10/11/2018

Resolução da integral $\displaystyle \int \sqrt{a-x}\ dx$

Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.

Neste artigo, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \sqrt{a-x}\ dx = -\frac{2}{3}\ \sqrt{(a-x)^3} + C
\end{equation*}
onde $a-x>0$.

Resolução da integral da raiz de a-x

Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \sqrt{a-x}\ dx
\end{equation*}
Para o integrando $\sqrt{a-x}$, fazemos a substituição $u=a-x$. Assim, du = -dx$:
\begin{equation*}
I = -\int \sqrt{u}\ du
\end{equation*}
Transformando o radical em expoente fracionário, obtermos:
\begin{equation*}
I = -\int u^{1/2}\ du\\
\ \\
I = - \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} + C\\
\ \\
I = - \frac{u^{3/2}}{3/2} + C\\
\ \\
I = -\frac{2}{3}\ u^{3/2} + C
\end{equation*}
Mas, $u=a-x$. Logo:
\begin{equation*}
I = -\frac{2}{3}(a-x)^{3/2} + C\\
\ \\
I = -\frac{2}{3}\ \sqrt{(a-x)^3}+C
\end{equation*}
ou
\begin{equation*}
I = -\frac{2}{3}\ (a-x)\ \sqrt{a-x}+C
\end{equation*}

Exemplo 1:

Calcular a área entre a curva $f(x)=\sqrt{1-x}$ e o eixo dos $x$ no intervalo $[0,1]$.

Integral da raiz de 1 - x


Para calcularmos a área desejada, utilizamos o conceito de integral definida, com limites de integração inferior e superior iguais a $0$ e $1$, respectivamente. Assim:
\begin{equation*}
A = \int_0^1 \ \sqrt{1-x}\ dx\\
\\
A = \left[ -\frac{2}{3}\ (1-x)^{3/2} \right]_0^1\\
\ \\
A = \left( -\frac{2}{3}(1-1)^{3/2} \right) - \left(-\frac{2}{3} (1-0)^{3/2}\right)\\
\ \\
A = \frac{2}{3}
\end{equation*}
Assim, a área do gráfico sob a curva sombreada, vale $2/3$ unidades de área.

Exemplo 2:

Calcular a área entre as curvas $f(x)=1+x$ e $g(x)=\sqrt{5-x}$ e o eixo dos $x$.

Área sob as curvas 1+x e raiz de 5-x

Para calcularmos a área delimitada pelas curvas, dividimos em duas partes: uma à esquerda e outro à direita do ponto $P$, que é a intersecção entre as duas curvas. Este ponto é obtido quando igualamos as duas funções:
\begin{equation*}
f(x) = g(x)\\
\ \\
1+x = \sqrt{5-x}\\
\ \\
(1+x)^2 = 5-x\\
\ \\
1+2x+x^2=5-x\\
\ \\
x^2+3x-4=0\\
\ \\
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\ \\
x = \frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{2}\\
\ \\
x = \frac{-3\pm5}{2}\\
\ \\
x_1 = 1\\
\ \\
x_2 = -4
\end{equation*}
O ponto $P$ encontra-se no primeiro quadrante, logo, usamos o valor de $x_1=1$. Agora, devemos encontrar os limites de integração, onde as curvas coram o eixo dos $x$.

Para $f(x)=1+x$:
\begin{equation*}
1+x=0\\
\ \\
x=-1
\end{equation*}
Para $g(x)=\sqrt{5-x}$:
\begin{equation*}
\sqrt{5-x} = 0\\
\ \\
5-x=0\\
\ \\
x=5
\end{equation*}
Assim, a área desejada é dada pela soma das áreas $A_1$ e $A_2$. Vamos calcular as integrais separadamente para encontrarmos as áreas $A_1$ e $A_2$ e no fim somamo-as.
Calculando a área $A_1$:
\begin{equation*}
A_1 = \int_{-1}^1 (1+x)\ dx\\
\ \\
A_1 = \left[x+\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1}\\
\ \\
A_1 = \left(1+\frac{1}{2} \right) - \left(-1+\frac{(-1)^2}{2} \right)\\
\ \\
A_1 = \frac{3}{2}+\frac{1}{2}\\
\ \\
A_1 = 2
\end{equation*}
Calculando a área $A_2$:
\begin{equation*}
A_2 = \int_1^5 \sqrt{5-x}\ dx\\
\ \\
A_2 = \left[ -\frac{2}{3} \sqrt{(5-x)^3} \right]_1^5\\
\ \\
A_2 = \left(-\frac{2}{3} \sqrt{(5-5)^3} \right) - \left( -\frac{2}{3} \sqrt{(5-1)^3} \right)\\
\ \\
A_2 = \frac{2}{3} \sqrt{64}\\
\ \\
A_2 = \frac{16}{3}
\end{equation*}

A área desejada é a soma das áreas $A_1$ e $A_2$. Assim:
\begin{equation*}
A = A_1+A_2\\
\ \\
A = 2 + \frac{16}{3}\\
\ \\
A = \frac{22}{3}
\end{equation*}
Assim, a área sombreada sob as curvas vale $22/3$ unidades de área.

Exemplo 3:

Calcular a área entre as curvas $f(x)=\sqrt{1-x}$ e $g(x)=\sqrt{4-x}$, entre o eixo dos $x$ nos limites de $0$ a $4$.

Área sob as curvas raiz de 1-x e raiz de 4-x


A área desejada é dada pela diferença entre as áreas das curvas $g(x)$ e $f(x)$. Vamos calcular separadamente cada uma delas e, no fim, efetuar a diferença.

Para a área sob a curva $g(x)$:
\begin{equation*}
A_1 = \int_0^4 \sqrt{4-x}\ dx\\
\ \\
A_1 = \left[-\frac{2}{3} \sqrt{(4-x)^3}\right]_0^4\\
\ \\
A_1 = \left(-\frac{2}{3} \sqrt{(4-4)^3} \right) - \left(-\frac{2}{3} \sqrt{(4-0)^3} \right)\\
\ \\
A_1 = \frac{2}{3} \sqrt{64}\\
\ \\
A_1 = \frac{2}{3} \cdot 8\\
\ \\
A_1 = \frac{16}{3}
\end{equation*}

Para a área sob a curva $f(x)$:
\begin{equation*}
A_2 = \int_0^1 \sqrt{1-x}\ dx\\
\ \\
A_2 = \left[ -\frac{2}{3} \sqrt{(1-x)^3}\right]_0^1\\
\ \\
A_2 = \left(-\frac{2}{3} \sqrt{(1-1)^3} \right) - \left(-\frac{2}{3} \sqrt{(1-0)^3}\right)\\
\ \\
A_2 = \frac{2}{3}
\end{equation*}
A área sombreada é dada pela diferença $A_1 - A_2$:
\begin{equation*}
A = A_1 - A_2\\
\ \\
A = \frac{16}{3} - \frac{2}{3}\\
\ \\
A = \frac{14}{3}
\end{equation*}
Assim, a área desejada vale $14/3$ unidades de área.

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