Segmento esférico é a região limitada por dois planos paralelos que seccionam uma esfera, gerando um sólido com duas bases circulares de raios R1 e R2.
[Figura 1]
Esses planos ao interceptarem o eixo da esfera, geram os pontos x1 e x2 e a altura h do segmento esférico é dada pela distância entre as bases:
Para esta demonstração utilizaremos o cálculo integral e provaremos que o volume do segmento esférico é dado por:
Notem que, se x1 = – R e x2 = R, então h = 2R e o segmento esférico é a própria esfera:
Vejam também que, se x2 = 0, então o segmento esférico é uma calota esférica:
Vamos à demonstração:
Partindo do princípio para o cálculo do volume da esfera, temos a função f (x) originada da equação da circunferência:
Vejam o desenvolvimento completo acessando o link para o Volume da Esfera.
Suponha, então, que o segmento esférico de altura h é formado por infinitos cilindros de alturas infinitesimais dx e raios y, onde y é variável para cada ponto de h:
[Figura 2]
Sabemos que o volume do cilindro é dado pelo produto da área da base pela altura:
E neste caso:
A soma destes infinitos cilindros de alturas infinitesimais forma o segmento esférico nos limites x1 e x2. Então, seu volume será dado por:
Substituímos (5) na relação acima e obtemos:
Integrando em relação a x, obtemos:
Aplicando os limites:
No entanto:
e
Substituindo (9) e (10) em (8), obtemos:
Observando a figura 1, podemos destacar a figura abaixo:
[Figura 3]
Pelo Teorema Pitagórico, temos que:
e
E, também, pelo produto notável, temos:
Mas vejam que, da equação (9), obtemos:
Substituindo em (14):
Agora, podemos substituir as relações (12) e (13) em (15):
Retomando a relação do Volume dada em (11), fazemos a substituição das relações (12), (13) e (16), obtendo:
Vejam que (17) é a mesma fórmula dada em (2) que queríamos demonstrar.
Quero deixar meu agradecimento ao Professor Paulo do Blog Fatos Matemáticos pela idéia e parte do desenvolvimento deste post. Aproveitem e visitem seu blog!
Veja mais:
Volume de uma Calota Esférica
Demonstração da Fórmula do Volume da Esfera
Demonstração da Fórmula da Área da Esfera
Sobre a Esfera e o Cilindro
O Princípio de Cavalieri
A Área de um Seguimento Esférico (Arquimedes) no blog Fatos Matemáticos
Uma Média Geométrica entre as Áreas da Esfera, do Cilindro e do Cone no blog Fatos Matemáticos
Parabéns Kebler pela excelente exposição do post, ficou muito bom e bem detalhado. Este post é um exemplo das aplicações do teorema de pitágoras, produtos notáveis e do cálculo integral. Obrigado por citar os posts do meu blog.
ResponderExcluirUm grande abraço!
É verdade Paulo, explora muita a álgebra e o conceito de integral definida. Vou, agora, iniciar um rascunho sobre o anel esférico.
ResponderExcluirObrigado pelos elogios.
Um abraço!
Olá Kleber Kilhian, parabéns pelo trabalho, está bem detalhado. Verifique a equação (4), eu posso estar enganado, mas tem um expoente 2 no h faltando. Obrigado.
ResponderExcluirOlá amigo. Não está enganado. Faltou mesmo colocar o exponte dois em h. Já corrigi a fórmula.
ResponderExcluirObrigado por avisar!
Abraços e volte sempre.
Olá Kleber Kilhian, primeiramente parabéns pelo excelente trabalho, se for possível, é claro, me esclareça uma dúvida a respeito da equação (3), na referida situação R1 e R2 não seria igual a zero e com isso seus respectivos quadrados também? Pois percebi, posso estar enganado, que ao substituir a relação (2) em (3) o quadrado de R1 foi substituído por menos R ao quadrado e o quadrado de R2 por R ao quadrado, não seria ambos iguais a zero? Desde já agraço. Um forte abraço.
ExcluirOlá Kleber Kilhian, primeiramente parabéns pelo excelente trabalho, se for possível, é claro, me esclareça uma dúvida a respeito da equação (3), na referida situação R1 e R2 não seria igual a zero e com isso seus respectivos quadrados também? Pois percebi, posso estar enganado, que ao substituir a relação (2) em (3) o quadrado de R1 foi substituído por menos R ao quadrado e o quadrado de R2 por R ao quadrado, não seria ambos iguais a zero? Desde já agraço. Um forte abraço.
ExcluirOlá Kleber, me responde mais uma dúvida na equação (4), a condição para que o segmento esférico seja uma calota esférica não seria x2=R ao invés de x2=0. Desde já agradeço.
ExcluirGilmar, primeiramente vamos considerar a esfera centrada na origem de um sistema cartesiano e os triângulos definidos pelos raios $R_1, R$ e $x_1$ e $R_2, R$ e $x_2$. Aplicando o teorema de pitágoras em cada um deles, obtemos:
Excluir$R^2 = R_1^2 + x_1^2 \Rightarrow R_1^2 = r^2 - x_1^2$
e
$R^2 = R_2^2 + x_2^2 \Rightarrow R_2^2 - x_2^2$
A altura $h$ será dada por:
$h = x_2 - x_2$
Se $x_1=-R$ e $x_2=R$ então:
$h = R - (-R) \Rightarrow h=2R$
Substituindo $R_1$, $R_2$ e $h$ na relação $(2)$, obtemos:
$$V=\frac{1}{6} \pi \cdot 2R [3(R^2-x_1^2 + R^2-x_2^2)+(2R)^2]$$
$$V= \frac{1}{3} \pi R [3(R^2-R^2 + R^2- R^2)+4R^2]$$
$$V = \frac{1}{3}\pi R [3(0) + 4R^2]$$
$$V= \frac{4}{3} \pi R^3$$
No caso da relação $(4)$, você está certo, $x_2$ tem que ser igual a $R$ para ser uma calota esférica. Farei as devidas correções em breve.
Um abraço.
Bela demostração!!!Parabéns pelo trabalho!!
ResponderExcluirO calculo deste volume, sem o uso de integral é possível?
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