Uma fórmula para calcular o comprimento da elipse

Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cujas distâncias a dois pontos fixos desse plano têm soma constante.

A elipse pode ser obtida da interseção de um cone circular reto e um plano que corta todas as suas geratrizes.

Ao contrário de uma circunferência, não existe uma fórmula simples para calcular exatamente o comprimento (perímetro) de uma elipse. Neste post, veremos uma expressão aproximada em função do seu semieixo maior e de sua excentricidade.

Dedução

Seja a elipse de semieixo maior $a$ e semieixo menor $b$, centrada na origem, conforme a figura acima. Sejam os pontos $(\pm c ,0)$ os focos elipse de equação reduzida dada por:

$$\begin{equation} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{equation}$$
de modo que satisfaz a relação:
$$\begin{equation} a^2=b^2+c^2 \end{equation}$$
Sua excentricidade é definida por:
$$\begin{equation} e=\frac{c}{a} \end{equation}$$

Para determinarmos o comprimento desta elipse, usaremos a fórmula para o cálculo de um segmento de curva:

$$\begin{equation} L = \int dl \\ \ \\ L = \int_a^b \sqrt{1+(y^\prime)^2}\ dx \end{equation}$$

Derivando implicitamente a relação $(1)$, em relação a $x$, obtemos:

$$\begin{equation*} \frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2}\ y^{\prime} = 0\\ y^{\prime} = -\frac{b^2x}{a^2y} \end{equation*}$$

Elevando ambos os lados ao quadrado e depois somando $1$ em cada lado, obtemos:

$$\begin{equation} 1+(y^{\prime})^2 = 1+\frac{b^4x^2}{a^4y^2} \end{equation}$$
Isolando $y^2$ da relação $(1)$, obtemos:
$$\begin{equation} y^2 = b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right) \end{equation}$$
Substituindo a relação $(6)$ na $(5)$ e simplificando, obtemos:
$$\begin{equation} 1+(y^{\prime})^2 = \frac{a^4 - (a^2-b^2)x^2}{a^2(a^2-x^2)} \end{equation}$$
Substituindo a relação $(2)$ na relação $(7)$, obtemos:
$$\begin{equation} 1+(y^{\prime})^2 = \frac{a^4-c^2x^2}{a^2(a^2-x^2)} \end{equation}$$

Dividindo o numerado e o denominador do segundo membro da relação acima, obtemos:

$$\begin{equation} 1+(y^{\prime})^2 = \frac{\displaystyle a^2 - \frac{c^2x^2}{a^2}}{a^2-x^2} \end{equation}$$
Substituindo a relação $(3)$, na relação acima, obtemos:
$$\begin{equation} 1 + (y^{\prime})^2 = \frac{a^2 - e^2x^2}{a^2-x^2} \end{equation}$$
Substituindo a relação $(9)$ em $(4)$, obtemos:
$$\begin{equation} L= 4 \int_0^a \sqrt{\frac{a^2 - e^2x^2}{a^2-x^2}} dx \end{equation}$$

Fazendo uma substituição trigonométrica onde $x=a\ \text{sen}(\theta)$, temos que $dx=a\ \cos (\theta)\ d\theta$. Para $x=0$, temos $\theta=0$ e para $x=a$, temos $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2}$. Assim:

$$\begin{equation*} L = 4\int_0^{\pi/2} \sqrt{\frac{a^2-e^2a^2\text{sen}^2(\theta)}{a^2-a^2\text{sen}^2(\theta)}}\cdot a\ \cos(\theta) d\theta\\ \ \\ L = 4 \int_0^{\pi/2} \sqrt{\frac{1-e^2 \text{sen}^2(\theta)}{\cos^2(\theta)}}\cdot a\ \cos(\theta) d\theta \end{equation*}$$
Oque nos leva a:
$$\begin{equation} L = 4a\int_0^{\pi/2} \sqrt{1-e^2 \text{sen}^2(\theta)}\ d\theta \end{equation}$$

Observe que se $e=0$, a elipse representa uma circunferência de raio a e segue da expressão $(12)$ que $L=2\pi a$ como era esperado.

A integral dada em $(12)$ é uma integral elíptica e já foi amplamente estudada por grandes matemáticos que mostraram não ser possível que expressar a integral acima em termos de funções elementares. Deste modo, para obter uma fórmula para comprimento da elipse, iremos expandir o integrando através do binômio de Newton, ou seja:

$$\begin{equation*} (1+x)^n = \\ \ \\ 1+nx+\frac{n(n-1)x^2}{2!}+\frac{n(n-1)(n-2)x^3}{3!}+\cdots \end{equation*}$$
Fazendo $\displaystyle n=\frac{1}{2}$ e $x=-e^2\text{sen}^2(\theta)$, obtemos:

$$\begin{equation*} \left( 1-e^2\text{sen}^2(\theta) \right)^{1/2}\simeq \\ \ \\ 1 - \frac{e^2\text{sen}^2(\theta)}{2} - \frac{e^4\text{sen}^4(\theta)}{8} - \frac{e^6\text{sen}^6(\theta)}{16} \end{equation*}$$

Substituindo a relação a cima em $(12)$ e integrando termo a termo, obtemos a fórmula aproximada para calcular o comprimento de uma elipse em função de sua excentricidade e do seu eixo maior, isto é:

$$\begin{equation} L \simeq \pi a \left(2-\frac{e^2}{2} - \frac{3e^4}{32} - \frac{5e^6}{128} \right) \end{equation}$$

Exemplo

Um jardineiro é contratado para construir um canteiro no formato de uma elipse de eixos iguais $40 m$ e $50 m$ respectivamente. Para delimitá-lo, o jardineiro construirá uma cerca com estacas e $3$ voltas de arame. Determine a quantidade de arame necessário para este projeto.

Resolução: Note que o semieixo maior é $a=25m$ e o semieixo menor é $b=20m$, de modo que $\displaystyle c=\sqrt{25^2-20^2}=15m$ e a excentricidade é $\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{15}{25}=0,6$. Usando a fórmula dada em $(13)$ segue que o comprimento de arame para dar uma volta é:

$$\begin{equation*} L \simeq \pi \cdot 25 \left(2-\frac{0,6^2}{2} - \frac{3\cdot 0,6^4}{32}-\frac{5\cdot 0,6^6}{128} \right)\\ \ \\ L \simeq 141,8451m \end{equation*}$$

Portanto, o comprimento mínimo necessário de arame para cercar o canteiro elíptico é:

$$\begin{equation*} 141,851 \times 3 \simeq 425,5m \end{equation*}$$

Referências:

• Este artigo é uma republicação. O original foi extraído do blog Fatos Matemáticos:  Uma fórmula para calcular o comprimento da elipse 

Veja mais:

• Fórmula para calcular um segmento de curva
• Triângulos de áreas constantes na elipse
• A equação da elipse