10/02/2018

Papus: O epílogo da geometria grega

A partir do século $III\ a.C.$, Roma começa a se impor como potência militar imperialista. Em $156\ a.C.$. após uma sucessão de conquistas, anexou a Grécia aos seus já vastos domínios. A mesma sorte intervindo neste país, valendo-se da disputa pelo poder entre Cleópatra e seu irmão. César, no ano $47\ a.C.$, mandara incendiar a esquadra egípcia ancorada no porto de Alexandria. O fogo se alastrou e atingiu a biblioteca, consumindo cerca de $500$ mil textos.

Apesar desses acontecimentos, Alexandria continuaria a ostentar por muito tempo a condição de capital cultural do mundo. Mas, por razões várias, aproximadamente por volta dessa época começa a declinar em intensidade sua pujança, inclusive no campo da matemática.

Papus: O epílogo da geometria grega

De um lado o modelo matemático dos gregos, com sua grande ênfase na geometria dedutiva, paralelamente à não-adoção de qualquer simbologia algébrica, estava se esgotando. Ademais, os romanos, embora a princípio não interferissem nas atividades científicas dos gregos, muito menos as incentivavam ou valorizavam, posto que só o conhecimento prático lhes interessasse. E, quando o cristianismo se tornou religião oficial do Império Romano, essa isenção foi sendo abandonada, culminando com o fechamento das escolas gregas de filosofia no ano de $529$, incluindo a secular Academia de Platão, em Atenas. Nessa fase de decadência o último grande alento da matemática grega foi dado por Papus de Alexandria $(c.\ 300\ d.C)$.

Papus provavelmente viveu e ensinou em Alexandria entre o final do século $III$ e a primeira metade do século $IV$, conforme se deduz de comentário se sobre o Almagesto, em que cita como episódio recente um eclipse do Sol ocorrido no ano $320$. Dentre suas obras, apenas uma restou até nossos dias: a Coleção Matemática, em oito livros, dos quais o primeiro e parte do segundo se perderam.

Predominantemente uma obra de geometria, a grande importância da Coleção Matemática se assenta em três razões principais. Uma delas se traduz nas preciosas informações históricas que inclui sobre a matemática grega já conhecida, mediante novas demonstrações e lemas explanatórios; a última é a própria contribuição original de Papus, bastante significativa.

Um dos resultados de maior alcance deixados por Papus é conhecido hoje como Teorema de Guldin, em homenagem a P. Guldin, que redescobriu no século $XVII$. Esse teorema assegura que, se uma reta e uma curva fechada são coplanares e não se interceptam, o volume do sólido obtido girando-se a superfície delimitada pela curva em torno da reta é igual ao produto da área dessa superfície pelo comprimento da trajetória de seu centro de gravidade.

É digna de registro também a proposição $139$, no livro $VII$, conhecida em geometria projetiva como Teorema de Papus:

Se $A$, $B$ e $C$ são pontos de uma reta e $A'$, $B'$ e $C'$ pontos de outra, conforme a figura acima, então $AB'$ e $A'B$, $AC'$ e $A'C$ e $BC'$ e $B'C$ se encontram em três pontos colineares.

A Papus se deve ainda o conceito de foco e diretriz de uma cônica. É dele o teorema:

O lugar geométrico dos pontos de um plano cuja razão das distâncias a um ponto (foco) e uma reta (diretriz) é constante, é uma cônica.

Enfim, bem que Papus se empenhou para reerguer a geometria grega. Mas as forças inexoráveis a história estavam contra ele.

Texto de Hygino H. Domingues

Referências

  • Fundamentos de Matemática Elementar, V9 - Osvaldo Dolce

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