulha, no qual está presente numa proporção de 7%.

Infelizmente os vapores exalados pela naftalina são também tóxicos ao ser humano, ficando exposto ao risco de inalar tal substância. Por este motivo, justifica-se por que a naftalina não é atualmente a melhor opção no controle de pragas.

O processo de sublimação de esferas de naftalina é tão interessante que foi alvo de estudos de matemáticos que conseguiram determinar uma equação diferencial onde é possível determinar a perda de material em função do raio da esfera de naftalina num instante t. Vamos primeiramente determinar a equação diferencia das esferas de naftalina.

Uma esfera de naftalina perde material por sublimação a uma taxa proporcional a sua superfície:

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O volume da esfera é dado por:

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E a área da esfera é dada por:

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Substituindo (2) e (3) na equação diferencial (1), obtemos:

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Encontrando:

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Exemplo:

Sabendo que inicialmente o raio da hipotética esfera de naftalina é igual a 1 cm e que em 5 horas após o raio media 0,8 cm, podemos determinar em quanto tempo a esfera de naftalina irá sublimar completamente.

Da equação (5), segue que:

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Integramos ambos os termos:

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Sendo r(0) = 1 cm, então 1 = r(0) = C, de modo que:

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Então, passado 6 horas, sabemos que r = 0,8 cm. Assim, aplicamos na equação (7):

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A igualdade (8) nos mostra que o raio evolui a uma taxa de 0,04 cm/h. Aplicamos, agora, o valor de k encontrado em (8), na equação (7), encontrando:

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Aqui já conseguimos determinar o momento da sublimação total da naftalina, que acontecerá quando o raio for igual a zero:

clip_image034

Logo:

clip_image036

clip_image038

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Concluímos então que a esfera de naftalina sublima totalmente em um tempo de 25 horas.


Veja Mais:

EDO: Lei dos Gases de Boyle
EDO: Lei da Refrigeração de Newton
EDO: Queda dos Corpos com Resistência do Ar
A Equação de Bernouli no blog Fatos Matemáticos
Uma Breve História da Equações Diferenciais no blog Fatos Matemáticos

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