Niels Abel e as equações de grau maior ou igual a 5

Niels Henrik Abel nasceu em 5 de agosto de 1802 em Frindöe (atual Stavanger), Noruega e morreu em 6 de abril de 1829 em Froland, Noruega. Abel foi pioneiro no desenvolvimento de diversos ramos da matemática e um de seus feitos foi provar a impossibilidade de resolver algebricamente a equação geral do quinto grau.

A partir do final da primeira metade do século XVI uma questão, principalmente, mereceu a atenção dos algebristas de todo o mundo. Tal como na milenar fórmula de resolução das equações do segundo grau, em notação atual $ax^2+bx+c=0$, com $a \neq 0$, então a solução pode ser encontrada por:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$

matemáticos italianos tinham acabado de mostrar que também as raízes das equações cúbicas e quárticas se expressam em função dos coeficientes por meio das quatro operações aritméticas e radiciações convenientes. Não valeria o mesmo para equações de grau $\geqslant 5$?

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Durante dois séculos e meio, aproximadamente, foram infrutíferos os esforços dos especialistas em face dessa questão. Diante de tanto esforço inútil, a partir de um certo momento começou-se a duvidar de que, como se diz hoje, as equações de grau $\geqslant 5$ fossem resolúveis por radicais, como o são as de grau dois, três e quatro. E Paolo Ruffini, um médico e matemático italiano, professor da Universidade de Módena, efetivamente confirmou essa impossibilidade, quanto às equações de grau 5, num livro de 1799. Mas os argumentos de Ruffini foram considerados muito vagos, do ponto de vista matemático.

Não demoraria porém para que essa questão fosse definitivamente encerrada. O autor desse feito foi o maior matemático norueguês de todos os tempos, Niels Henrik Abel. Quando tinha cerca de 19 anos e era aluno da Universidade de Christiania, Abel passou a estudar as equações de grau maior que quatro. Inicialmente achou ter encontrado uma solução para as quínticas por meio de radicais, mas depois percebeu que havia errado. Mas persistiu e num artigo de 1824 provou a impossibilidade da resolução geral, por meio de radicais, das equações de grau $\geqslant 5$ (resultado hoje conhecido como teorema de Ruffini-Abel). Como publicou a suas expensas esse trabalho e, ainda, para economizar, de maneira sintética, sua repercussão foi praticamente nula. Gauss, o maior matemático de seu tempo, recebeu uma cópia mas não lhe deu a mínima atenção. Afinal era difícil acreditar que uma questão aberta há dois séculos e meio pudesse ser resolvida por um ilustre desconhecido.

A seguir, com uma bolsa, Abel viajou para França, Itália e Alemanha a fim de mostrar sua já vasta produção matemática e tentar um posto acadêmico numa universidade que lhe permitisse sair da situação de penúria em que vivia. O que de mais prático conseguiu resultou da amizade que travou com August L. Crelle, um engenheiro alemão, entusiasta da matemática, que pela época lançou o primeiro periódico dedicado exclusivamente à matemática. Assim é que nos três primeiros números desse jornal, cujo lançamento foi em 1826, figuram 22 artigos de Abel (5 só no primeiro — inclusive o teorema de Ruffini-Abel). Mesmo tendo retornado à sua terra natal, tangido por problemas financeiros, esses artigos começaram a revelar o talento de Abel à comunidade matemática da Europa. Mas Abel morreu cedo, antes de completar 27 anos, vítima de tuberculose, e o reconhecimento de sua genialidade, como um convite para ser professor da Universidade de Berlim, chegou tarde. A seu respeito assim se pronunciou Charles Hermite:

Abel deixou aos matemáticos com o que trabalhar durante 150 anos.

 

Biografia

A vida de Niels Abel foi dominada pela pobreza. Para contextualizar, vamos olhar brevemente para os problemas políticos que levaram a problemas econômicos na Noruega. No final do século XVIII , a Noruega fazia parte da Dinamarca e os dinamarqueses tentaram permanecer neutros durante as guerras napoleônicas. No entanto, um tratado de neutralidade em 1794 foi considerado um ato agressivo pela Grã-Bretanha e, em 1801 , a frota britânica destruiu a maior parte da frota dinamarquesa em uma batalha no porto de Copenhague. Apesar disso, a Dinamarca-Noruega evitou a guerra até 1807 quando a Grã-Bretanha temeu que a frota dinamarquesa pudesse ser usada pelos franceses para invadir seu território. Usando a filosofia de que o ataque é a melhor forma de defesa, os ingleses atacaram e capturaram toda a frota dinamarquesa em outubro de 1807.

