Veremos neste artigo como deduzir uma fórmula para calcular o volume de um segmento esférico. Para esta demonstração, utilizaremos o Cálculo Integral encontrando a fórmula:
$$V = \frac{\pi \ h}{6} \Big[ 3\left(R_1^2+R_2^2\right) + h^2 \Big]
$$
Definição:
Segmento esférico é região limitada por dois planos paralelos que seccionam uma esfera, gerando um sólido com duas bases circulares de raios $R_1$ e $R_2$.
Esses planos, ao interceptarem o eixo da esfera, geram os ponto $x_1$ e $x_2$, cuja distância $h$ entre esses pontos é dada por:
$$
h=x_2-x_1 \tag{1}
$$
V=\frac{4}{3} \pi R^3 \tag{2}
$$
h=x_2-x_1 \tag{1}
$$
Se $x_1 = -R$ e $x_2=R$, então $h=2R$ e o segmento esférico é a própria esfera:
$$V=\frac{4}{3} \pi R^3 \tag{2}
$$
Demonstração:
Tomamos inicialmente a equação da circunferência:
$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2
$$
Se a circunferência estiver centrada na origem, assume a seguinte forma:
$$x^2+y^2=R^2
$$
Isolando $y$, obtemos:
$$y=\sqrt{R^2-x^2}
$$
Quando rotacionarmos a circunferência em torno do eixo dos $x$, obtemos uma esfera de centro na origem e raio $R$:
$$f(x)=\sqrt{R^2-x^2} \tag{3}
$$
Suponha que o segmento esférico de altura $h$ seja formado por infinitos cilindros de alturas infinitesimais $dx$ e raios $y$, sendo que $y$ é variável para cada ponto de $h$:
O volume de um cilindro é dado pelo produto da área da base pela altura. Assim:
$$V_{cil} = Ab \cdot h\\
\ \\
V_{cil} = \pi \ y^2 \ dx \tag{4}
$$
A som desses infinito cilindros de alturas infinitesimais forma o segmento esférico nos limites $x_1$ e $x_2$. Assim, seu volume será dado pela integral definida:
$$V = \int_{x_1}^{x_2} \pi \ y^2 \ dx \tag{5}
$$
Substituindo $(3)$ em $(5)$, obtemos:
$$V = \pi \int_{x_1}^{x_2} \left( R^2 - x^2 \right)\ dx \tag{6}
$$
Integrando em relação a $x$, obtemos:
$$V = \pi \left[ R^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{x_1}^{x_2}
$$
Aplicando os limites:
$$V = \pi \left[ \left( R^2x_2 - \frac{x_2^3}{3} \right) - \left( R^2x_1 - \frac{x_1^3}{3} \right) \right]\\
\ \\
V = \pi \left[ \frac{3R^2x_2 - x_2^3}{3} - \left( \frac{3R^2x_1 - x_1^3}{3} \right) \right]\\
\ \\
V = \frac{\pi}{3} \Big( 3R^2x_2 - x_2^3 - 3R^2x_1 + x_1^3 \Big)
$$
Obtendo:
$$V = \frac{\pi}{3} \Big(3R^2(x_2-x_1) - (x_2^3-x_1^3) \Big) \tag{7}
$$
Fatorando a diferença de cubos que aparece em $(7)$, obtemos:
$$(x_2^3 - x_1^3) = (x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2) \tag{8}
$$
Substituindo $(8)$ em $(7)$:
$$V = \frac{\pi}{3} \Big( 3R^2(x_2-x_1) - (x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2 + x_1^2)\Big) \tag{9}
$$
No entanto, de $(1)$ temos que $h=x_2-x_1$. Substituindo em $(9)$, obtemos:
