Demonstração geométrica da adição e subtração de arcos

Este artigo é sobre as identidades trigonométricas da adição e subtração de arcos, ou a soma e diferença. Veremos uma demonstração utilizando recursos geométricos que facilita (e muito) a compreensão.

Dados dois ângulos $\alpha$ e $\beta$, veremos como encontrar o seno e o cosseno da adição e da subtração entre eles.

[A imagem acima foi baseada na imagem encontrada no Wikipédia]

Seno e cosseno da adição de arcos

Vamos toma a figura da esquerda para demonstrar as identidades trigonométricas da adição de arcos. Veja que a figura é um retângulo $ADEF$ circunscrito a um triângulo retângulo $ABC$. Primeiramente vamos encontrar as medidas dos segmentos que compões os lados do retângulo e do triângulo.

■ Segmento $BC$:
$$\begin{equation*} \text{sen}(\beta) = \frac{BC}{AC}\\ \ \\ \text{sen}(\beta) = \frac{BC}{1}\\ \ \\ BC = \text{sen}(\beta) \end{equation*}$$

■ Segmento $AB$:
$$\begin{equation*} \cos(\beta) = \frac{AB}{AC}\\ \ \\ \cos(\beta) = \frac{AB}{1}\\ \ \\ AB = \cos(\beta) \end{equation*}$$

■ Segmento $BD$:
$$\begin{equation*} \text{sen}(\alpha) = \frac{BD}{AB}\\ \ \\ \text{sen}(\alpha) = \frac{BD}{\cos(\beta)}\\ \ \\ BD = \text{sen}(\alpha)\ \cos(\beta) \end{equation*}$$

■ Segmento $AD$:
$$\begin{equation*} \cos(\alpha) = \frac{AD}{AB}\\ \ \\ \cos(\alpha) = \frac{AD}{\cos(\beta)}\\ \ \\ AD = \cos(\alpha)\ \cos(\beta) \end{equation*}$$

■ Segmento $AF$:
$$\begin{equation*} \text{sen}(\alpha + \beta) = \frac{AF}{AC}\\ \ \\ \text{sen}(\alpha + \beta) = \frac{ AF}{1}\\ \ \\ AF = \text{sen}(\alpha + \beta) \end{equation*}$$

■ Segmento $CF$:
$$\begin{equation*} \cos(\alpha + \beta) = \frac{CF}{AC}\\ \ \\ \cos(\alpha + \beta) = \frac{CF}{1}\\ \ \\ CF = \cos(\alpha + \beta) \end{equation*}$$

■ Segmento $CE$:
$$\begin{equation*} \text{sen}(\alpha) = \frac{CE}{BC}\\ \ \\ \text{sen}(\alpha) = \frac{CE}{\text{sen}(\beta)}\\ \ \\ CE = \text{sen}(\alpha)\ \text{sen}(\beta) \end{equation*}$$

■ Segmento $BE$:
$$\begin{equation*} \cos(\alpha) = \frac{BE}{BC}\\ \ \\ \cos(\alpha) = \frac{BE}{\text{sen}(\beta)}\\ \ \\ BE = \cos(\alpha)\ \text{sen}(\beta) \end{equation*}$$

A partir destes resultados, vamos demonstrar o seno e o cosseno da adição de arcos.

■ $\text{sen}(\alpha + \beta) = \text{sen}(\alpha)\ \cos(\beta) + \cos(\alpha)\ \text{sen}(\beta)$:

O segmento $AF = DE$. Assim, $AF = BD+BE$:

$$\begin{equation*} \text{sen}(\alpha + \beta) = \text{sen}(\alpha)\ \cos(\beta) + \cos(\alpha)\ \text{sen}(\beta) \end{equation*}$$

■ $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\ \cos(\beta) - \text{sen}(\alpha)\ \text{sen}(\beta)$:

O segmento $AD=EF$. Assim, $CF=AD-CE$:

$$\begin{equation*} \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\ \cos(\beta) - \text{sen}(\alpha)\ \text{sen}(\beta)\\ \end{equation*}$$

Seno e cosseno da subtração de arcos

Vamos toma a figura da direita para demonstrar as identidades trigonométricas da adição de arcos. Veja que a figura é um retângulo $ADEF$ circunscrito a um triângulo retângulo $ABC$. Primeiramente vamos encontrar as medidas dos segmentos que compões os lados do retângulo e do triângulo.

