24/03/2018

Qual é a melhor notação para derivadas?

No Cálculo, encontramos em uso comum algumas notações diferentes para representar derivadas. Mas, qual notação é a melhor? O fato é que não existe uma melhor, mas sim a mais adequada em determinadas circunstâncias.

Pensar que a simbologia usada não importa é um erro, pois uma boa notação pode suavizar o caminho e poupar boa parte do trabalho, enquanto uma notação inadequada pode nos travar e tornar quase impossível o desenvolvimento.

A derivada de uma função $f(x)$ geralmente é denotada por $f^{\prime} (x)$ e essa notação enfatiza que a derivada de $f(x)$ é uma outra função de $x$ que está associada de certa maneira com a função dada. Se esta função é da forma $y=f(x)$, com a variável dependente explícita, de modo que utilizar $y^{\prime}$ é frequentemente usado em lugar de $f^{\prime}(x)$.
Qual a melhor notação para derivadas?

A principal desvantagem da notação prima $(^{\prime})$ para derivadas é que ela não sugere a natureza do proso pelo qual $f^{\prime}(x)$ é obtida de $f(x)$. A notação criada por Leibniz para sua versão do Cálculo é melhor nesse aspecto bem como em outros.

Para explicar a notação Leibniz, começamos com uma função $y=f(x)$ e escrevemos o quociente de diferenças $\displaystyle \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ como:
\begin{equation*}
\frac{\Delta y}{\Delta x}
\end{equation*}
onde $\Delta y = f(x+\Delta x)-f(x)$. Neste caso, $\Delta y$ não é apenas uma mudança de variável qualquer em $y$, mas uma mudança específica, resultado da mudança da variável independente $x$ para $x+\Delta x$.

O quociente de diferenças $\Delta y / \Delta x$ pode ser interpretado como a razão da variação de $y$ pela variação de $x$ ao longo da curva $ y=f(x)$, representando o declive da secante:
Declive da secante

Leibniz escreveu o limite desse quociente de diferenças sob a forma $dy / dx$ (leia-se: "$dy$ sobre $dx$ ou ainda $dy,\ dx$). Nessa notação, a definição e derivada torna-se:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \tag{1}
\end{equation*}
que representa o coeficiente angular (declive) da reta tangente no ponto $x$, como mostra a figura acima. Podemos escrever de duas formas diferentes, mas equivalentes a notação $dy/dx$:
\begin{equation*}
\frac{d f(x)}{dx} \quad \text{ou} \quad \frac{d}{dx}f(x)
\end{equation*}
Nesta segunda notação, o símbolo $d/dx$ representa uma operação que pode ser aplicada à função $f(x)$ para levar à sua derivada $f^{\prime}(x)$:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx} f(x) = f^{\prime}(x)
\end{equation*}
O símbolo $d/dx$ pode ser lido como "a derivada em relação a $x$ de $\cdots$", qualquer que seja a função de $x$ envolvida.

A notação $dy/dx$ dada em $(1)$ é um símbolo individual e não um quociente, apesar da forma como é escrito, pois não é um quociente entre duas quantidades, uma vez que $dy$ e $dx$ não foram definidos e não tem existência independente. Na notação de Leibniz, a formação do limite à direita da relação $(1)$ é simbolicamente expressa substituindo-se a letra grega $\Delta$ pela letra $d$. Analisando dessa forma, o símbolo $dy/dx$ para derivadas tem a vantagem psicológica de no fazer lembrar rapidamente de todo o processo de se formar o quociente de diferenças $\Delta y/ \Delta x$ e calcular seu limite quando $\Delta x \rightarrow 0$. Há também uma vantagem prática, pois certas fórmulas são mais fáceis de lembrar e usar quando as derivadas são escritas na notação de Leibniz, como por exemplo, a função aceleração, que é a derivada da função velocidade:
\begin{equation*}
a = \frac{dv}{dt}
\end{equation*}
Mas por melhor que seja, esta notação não é perfeita. Vamos supor que desejamos escrever o valor numérico da derivada em um ponto específico, como por exemplo, $x=1$. Como $dy / dx$ não mostra a variável $x$ da maneira conveniente, como na notação $f^{\prime}(x)$, somos forçados a usar uma notação canhestra:
\begin{equation*}
\left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=1} \quad \text{ou} \quad \frac{dy}{dx} \biggr | _{x=1}
\end{equation*}
Cada notação é boa a sua maneira e são amplamente usadas na literatura da Ciência e da Matemática.

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Referências:

  • Cálculo com Geometria Analítica - Simmons

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