$$V = \frac{\pi}{3} \Big( 3R^2h - h(x_2^2 + x_1x_2 +x_1^2) \Big) \tag{10}
$$
Observando a figura 1, podemos destacar os seguintes pontos:
Pelo teorema pitagórico, temos que:
$$R^2 = x_1^2 + R_1^2 \Longrightarrow x_1^2 = R^2 - R_1^2 \tag{11}
$$
e
$$R^2 = x_2^2 + R_2^2 \Longrightarrow x_2^2 = R^2-R_2^2 \tag{12}
$$
E, também, pelo produto notável:
$$(x_1-x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 \tag{13}
$$
Podemos reescrever a equação $(1)$ como:
$$-h = (x_1-x_2) \tag{14}
$$
Substituindo em $(13)$:
$$(-h)^2 = x_1^2 -2x_1x_2 + x_2^2\\
\ \\
h^2 = x_1^2 -2x_1x_2 + x_2^2 \tag{15}
$$
Agora, podemos substituir as relações $(11)$ e $(12)$ em $(15)$:
$$h^2 = R^2-R_1^2 + R^2 - R_2^2 - 2x_1x_2\\
\ \\
x_1x_2 = R^2 - \left( \frac{R_1^2 + R_2^2+h^2}{2} \right) \tag{16}
$$
Vamos agora substituir as relações $(16)$, $(12)$ e $(11)$ em $(10)$:
$$V = \frac{\pi\ h}{3} \Big[ 3R^2-(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2) \Big]\\
\ \\
V = \frac{\pi\ h}{3} \left[ 3R^2 - \left( R^2-R_1^2+R^2-R_2^2+R^2- \left( \frac{R_1^2+R_2^2+h^2}{2} \right) \right) \right]\\
\ \\
V = \frac{\pi\ h}{3} \left[ 3R^2 - \left( 3R^2-R_1^2-R_2^2-\left( \frac{R_1^2+R_2^2+h^2}{2} \right) \right) \right]\\
\ \\
V = \frac{\pi\ h}{3} \left[ 3R^2 - \left( \frac{6R^2-2R_1^2-2R_2^2-R_1^2-R_2^2-h^2}{2} \right) \right]\\
\ \\
V = \frac{\pi\ h}{3} \left[ \frac{6R^2-6R^2+2R_1^2+2R_2^2+R_1^2+R_2^2+h^2}{2} \right]\\
\ \\
V = \frac{\pi\ h}{6} \Big[ 3R_1^2 + 3R_2^2 + h^2 \Big]
$$
Chegando finalmente a:
$$V = \frac{\pi \ h}{6} \Big[ 3\left(R_1^2+R_2^2\right) + h^2 \Big] \tag{17}
$$
Que é a fórmula para o volume de um segmento esférico.
Exemplo:
Seja uma esfera de raio $R=4$ e dois planos seccionando-a nos pontos $x_1=1$ e $x_2=3$. Calcular o volume do segmento esférico gerado pelas intersecções desses planos com a esfera.
Primeiramente temos que calcular os valores dos raios $R_1$ e $R_2$. Para isso, utilizamos o teorema pitagórico:
Para o cálculo de $R_1$:
$$R^2 = R_1^2 + x_1^2\\
\ \\
16 = R_1^2 + 1\\
\ \\
R_1 = \sqrt{15}
$$
Para o cálculo de $R_2$:
$$R^2 = R_2^2 + x_2^2\\
\ \\
16 = R_2^2 + 9\\
\ \\
R_2 = \sqrt{7}
$$
E para a altura $h$, fazemos $x_2-x_1$:
$$h = x_2-x_1 = 3-1 = 2
$$
Agora que já temos os dados necessários, aplicamos na fórmula dada em $(17)$:
$$V = \frac{\pi \ h}{6} \Big[ 3\left(R_1^2+R_2^2\right) + h^2 \Big]\\
\ \\
V = \frac{2\ \pi}{6} \Big[ 3\left( \Big(\sqrt{15}\Big)^2 + \Big(\sqrt{7}\Big)^2\right) + 4\Big]\\
\ \\
V = \frac{\pi}{3} \Big[ 3(15+7) + 4 \Big]\\
\ \\
V = \frac{\pi}{3} (3\cdot 22 + 4)\\
\ \\
V = \frac{\pi}{3} (66+4) \\
\ \\
V = \frac{70\ \pi}{3}\\
\ \\
V \approx 73,3 \ u.v.
$$
Assim, o volume do segmento esférico desejado vale aproximadamente $73,3$ unidades de volume.