A Dinamarca então se juntou à aliança contra a Grã-Bretanha. As potências continentais bloquearam a Grã-Bretanha e, como contrapartida a essa Grã-Bretanha, bloquearam a Noruega. O bloqueio duplo foi uma catástrofe para a Noruega, impedindo suas exportações de madeira, que haviam sido em grande parte para a Grã-Bretanha, e impedindo suas importações de grãos da Dinamarca. Seguiu-se uma crise econômica na Noruega com as pessoas passando fome e pobreza extrema. Em 1813 a Suécia atacou a Dinamarca pelo sul e, no tratado de Kiel em janeiro de 1814, a Dinamarca entregou a Noruega à Suécia. Uma tentativa de independência da Noruega alguns meses depois levou a Suécia a atacar a Noruega em julho de 1814 . A Suécia ganhou o controle da Noruega, estabelecendo um autogoverno interno completo para a Noruega com um governo em Christiania (que hoje se chama Oslo). Neste momento difícil, Abel estava crescendo em Gjerstad, no sudeste da Noruega.

 

O pai de Abel, Sören Georg Abel, era formado em teologia e filologia e seu pai (avô de Niels Abel) era um ministro protestante em Gjerstad perto de Risor. Sören Abel era um nacionalista norueguês que era politicamente ativo no movimento para tornar a Noruega independente. Sören Abel casou-se com Ane Marie Simonson, filha de um comerciante e armador, e foi nomeado ministro em Finnoy. Niels Abel, o segundo de sete filhos, tinha um ano de idade quando seu avô morreu e seu pai foi nomeado para sucedê-lo como ministro em Gjerstad. Foi nessa cidade que Abel foi criado, ensinado por seu pai no vicariato até os 13 anos de idade. No entanto, esses foram os 13 anos de crise econômica para a Noruega descritos acima e os pais de Abel não teriam conseguido alimentar muito bem sua família. Os problemas também não eram apenas políticos para o pai de Abel, segundo D. Stander, Makers of modern mathematics:

o pai de Abel, provavelmente era um bêbado e sua mãe foi acusada de ter moral frouxa.

O pai de Abel foi, no entanto, importante na política da Noruega e, depois que a Suécia ganhou o controle da Noruega em 1814, ele se envolveu na redação de uma nova constituição para a Noruega como membro do Storting, o corpo legislativo norueguês. Em 1815 Abel e seu irmão mais velho foram enviados para a Escola da Catedral em Christiania. A fundação da Universidade de Christiania havia retirado os bons professores da Escola da Catedral para o pessoal da Universidade quando abriu para o ensino em 1813. O que era uma boa escola estava em péssimas condições quando Abel chegou. Sem inspiração na escola pobre, ele provou ser um aluno bastante comum com algum talento para matemática e física.

 

Quando um novo professor de matemática, Bernt Holmboë, ingressou na escola em 1817 as coisas mudaram marcadamente para Abel. O professor de matemática anterior havia sido demitido por punir um menino tão severamente que ele havia morrido. Abel começou a estudar textos de matemática de nível universitário e, um ano após a chegada de Holmboë, Abel estava lendo as obras de Euler , Newton, Lalande e d'Alembert. Holmboë estava convencido de que Abel tinha um grande talento e o encorajou muito levando-o a estudar as obras de Lagrange e Laplace. No entanto, em 1820 a tragédia atingiu a família de Abel quando seu pai morreu.

 

O pai de Abel havia encerrado sua carreira política em desgraça ao fazer falsas acusações contra seus colegas do Storting depois que ele foi eleito para o corpo novamente em 1818. Seus hábitos de beber em excesso também contribuíram para sua demissão e, portanto, a família estava com os maiores problemas quando ele morreu. Agora não havia dinheiro para permitir que Abel completasse sua educação escolar, nem dinheiro para permitir que ele estudasse na universidade e, além disso, Abel tinha a responsabilidade de sustentar sua mãe e família.

