Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.
Neste artigo, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}\int \sqrt{a-x}\ dx = -\frac{2}{3}\ \sqrt{(a-x)^3} + C
\end{equation*}
onde $a-x>0$.
![Resolução da integral da raiz de a-x Resolução da integral da raiz de a-x](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg6VbQmUIfxb087IlODFwgARwkaeKwlbE434BhLvO5HSLwJAcFKb17FPYDlEDCRaylVvatpluz1uvgAMoBofMvcznBmS2G3hpVl-Sr9nA_34RrjNjsMliN0DKtSPpWUPVqOabuZTHiZFr8/s1600/Resolu%25C3%25A7%25C3%25A3o+da+integral+da+raiz+de+a+-+x.png)
Seja a integral:
\begin{equation*}I = \int \sqrt{a-x}\ dx
\end{equation*}
Para o integrando $\sqrt{a-x}$, fazemos a substituição $u=a-x$. Assim, du = -dx$:
\begin{equation*}I = -\int \sqrt{u}\ du
\end{equation*}
Transformando o radical em expoente fracionário, obtermos:
\begin{equation*}I = -\int u^{1/2}\ du\\
\ \\
I = - \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} + C\\
\ \\
I = - \frac{u^{3/2}}{3/2} + C\\
\ \\
I = -\frac{2}{3}\ u^{3/2} + C
\end{equation*}
Mas, $u=a-x$. Logo:
\begin{equation*}
I = -\frac{2}{3}(a-x)^{3/2} + C\\
\ \\
I = -\frac{2}{3}\ \sqrt{(a-x)^3}+C
\end{equation*}
I = -\frac{2}{3}(a-x)^{3/2} + C\\
\ \\
I = -\frac{2}{3}\ \sqrt{(a-x)^3}+C
\end{equation*}
ou
\begin{equation*}I = -\frac{2}{3}\ (a-x)\ \sqrt{a-x}+C
\end{equation*}
Exemplo 1:
Calcular a área entre a curva $f(x)=\sqrt{1-x}$ e o eixo dos $x$ no intervalo $[0,1]$.
![Integral da raiz de 1 - x Integral da raiz de 1 - x](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjimcRxvFuy5dXyYG8Rc-s5w8NYXE846w5s79TReXNrQany9M1owg29B0Zdco6r7yKj_LmNelQ13A8FBESeRuuhd5WTDk9VmPMvX9q-YaXGRVEdID65KUiTf9qiChDs6MMBBYEirUtSBuI/s1600/Resolu%25C3%25A7%25C3%25A3o+da+integral+da+raiz+de+1+-+x.png)
Para calcularmos a área desejada, utilizamos o conceito de integral definida, com limites de integração inferior e superior iguais a $0$ e $1$, respectivamente. Assim:
\begin{equation*}A = \int_0^1 \ \sqrt{1-x}\ dx\\
\\
A = \left[ -\frac{2}{3}\ (1-x)^{3/2} \right]_0^1\\
\ \\
A = \left( -\frac{2}{3}(1-1)^{3/2} \right) - \left(-\frac{2}{3} (1-0)^{3/2}\right)\\
\ \\
A = \frac{2}{3}
\end{equation*}
Assim, a área do gráfico sob a curva sombreada, vale $2/3$ unidades de área.
Exemplo 2:
Calcular a área entre as curvas $f(x)=1+x$ e $g(x)=\sqrt{5-x}$ e o eixo dos $x$.
![Área sob as curvas 1+x e raiz de 5-x Área sob as curvas 1+x e raiz de 5-x](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTzut3u3cbDgNtyU0lZ0KCqmq9q6R0YCIyPxoC3djhXk29gmAhJGIlb9jYW5fCmHsK_sXJoqZ-apXmHWhz_V2xt9fcPIKvtPBZA3j7NA13P_UbTezNfNjsDaudWu99sSqdmjQ76GaQzK0/s1600/%25C3%2581rea+sob+as+curvas+1%252Bx+e+raiz+de+5-x.png)
Para calcularmos a área delimitada pelas curvas, dividimos em duas partes: uma à esquerda e outro à direita do ponto $P$, que é a intersecção entre as duas curvas. Este ponto é obtido quando igualamos as duas funções:
f(x) = g(x)\\
\ \\
1+x = \sqrt{5-x}\\
\ \\
(1+x)^2 = 5-x\\
\ \\
1+2x+x^2=5-x\\
\ \\
x^2+3x-4=0\\
\ \\
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\ \\
x = \frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{2}\\
\ \\
x = \frac{-3\pm5}{2}\\
\ \\
x_1 = 1\\
\ \\
x_2 = -4
\end{equation*}
O ponto $P$ encontra-se no primeiro quadrante, logo, usamos o valor de $x_1=1$. Agora, devemos encontrar os limites de integração, onde as curvas coram o eixo dos $x$.