Parabéns Kebler pela excelente exposição do post, ficou muito bom e bem detalhado. Este post é um exemplo das aplicações do teorema de pitágoras, produtos notáveis e do cálculo integral. Obrigado por citar os posts do meu blog.
ResponderExcluirUm grande abraço!
É verdade Paulo, explora muita a álgebra e o conceito de integral definida. Vou, agora, iniciar um rascunho sobre o anel esférico.
ResponderExcluirObrigado pelos elogios.
Um abraço!
Olá Kleber Kilhian, parabéns pelo trabalho, está bem detalhado. Verifique a equação (4), eu posso estar enganado, mas tem um expoente 2 no h faltando. Obrigado.
ResponderExcluirOlá amigo. Não está enganado. Faltou mesmo colocar o exponte dois em h. Já corrigi a fórmula.
ResponderExcluirObrigado por avisar!
Abraços e volte sempre.
Olá Kleber Kilhian, primeiramente parabéns pelo excelente trabalho, se for possível, é claro, me esclareça uma dúvida a respeito da equação (3), na referida situação R1 e R2 não seria igual a zero e com isso seus respectivos quadrados também? Pois percebi, posso estar enganado, que ao substituir a relação (2) em (3) o quadrado de R1 foi substituído por menos R ao quadrado e o quadrado de R2 por R ao quadrado, não seria ambos iguais a zero? Desde já agraço. Um forte abraço.
ExcluirOlá Kleber Kilhian, primeiramente parabéns pelo excelente trabalho, se for possível, é claro, me esclareça uma dúvida a respeito da equação (3), na referida situação R1 e R2 não seria igual a zero e com isso seus respectivos quadrados também? Pois percebi, posso estar enganado, que ao substituir a relação (2) em (3) o quadrado de R1 foi substituído por menos R ao quadrado e o quadrado de R2 por R ao quadrado, não seria ambos iguais a zero? Desde já agraço. Um forte abraço.
ExcluirOlá Kleber, me responde mais uma dúvida na equação (4), a condição para que o segmento esférico seja uma calota esférica não seria x2=R ao invés de x2=0. Desde já agradeço.
ExcluirGilmar, primeiramente vamos considerar a esfera centrada na origem de um sistema cartesiano e os triângulos definidos pelos raios $R_1, R$ e $x_1$ e $R_2, R$ e $x_2$. Aplicando o teorema de pitágoras em cada um deles, obtemos:
Excluir$R^2 = R_1^2 + x_1^2 \Rightarrow R_1^2 = r^2 - x_1^2$
e
$R^2 = R_2^2 + x_2^2 \Rightarrow R_2^2 - x_2^2$
A altura $h$ será dada por:
$h = x_2 - x_2$
Se $x_1=-R$ e $x_2=R$ então:
$h = R - (-R) \Rightarrow h=2R$
Substituindo $R_1$, $R_2$ e $h$ na relação $(2)$, obtemos:
$$V=\frac{1}{6} \pi \cdot 2R [3(R^2-x_1^2 + R^2-x_2^2)+(2R)^2]$$
$$V= \frac{1}{3} \pi R [3(R^2-R^2 + R^2- R^2)+4R^2]$$
$$V = \frac{1}{3}\pi R [3(0) + 4R^2]$$
$$V= \frac{4}{3} \pi R^3$$
No caso da relação $(4)$, você está certo, $x_2$ tem que ser igual a $R$ para ser uma calota esférica. Farei as devidas correções em breve.
Um abraço.
Bela demostração!!!Parabéns pelo trabalho!!
ResponderExcluirO calculo deste volume, sem o uso de integral é possível?
Excluir