Retas Perpendiculares

Veremos nesta postagem como determinar se duas retas são perpendiculares entre si, dados seus coeficientes angulares.

Considere duas retas $r_1$ e $r_2$ não perpendiculares a nenhum dos eixos $x$ e $y$. Sejam $m_1$ e $m_2$ os coeficientes angulares das retas $r_1$ e $r_2$, respectivamente. As retas $r_1$ e $r_2$ serão perpendiculares entre si se, e somente se, o ângulo formado entre elas for igual a $90^\circ$.

Teorema $1$: Duas retas são perpendiculares entre si se o coeficiente angular de uma delas for igual ao oposto do inverso da outra, ou seja:

\begin{equation}
m_1\cdot m_2=-1
\end{equation}

Demonstração: Sejam $m_1$ o coeficiente angular da reta $r_1$ denotado por $m_1=\text{tg}(\theta)$ e $m_2$ o coeficiente angular da reta $r_2$ denotado por $\displaystyle m_2=\text{tg}\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)$. Temos que:

\begin{equation}
\text{tg}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\text{sen}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}{\cos{\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}}
\end{equation}
Pela fórmula da soma de arcos, segue que:
$$\text{tg}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\text{sen}(\theta)\cos \left ( \frac{\pi}{2} \right )+\text{sen}\left ( \frac{\pi}{2} \right )\cos(\theta)}{\cos(\theta)\cos\left ( \frac{\pi}{2} \right )-\text{sen}(\theta)\text{sen}\left ( \frac{\pi}{2} \right )}$$
$$\text{tg}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\text{sen}(\theta)\cdot 0+1\cdot \cos(\theta)}{\cos(\theta)\cdot 0-\text{sen}(\theta)\cdot 1}$$
$$\text{tg}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=- \frac{\cos(\theta)}{\text{sen}(\theta)}$$
\begin{equation}
\text{tg}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=-\text{cotg}(\theta)=-\frac{1}{\text{tg}(\theta)}
\end{equation}
Como $m_1=\text{tg}(\theta)$ e $\displaystyle m_2=\text{tg}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{\text{tg}(\theta)}$, podemos dizer que:
\begin{equation}
\begin{matrix}
m_2=-\frac{1}{m_1}\\
\text{ou}\\
m_1\cdot m_2=-1\\
\end{matrix}
\end{equation}

Exemplos: Verifique se as retas são perpendiculares.

a) $r_1:x+2y-1=0$   e   $r_2:2x-y+3=0$

O coeficiente angular de uma reta é dada por:
\begin{equation}
y-y_0=m(x-x_0)
\end{equation}

As equações das retas dadas estão na forma geral: $ax+by+c=0$. Isolando $y$ colocamos-as na forma reduzida: $y=mx+q$, onde $m=-a/b$ e $q=-c/b$, sendo $m$ o coeficiente angular da reta. Assim, temos: $\displaystyle r_1:y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ e $\displaystyle r_2:y=2x-3$. Assim, $m_1=-1/2$ e $m_2=2$.

Utilizando a fórmula dada em $(4)$, temos:
$$m_2=-\frac{1}{m_1}$$
De fato, temos:
$$2=-\frac{1}{-1/2} \Rightarrow -1=-1$$
O que mostra que as retas são perpendiculares. Graficamente:

b) $r_1:x+3y-1=0$   e   $r_2:-x-y+4=0$.

Escrevendo as retas na forma reduzida, temos: $r_1:x+3y-1=0$ e $r_2:-x-y+4=0$ e os respectivos  coeficientes angulares são $m_1=-1/3$ e $m_2=-1$. Vemos que as retas não são perpendiculares, já que ambos os coeficientes angulares são negativos, onde o produto será um número positivo. Graficamente:

c) Sejam as retas $r_1$ passa pelo ponto $A_1(0,3)$ e $A_2(-1,4)$ e a reta $r_2$ passa pelo ponto $B_1(1,4)$ e $B_2(0,3)$.

Determinamos os coeficientes angulares das retas:
\begin{matrix}
r_1: y-y_A=m_1(x-x_A)\\
4-3=m_1(-1-0)\\
m_1=-1\\
\end{matrix}
e
\begin{matrix}
r_2: y-y_B=m_2(x-x_B)\\
3-4=m_2(0-1)\\
m_2=1\\
\end{matrix}
Temos que:
\begin{matrix}
m_1 \cdot m_2=-1\\
-1\cdot 1=-1\\
-1=-1\\
\end{matrix}
O que é uma verdade e as retas realmente são perpendiculares. Graficamente:

---

Veja mais: 

Valor Absoluto e a Desigualdade Triangular
Fórmula das Coordenadas de um Triângulo
Reta Tangente a uma Curva

---