EDO: Lei da refrigeração de Newton

É muito comum observarmos no dia a dia que uma xícara de café quente, se deixada sobre a mesa, esfria até atingir a temperatura do ambiente. Da mesma forma, uma lata de refrigerante retirada da geladeira esquenta até ficar na mesma temperatura da sala. Esse fenômeno térmico fundamental foi quantificado por Sir Isaac Newton e pode ser elegantemente modelado por meio de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO).

O que torna esse processo matematicamente interessante é que a velocidade com que um corpo esfria ou esquenta não é constante: ela muda a cada instante, dependendo da diferença de temperatura entre o objeto e o meio que o cerca.

O modelo físico e a Lei de Newton

A Lei da Refrigeração de Newton estabelece que a taxa de variação temporal da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do próprio corpo e a temperatura do meio ambiente (temperatura ambiente).

Em termos matemáticos, podemos formular essa relação como:

$$ \frac{dT}{dt} = -k \cdot (T - T_m) $$

Onde:

• $\dfrac{dT}{dt}$ representa a derivada da temperatura em relação ao tempo, ou seja, a velocidade com que a temperatura do corpo está mudando a cada instante.
• $T$ é a temperatura do corpo em um instante de tempo $t$ qualquer.
• $T_m$ é a temperatura do meio ambiente (considerada constante).
• $k$ é uma constante de proporcionalidade positiva $(k>0)$ que depende de fatores físicos, como a superfície exposta do objeto, o material de que ele é feito e a capacidade de conduction térmica.
• O sinal negativo $(-)$ indica que, se o corpo estiver mais quente que o ambiente $(T>T_m)$, a taxa de variação será negativa, significando que a temperatura do corpo diminuirá com o tempo (resfriamento).

Resolvendo a EDO por separação de variáveis

A equação matemática acima é uma EDO separável de primeira ordem. Para resolvê-la e encontrar a função horária da temperatura $T(t)$, precisamos isolar todos os termos que contêm a variável $T$ de um lado da igualdade e o termo que contém o tempo $t$ do outro lado. Partindo da equação original:

$$ \frac{dT}{dt} = -k (T-T_m) $$

Dividimos ambos os lados da equação por $(T-T_m)$ e multiplicamos por $dt$:

$$ \frac{1}{T-T_m}dT = -k\ dt $$

Agora que as variáveis estão devidamente separadas, aplicamos a operação de integração em ambos os lados da equação:

$$ \int \frac{1}{T-T_m}dT = -k \int \ dt $$

Calculando as integrais, obtemos:

$$ \ln |T - T_m| = -k\ t + C_1 $$

Onde $C_1$ é a constante de integração. Para isolarmos a temperatura $T$, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:

$$ e^{\ln |T-T_m|} = e^{-k\ t +C_1} $$

Como a função exponencial e o logaritmo natural são operações inversas, o lado esquerdo se simplifica como:

$$ T - T_m = \pm \ e^{C_1} \cdot e^{-k\ t} $$

Podemos substituir a constante $\pm e^{C_1}$ por uma nova constante arbitrária, que chamaremos de $A$. Assim, a equação assume a forma:

$$ T(t) -T_m = A \cdot e^{-k \ t} $$

Isolando $T(t)$, chegamos à solução geral da EDO:

$$ T(t) = T_m + A \cdot e^{-k\ t} \tag{1} $$

Determinando as constantes

Para determinarmos o valor exato da constante $A$, utilizamos a condição inicial do sistema. Vamos supor que no instante inicial $(t = 0)$, a temperatura inicial do corpo seja conhecida e igual a $T_0$, ou seja, $T(0) = T_0$. Substituindo esses valores na solução geral $(1)$, obtemos:

$$ T_0 = T_m + A \cdot e^{-k \cdot 0} $$

Como $e^0=1$, temos:

$$ T_0 = T_m + A \cdot 1\\ \ \\ T_0 = T_m + A\\ \ \\ A = T_0 - T_m $$

Substituindo esse valor de $A$ de volta na equação $(1)$, encontramos a solução particular para a Lei da Refrigeração de Newton:

$$ T(t) = T_m + (T_0 - T_m)\ e^{-k\ t} \tag{2} $$

Esta equação permite prever com precisão a temperatura do corpo em qualquer instante $t$, desde que conheçamos as características do meio e do material (representadas por $k$).

Exemplo 1:

Um copo de chope, inicialmente a $4^\circ \text{C}$ $(T_0 = 4)$, foi deixado sobre um balcão de um bar. Após $2\text{ h}$ $(t=2)$, constatou-se que sua temperatura havia subido para $18^\circ \text{C}$. Sabendo que a temperatura do bar é mantida estável a $24^\circ \text{C}$ $(T_m=24)$, determine a constante de condutividade térmica $k$ do chope.