■ Segmento $BC$:
$$\begin{equation*} \text{sen}(\beta) = \frac{BC}{AC}\\ \ \\ \text{sen}(\beta) = \frac{BC}{1}\\ \ \\ BC = \text{sen}(\beta) \end{equation*}$$

■ Segmento $AB$:
$$\begin{equation*} \cos(\beta) = \frac{AB}{AC}\\ \ \\ \cos(\beta) = \frac{AB}{1}\\ \ \\ AB = \cos(\beta) \end{equation*}$$

■ Segmento $AD$:
$$\begin{equation*} \text{sen}(\alpha) = \frac{AD}{AB}\\ \ \\ \text{sen}(\alpha) = \frac{AD}{\cos(\beta)}\\ \ \\ AD = \text{sen}(\alpha)\ \cos(\beta) \end{equation*}$$

■ Segmento $BD$:
$$\begin{equation*} \cos(\alpha) = \frac{BD}{AB}\\ \ \\ \cos(\alpha) = \frac{BD}{\cos(\beta)}\\ \ \\ BD = \cos(\alpha)\ \cos(\beta) \end{equation*}$$

■ Segmento $CF$:
$$\begin{equation*} \text{sen}(\alpha - \beta) = \frac{CF}{AC}\\ \ \\ \text{sen}(\alpha - \beta) = \frac{ CF}{1}\\ \ \\ CF = \text{sen}(\alpha - \beta) \end{equation*}$$

■ Segmento $AF$:
$$\begin{equation*} \cos(\alpha - \beta) = \frac{AF}{AC}\\ \ \\ \cos(\alpha - \beta) = \frac{AF}{1}\\ \ \\ AF = \cos(\alpha - \beta) \end{equation*}$$

■ Segmento $BE$:
$$\begin{equation*} \text{sen}(\alpha) = \frac{BE}{BC}\\ \ \\ \text{sen}(\alpha) = \frac{BE}{\text{sen}(\beta)}\\ \ \\ BE = \text{sen}(\alpha)\ \text{sen}(\beta) \end{equation*}$$

■ Segmento $CE$:
$$\begin{equation*} \cos(\alpha) = \frac{CE}{BC}\\ \ \\ \cos(\alpha) = \frac{CE}{\text{sen}(\beta)}\\ \ \\ CE = \cos(\alpha)\ \text{sen}(\beta) \end{equation*}$$

A partir destes resultados, vamos demonstrar o seno e o cosseno da subtração de arcos.

■ $\text{sen}(\alpha - \beta) = \text{sen}(\alpha)\ \cos(\beta) - \cos(\alpha)\ \text{sen}(\beta)$:

O segmento $AD=EF$. Assim, $AD=CE+CF$:

$$\begin{equation*} \text{sen}(\alpha)\ \cos(\beta) = \text{sen}(\alpha - \beta) + \cos(\alpha)\ \cos(\beta)\\ \ \\ \text{sen}(\alpha - \beta) = \text{sen}(\alpha)\ \cos(\beta) - \cos(\alpha)\ \text{sen}(\beta) \end{equation*}$$

■ $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\ \cos(\beta) + \text{sen}(\alpha)\ \text{sen}(\beta)$:

O segmento $AF=DE$. Assim, $AF=BD+BE$:

$$\begin{equation*} \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\ \cos(\beta) + \text{sen}(\alpha)\ \text{sen}(\beta) \end{equation*}$$

Links para este artigo:

• http://bit.ly/soma-subt-arcos
• https://www.obaricentrodamente.com/2018/10/demonstracao-geometrica-da-adicao-e-subtracao-de-arcos.html

Veja mais:

• Identidade trigonométrica do semi-arco
• Identidade trigonométrica do arco duplo
• Adição e subtração de arcos no círculo trigonométrico

Softwares utilizados:

• Inkscape