Construindo uma sequência de números não-primos

Podemos construir sequências de números naturais, com quantos números quisermos, sem que haja nela um único número primo! Para isso, utilizamos a fórmula:

$$
S = n!+2 , n!+3, n!+4, \cdots ,n!+(n-1), n!+n
$$

Vamos relembrar primeiramente alguns conceitos sobre fatorial e números primos.

Se um evento $A$ pode ocorrer de $m$ maneiras e um segundo evento $B$ pode ocorrer de $n$ maneiras distintas, então o número de maneiras que esses eventos podem ocorrer um seguido do outro é $m \times n$.

Em outras palavras, por exemplo, um estudante pode posicionar 5 livros na prateleira de 120 maneiras diferentes, pois o número de permutações (P) de 5 livros na prateleira é:

$$
P = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\
\ \\
P = 120
$$

Nos problemas de contagem, essa multiplicação de números inteiros decrescentes aparece com tanta frequência que os matemáticos inventaram um símbolo só para representá-la.

O fatorial de um número é simbolizado por $n!$ e le-se “n-fatorial”. A origem do símbolo de fatorial $(!)$ foi introduzido pela primeira vez em 1808 pelo professor universitário Christian Kramp (1760 – 1826) de Estrasburgo, França, a fim de contornar as dificuldades encontradas na escrita de seu Éléments d’arithmétique universelle ou d’Algèbre.

No ano de 1811, Legendre denotou n-fatorial usando a letra grega Gama em Exercicies de calcul integral, I, p.277. Paris 1811:

$$
\Gamma (n+1)
$$

Para este efeito, Gauss utilizou a letra grega Pi maiúscula $(\Pi)$ em Commentationes Societatis regice scientiarum Gottingenis recentiores, vol. 2, 1811 – 1813:

$$
\Pi (n)
$$

Então, para $5!$ temos:

$$
P = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \Longleftrightarrow 5!
$$

Para o fatorial de um número $n$ qualquer, temos o produto:

$$
n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)\cdot \  \cdots \  \cdot 2 \cdot 1
$$

Exemplos:

$\longrightarrow$  $2! = 2 \cdot 1 = 2$

$\longrightarrow$  $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

$\longrightarrow$  $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

$\longrightarrow$  $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

$\longrightarrow$  $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$

Por definição, fatorial de 0 é 1, pois:

$$
n! = n \cdot (n-1)!\\
\ \\
\frac{n!}{n} = (n-1)!
$$

Se fizermos $n=1$, obteremos:

$$
\frac{1}{1} = (1-1)!\\
\ \\
1 = 0!
$$

Uma propriedade dos fatoriais muito interessante na hora de simplificações é que:

$5! = 5 \cdot 4!$

$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3!$

$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3\cdot 2!$

$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Portanto:

$$
\frac{5!}{4!} = \frac{5\cdot 4!}{4!} = 5
$$

Generalizando:

$$
\frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1)\cdot n!}{n!} = n+1
$$

Agora que já conseguimos entender um pouco melhor sobre fatoriais, vamos passar aos números primos.

Um número primo é um número inteiro positivo, diferente da unidade (1) e que só possui dois divisores: ele mesmo e a unidade. Por exemplo, os números: 2, 3, 5, 7, ...

Todo número fatorial é divisível por todos os números que entram na multiplicação até chegar a valor do fatorial, ou seja:

$$
n! \text{ é divisível por } 1,2,3, \cdots , (n-2), (n-1), n
$$

Logo, $n!$ não é um número primo, para $n$ maior que 2. Podemos definir que todo número fatorial é um número composto.

Se dois números são múltiplos do mesmo número, então a soma desses dois números é também um múltiplo desse número, ou seja, é divisível por esse número. Assim, se $a$ e $b$ são múltiplos de $k$, então:

$$
\begin{cases}
a & = & k\cdot n\\
b & = & k \cdot m
\end{cases}\\
\ \\
a+b = k\ n + k\ m\\
\ \\
a+b = k\ (n+m)
$$

Desta forma, se tomarmos a sequência abaixo, teremos uma sequência de números compostos, pois cada número fatorial é divisível por cada um dos números que entrou na multiplicação, e a soma do fatorial com um desses números também é divisível por este número:

$$
S = n!+2, n!+3, n!+4, \cdots , n!+(n-1), n!+n
$$

Essa sequência gera um conjunto de números sucessivos onde não contém nenhum número primo.

Para n = 6, temos:

$$
S = 6!+2,\ 6!+3,\ 6!+4,\ 6!+5,\ 6!+6\\
\ \\
S = 720+2,\ 720+3,\ 720+4,\ 720+5,\ 720+6\\
\ \\
S = \{722, 723, 724, 725, 726\}
$$

E é válida para qualquer n maior que 2:

Para n = 7, teremos um conjunto com seis números começando em 5.042.

Para n = 11, teremos um conjunto com dez números começando em 39.916.802.

Para n = 23, teremos um conjunto de vinte e dois números começando em 25.852.016.738.884.976.640.002.

Quanto mais aumentamos o valor de $n$, mais dificilmente encontramos um número primo e as sequências ficarão com uma quantidade maior de números.

Assim, podemos montar uma sequência com 40 bilhões de números, basta fazer:

$$
n= 40.000.000.001
$$

O único problema será escrever cada um dos números desta sequência com quase 10 bilhões de zeros!

*Artigo atualizado em: 20/11/2024

Referências:

• Revista Cálculo, V3, 2011
• History of Symbol for n-factorial - http://www.jstor.org
• http://mathematicsprojects.blogspot.com

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