 

Holmboë conseguiu ajudar Abel a obter uma bolsa de estudos para permanecer na escola e Abel conseguiu ingressar na Universidade de Christiania em 1821, dez anos após a fundação da universidade. Holmboë levantou dinheiro de seus colegas para permitir que Abel estudasse na universidade e se formou em 1822. Enquanto em seu último ano na escola, no entanto, Abel começou a trabalhar na solução de equações quínticas (de quinto grau) por radicais . Ele acreditava ter resolvido a quíntica em 1821 e apresentou um artigo ao matemático dinamarquês Ferdinand Degen, para publicação pela Royal Society of Copenhagen. Degen pediu a Abel que desse um exemplo numérico de seu método e, ao tentar dar um exemplo, Abel descobriu o erro em seu artigo. Degen havia dado a Abel alguns conselhos importantes que o colocariam a trabalhar em uma área da matemática:

... cujo desenvolvimento teria as maiores consequências para a análise e a mecânica. Refiro-me a integrais elípticas. Um investigador sério com qualificações adequadas para pesquisas desse tipo não se limitaria de forma alguma às muitas e belas propriedades dessas funções notáveis, mas poderia descobrir um Estreito de Magalhães levando a vastas extensões de um tremendo oceano analítico.

Na Universidade de Christiania, Abel encontrou um apoiador no professor de astronomia Christopher Hansteen, que forneceu apoio financeiro e incentivo.  A esposa de Hansteen começou a cuidar de Abel como se ele fosse seu próprio filho. Em 1823, Abel publicou artigos sobre equações funcionais (uma equação funcional é toda a equação em que as variáveis, são funções) e integrais em uma nova revista científica iniciada por Hansteen. No terceiro artigo de Abel, Soluções de alguns problemas por meio de integrais definidas, ele deu a primeira solução de uma equação integral (uma equação integral é uma equação que contém uma função operada por uma integral).

 

Abel recebeu uma pequena bolsa para visitar Degen e outros matemáticos em Copenhague. Lá ele conheceu Christine Kemp, que logo depois se tornou sua noiva. Voltando a Christiania, Abel tentou obter da Universidade de Christiania uma bolsa maior para que ele pudesse visitar os melhores matemáticos da Alemanha e da França. Ele não falava francês ou alemão, então, em parte para economizar dinheiro, ele recebeu fundos para permanecer em Christiania por dois anos para lhe dar a chance de se tornar fluente nessas línguas antes de viajar. Abel voltou a trabalhar em equações quínticas e, em 1824, ele provou a impossibilidade de resolver a equação geral do quinto grau em radicais. Ele publicou o trabalho em francês e às suas próprias custas, pois queria uma obra impressionante para levar consigo quando estivesse em suas viagens. Como Ayoub escreve em Archive for History of Exact Science (1980):

Ele escolheu um panfleto como a maneira mais rápida de imprimi-lo e, para economizar nos custos de impressão, reduziu a prova para caber em meia folha de fólio (seis páginas).

A essa altura, Abel parece ter conhecido algo da obra de Ruffini, pois havia estudado a obra de Cauchy de 1815 enquanto era estudante de graduação e neste artigo há uma referência à obra de Ruffini. O artigo de Abel de 1824 começa:

Os geômetras se ocuparam muito com a solução geral de equações algébricas e vários deles procuraram provar a impossibilidade. Mas, se não me engano, eles não conseguiram até o presente.

Abel enviou este panfleto a vários matemáticos, incluindo Gauss, a quem pretendia visitar em Göttingen durante suas viagens. Em agosto de 1825, Abel recebeu uma bolsa de estudos do governo norueguês para poder viajar para o exterior e, depois de levar um mês para resolver seus negócios, partiu para o continente com quatro amigos, primeiro visitando matemáticos na Noruega e na Dinamarca. Ao chegar a Copenhague, Abel descobriu que Degen havia morrido e mudou de ideia quanto a seguir o conselho de Hansteen de ir direto para Paris, preferindo não viajar sozinho e ficar com os amigos que iam para Berlim. Como ele escreveu em uma carta posterior:

Agora estou tão constituído que não posso suportar a solidão. Sozinho, estou deprimido, fico rabugento e tenho pouca inclinação para o trabalho.

Em Copenhague, Abel recebeu uma carta de apresentação de Crelle de um dos matemáticos de lá. Abel conheceu Crelle em Berlim e os dois se tornaram grandes amigos. Essa foi a parte mais útil de toda a viagem de Abel, principalmente porque Crelle estava prestes a começar a publicar um jornal dedicado à pesquisa matemática.