Utilizando a equação particular encontrada anteriormente, temos:

$$ T(t) = T_m + (T_0 - T_m)\ e^{-k\ t}\\ \ \\ T(t) = 24 + (4 -24)\ e^{-k\ t} $$

Sabemos que no instante $t=2\text{ h}$ a temperatura $T(2)=18^\circ\text{C}$. Substituímos estes valores para encontrar $k$:

$$ 18 = 24 - 20\ e^{-2k}\\ \ \\ 18-24 = -20\ e^{-2k}\\ \ \\ -6 = -20\ e^{-2k} $$

Multiplicamos por $-1$ e dividimos por $20$:

$$ e^{-2k} = \frac{6}{20}\\ \ \\ e^{-2k} = 0,3 $$

Para eliminar a exponencial, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação:

$$ -2k = \ln (0,3) $$

Sabendo que $\ln (0,3) \approx -1,20397$, fazemos:

$$ -2k = -1,20397\\ \ \\ k = \frac{1,20397}{2}\\ \ \\ k \approx 0,602\text{ por hora} $$

Assim, a constante de proporcionalidade térmica do chope neste exemplo, é de aproximadamente $0,602$ por hora.

Exemplo 2:

Um cadáver é encontrado em um quarto de hotel à meia-noite $(t = 0)$ com a temperatura corpórea medindo $28^\circ \text{C}$. Duas horas mais tarde ($t = 2$), a equipe médica constata que a temperatura caiu para $26,5^\circ \text{C}$. O termostato do quarto indica que a temperatura ambiente permaneceu constante a $22^\circ\text{C}$ ($T_m = 22$). Admitindo que a temperatura do corpo em vida era de $36,5^\circ \text{C}$, determine a hora provável em que ocorreu o óbito.

Adotamos o momento do achado do corpo como nossa referência inicial no tempo, ou seja, à meia-noite temos $t = 0$ e $T(0) = 28^\circ\text{C}$. Substituindo os valores conhecidos na nossa equação fundamental para modelar o resfriamento a partir da meia-noite:

$$ T(t) = 22 + (28-22)\ e^{-k\ t}\\ \ \\ T(t) = 22 + 6\ e^{-k\ t} $$

Para encontrarmos o valor de $k$, aplicamos a condição em $t=2\text{ h}$, onde $(T(2)=26,5^\circ \text{C})$:

$$ 26,5 = 22 + 6\ e^{-2k}\\ \ \\ 26,5 -22 = 6\ e^{-2k}\\ \ \\ 4,5 = 6\ e^{-2k}\\ \ \\ e^{-2k} = \frac{4,5}{6}\\ \ \\ e^{-2k} = 0,75 $$

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação:

$$ -2k = \ln (0,75)\\ \ \\ -2k \approx - 0,28768\\ \ \\ k \approx 0,14384 \text{ por hora} $$

Agora que possuímos o modelo térmico completo da vítima, $T(t) = 22 + 6\ e^{-0,14384t}$, precisamos encontrar em qual momento do passado a temperatura do corpo correspondia à de um indivíduo vivo ($36,5^\circ\text{C}$). Procuramos, portanto, por um tempo $t_{\text{morte}}$ negativo:

$$ 36,5 = 22 + 6\ e^{-0,14384 \cdot t_{morte}}\\ \ \\ 36,5 - 22 = 6\ e^{-0,14384 \cdot t_{morte}}\\ \ \\ 14,5 = 6\ e^{-0,14384 \cdot t_{morte}}\\ \ \\ e^{-0,14384 \cdot t_{morte}} = \frac{14,5}{6}\\ \ \\ e^{-0,14384 \cdot t_{morte}} \approx 2,41667 $$

Aplicamos novamente o logaritmo natural para isolar a variável $t$:

$$ -0,14384 \cdot t_{morte} = \ln (2,41667)\\ \ \\ -0,14384 \cdot t_{morte} \approx 0,88239\\ \ \\ t_{morte} = \frac{0,88239}{-0,14384}\\ \ \\ t_{morte} \approx -6,134\text{ horas} $$

O sinal negativo confirma matematicamente que o óbito ocorreu antes do ponto de referência inicial (meia-noite). Convertendo a fração decimal $0,134\text{ h}$ para minutos:

$$ 0,134 \times 60 \approx 8\text{ minutos} $$

Descobriremos que a morte ocorreu há aproximadamente $6\text{ horas e } 8\text{ minutos}$ antes do corpo ter sido encontrado.

Subtraindo esse intervalo da meia-noite ($24\text{h} - 6\text{h } 8\text{min}$), conclui-se que a hora provável do óbito foi aproximadamente às $17\text{h } 52\text{min}$ do dia anterior.

Veja mais:

• EDO: A lei dos gases de Boyle
• EDO: A lei da refrigeração de Newton
• EDO: Técnica de datação por Carbono-14
• EDO: A naftalina e o tempo de sublimação
• EDO: Queda dos corpos com resistência do ar