Para $f(x)=1+x$:
\begin{equation*}1+x=0\\
\ \\
x=-1
\end{equation*}
Para $g(x)=\sqrt{5-x}$:
\begin{equation*}\sqrt{5-x} = 0\\
\ \\
5-x=0\\
\ \\
x=5
\end{equation*}
Assim, a área desejada é dada pela soma das áreas $A_1$ e $A_2$. Vamos calcular as integrais separadamente para encontrarmos as áreas $A_1$ e $A_2$ e no fim somamo-as.
Calculando a área $A_1$:
A_1 = \int_{-1}^1 (1+x)\ dx\\
\ \\
A_1 = \left[x+\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1}\\
\ \\
A_1 = \left(1+\frac{1}{2} \right) - \left(-1+\frac{(-1)^2}{2} \right)\\
\ \\
A_1 = \frac{3}{2}+\frac{1}{2}\\
\ \\
A_1 = 2
\end{equation*}
Calculando a área $A_2$:
\begin{equation*}A_2 = \int_1^5 \sqrt{5-x}\ dx\\
\ \\
A_2 = \left[ -\frac{2}{3} \sqrt{(5-x)^3} \right]_1^5\\
\ \\
A_2 = \left(-\frac{2}{3} \sqrt{(5-5)^3} \right) - \left( -\frac{2}{3} \sqrt{(5-1)^3} \right)\\
\ \\
A_2 = \frac{2}{3} \sqrt{64}\\
\ \\
A_2 = \frac{16}{3}
\end{equation*}
A área desejada é a soma das áreas $A_1$ e $A_2$. Assim:
\begin{equation*}A = A_1+A_2\\
\ \\
A = 2 + \frac{16}{3}\\
\ \\
A = \frac{22}{3}
\end{equation*}
Assim, a área sombreada sob as curvas vale $22/3$ unidades de área.
Exemplo 3:
Calcular a área entre as curvas $f(x)=\sqrt{1-x}$ e $g(x)=\sqrt{4-x}$, entre o eixo dos $x$ nos limites de $0$ a $4$.
![Área sob as curvas raiz de 1-x e raiz de 4-x Área sob as curvas raiz de 1-x e raiz de 4-x](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGMTMKbjk4QsYg_N-_tUax0WB-K1HwpqSaMRU9MN-8254-oRbTPetP7ZAlTn_RkVGPdumIgesYJzmMMAtb61yyqm3xoyUnt4CeOaps-6UeF6fcBj2d7CQTCewVJolrHwZuCvhRigPa1pE/s1600/%25C3%2581rea+sob+as+curvas+raiz+de+1-x+e+raiz+de+4-x.png)
A área desejada é dada pela diferença entre as áreas das curvas $g(x)$ e $f(x)$. Vamos calcular separadamente cada uma delas e, no fim, efetuar a diferença.
Para a área sob a curva $g(x)$:
\begin{equation*}A_1 = \int_0^4 \sqrt{4-x}\ dx\\
\ \\
A_1 = \left[-\frac{2}{3} \sqrt{(4-x)^3}\right]_0^4\\
\ \\
A_1 = \left(-\frac{2}{3} \sqrt{(4-4)^3} \right) - \left(-\frac{2}{3} \sqrt{(4-0)^3} \right)\\
\ \\
A_1 = \frac{2}{3} \sqrt{64}\\
\ \\
A_1 = \frac{2}{3} \cdot 8\\
\ \\
A_1 = \frac{16}{3}
\end{equation*}
Para a área sob a curva $f(x)$:
\begin{equation*}A_2 = \int_0^1 \sqrt{1-x}\ dx\\
\ \\
A_2 = \left[ -\frac{2}{3} \sqrt{(1-x)^3}\right]_0^1\\
\ \\
A_2 = \left(-\frac{2}{3} \sqrt{(1-1)^3} \right) - \left(-\frac{2}{3} \sqrt{(1-0)^3}\right)\\
\ \\
A_2 = \frac{2}{3}
\end{equation*}
A área sombreada é dada pela diferença $A_1 - A_2$:
\begin{equation*}A = A_1 - A_2\\
\ \\
A = \frac{16}{3} - \frac{2}{3}\\
\ \\
A = \frac{14}{3}
\end{equation*}
Assim, a área desejada vale $14/3$ unidades de área.
Links para este artigo:
Veja mais:
Softwares utilizados:
- Desmos
Postar um comentário