 

Abel foi incentivado por Crelle a escrever uma u mais clara de seu trabalho sobre a insolubilidade da quíntica e isso resultou em Recherches sur les fonctions elliptiques, que foi publicado em 1827 no primeiro volume do Jornal de Crelle, junto com outros seis artigos de Abel. Enquanto estava em Berlim, Abel soube que o cargo de professor de matemática na Universidade de Christiania, a única universidade da Noruega, havia sido dado a Holmboë. Sem perspectivas de um cargo universitário na Noruega, Abel começou a se preocupar com o futuro.

 

O Jornal de Crelle continuou a ser uma fonte para os artigos de Abel, onde começou a trabalhar para estabelecer uma análise matemática em uma base rigorosa. Ele escreveu para Holmboë de Berlim:

Meus olhos foram abertos da maneira mais surpreendente. Se você desconsiderar os casos mais simples, não há em toda a matemática uma única série infinita cuja soma tenha sido rigorosamente determinada. Em outras palavras, as partes mais importantes da matemática não têm fundamento. É verdade que a maior parte é válida, mas isso é muito surpreendente. Eu me esforço para encontrar uma razão para isso, um problema extremamente interessante.

A intenção de Abel era viajar com Crelle para Paris e visitar Gauss em Göttingen no caminho. No entanto, chegou a Abel a notícia de que Gauss não estava satisfeito em receber seu trabalho sobre a insolubilidade da quíntica, então Abel decidiu que seria melhor não ir a Göttingen. É incerto por que Gauss tomou essa atitude em relação ao trabalho de Abel, já que ele certamente nunca o leu - o jornal foi encontrado fechado após a morte de Gauss. Ayoub dá duas razões possíveis:

... a primeira possibilidade é que Gauss provou o resultado ele mesmo e estava disposto a deixar Abel levar o crédito. ... A outra explicação é que ele não deu muita importância à solubilidade por radicais ...

A segunda dessas explicações parece a mais provável, especialmente porque Gauss escreveu em sua tese de 1801 que a solução algébrica de uma equação não era melhor do que inventar um símbolo para a raiz da equação e depois dizer que a equação tinha uma raiz igual ao símbolo.

 

Crelle foi detido em Berlim e não pôde viajar com Abel para Paris. Abel, portanto, não foi diretamente para Paris, mas optou por viajar novamente com seus amigos noruegueses para o norte da Itália antes de cruzar os Alpes para a França. Em Paris, Abel ficou desapontado ao descobrir que havia pouco interesse em seu trabalho. Ele escreveu de volta para Holmboë:

Os franceses são muito mais reservados com estranhos do que os alemães. É extremamente difícil ganhar a intimidade deles, e não me atrevo a insistir com minhas pretensões a esse respeito; finalmente todo iniciante teve muita dificuldade em ser notado aqui. Acabei de terminar um extenso tratado sobre uma certa classe de funções transcendentais para apresentá-lo ao Instituto, que será feito na próxima segunda-feira. Mostrei-o ao senhor Cauchy, mas ele mal se dignou a olhar para ele.

O conteúdo deste tratado de Abel é de extrema importância, pois lidava com a soma de integrais de uma determinada função algébrica. O teorema de Abel afirma que qualquer soma pode ser expressa como um número fixo $p$ dessas integrais, com argumentos de integração que são funções algébricas dos argumentos originais. O número mínimo $p$ é o gênero da função algébrica, e esta é a primeira ocorrência desta quantidade fundamental. O teorema de Abel é uma vasta generalização da relação de Euler para integrais elípticas.

Dois nomes, Cauchy e Legendre, foram indicados para arbitrar o jornal e Abel permaneceu em Paris por alguns meses magro, sombrio, cansado e constantemente preocupado, pois fazia apenas uma refeição diária.

Publicou alguns artigos, principalmente sobre os resultados que já havia escrito para O Jornal de Crelle, então, sem dinheiro e com a saúde em péssimo estado, retornou a Berlim no final de 1826. Em Berlim, Abel pediu dinheiro emprestado e continuou trabalhando nas funções elípticas. Ele escreveu um artigo em onde transformou radicalmente a teoria das integrais elípticas na teoria das funções elípticas usando suas funções inversas.

 

Crelle tentou persuadir Abel a permanecer em Berlim até que pudesse encontrar um cargo acadêmico para ele e até ofereceu a Abel a editoria do Jornal de Crelle. No entanto,  Abel queria voltar para casa e, a essa altura, estava muito endividado. Ele chegou a Christiania em maio de 1827 e recebeu uma pequena quantia em dinheiro da universidade, embora eles se certificassem de que tinham o direito de deduzir uma quantia correspondente de qualquer salário futuro que ele ganhasse. Para ganhar um pouco mais de dinheiro, Abel era tutor de crianças em idade escolar e sua noiva foi empregada como governanta de amigos da família de Abel em Froland.

 

Hansteen recebeu uma grande bolsa para investigar o campo magnético da Terra na Sibéria e um substituto foi necessário para lecionar para ele na Universidade e também na Academia Militar. Abel foi nomeado para este cargo o que melhorou um pouco a sua posição.

 

Em 1828 Abel foi apresentado a um artigo de Jacobi sobre transformações de integrais elípticas. Abel mostrou rapidamente que os resultados de Jacobi eram consequências de sua autoria e acrescentou uma nota nesse sentido à segunda parte de seu principal trabalho sobre funções elípticas. Ele estava trabalhando novamente na solução algébrica de equações, com o objetivo de resolver o problema de quais equações eram solúveis por radicais (problema que Galois resolveu alguns anos depois). Ele colocou isso de lado para competir com Jacobi na teoria das funções elípticas, escrevendo rapidamente vários artigos sobre o assunto.

 

Legendre viu as novas ideias nos jornais que Abel e Jacobi estavam escrevendo e disse:

Através dessas obras, vocês dois serão colocados na classe dos principais analistas de nossos tempos.

Abel continuou a despejar matemática de alta qualidade enquanto sua saúde continuava a se deteriorar. Ele passou as férias de verão de 1828 com sua noiva em Froland. A obra-prima que ele havia submetido à Academia de Paris parecia ter se perdido e então ele escreveu o resultado principal novamente.

 

O jornal tinha apenas duas páginas breves, mas de todas as suas muitas obras talvez a mais pungente. Chamou-o apenas de "Teorema A": não tinha introdução, não continha observações supérfluas, nem aplicações. Era um monumento resplandecente em suas linhas simples - o principal teorema de suas memórias de Paris, formulado em poucas palavras.

 

Abel viajou de trenó para visitar sua noiva novamente em Froland para o Natal de 1828. Ele ficou gravemente doente na viagem de trenó e, apesar de uma melhora que lhes permitiu aproveitar o Natal, ele logo ficou gravemente doente novamente. Crelle foi informado e redobrou seus esforços para conseguir uma entrevista para Abel em Berlim. Ele conseguiu e escreveu a Abel em 8 de abril de 1829 para lhe contar as boas novas. Era tarde demais, Abel já havia morrido. Em um artigo publicado em 1957 no New York Times, Oystein Ore descreve seus últimos dias:

... a fraqueza e a tosse aumentaram e ele conseguiu ficar fora da cama apenas alguns minutos enquanto ela estava sendo feita. Ocasionalmente, ele tentava trabalhar em matemática, mas não conseguia mais escrever. Às vezes ele vivia no passado, falando sobre sua pobreza e sobre a bondade de Fru Hansteen. Sempre foi gentil e paciente. ...

Ele suportou sua pior agonia durante a noite de 5 de abril. Pela manhã ele ficou mais quieto e às onze horas, expirou seu último suspiro.

 

Após a morte de Abel, seu livro de memórias de Paris foi encontrado por Cauchy em 1830 após muita busca. Foi impresso em 1841, mas notavelmente desapareceu novamente e não foi encontrado até 1952, quando apareceu em Florença. Também após a morte de Abel, um trabalho inédito sobre a solução algébrica de equações foi encontrado. De fato, em uma carta que Abel escreveu a Crelle em 18 de outubro de 1828 , ele deu o teorema:

Se cada três raízes de uma equação irredutível de grau primo estão relacionadas entre si de tal forma que uma delas pode ser expressa racionalmente em termos das outras duas, então a equação é solúvel em radicais.

Este resultado é essencialmente idêntico ao dado por Galois em suas famosas memórias de 1830. Nesse mesmo ano, a Academia de Paris concedeu a Abel e Jacobi o Grande Prêmio por seu excelente trabalho.

Referências:

• https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Abel/
• https://www.britannica.com/biography/Niels-Henrik-Abel
• https://pt.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel
• Fundamentos de Matemática Elementar, V6 - Complexos, Polinômios e Equações - Gelson Iezzi

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Veja mais:

• O método de Tartaglia para resolução de equações de terceiro grau
  
• O duelo de Galois
  
• Lagrange, a grande pirâmide da Matemática