20/07/2009

Demonstração da Derivada da Função Seno

Esta demonstração está dividida em duas partes, para melhor esclarecimento:

1) Inicialmente, vamos relembrar alguns conceitos:

a) Uma das fórmulas de Prostaférese, onde se transforma diferença de senos em produto:

clip_image002

 

b) O Limite Fundamental :

             clip_image002[4]

c) O conceito de derivada:

            clip_image002[6]

2) Seja a função seno:

f (x) = sen(x)

Do conceito de derivada temos:

clip_image002[8]

Então:

clip_image002[10]

Aqui temos em diferença de senos. Comparando com a fórmula de prostaférese ( I ) e fazendo as devidas substituições, obtemos:

clip_image002

clip_image004

clip_image006

Neste momento, x passa a ser uma constante. Fazemos uma troca de variável, onde:

clip_image002[14]

Então, se:

clip_image002[16]

Então:

clip_image002[18]

Portanto:

clip_image002[20]

clip_image004[4]

Aplicando o limite de t, obtemos:

clip_image002[22]

clip_image002

 

Portanto:

clip_image002[24]

Conclusão:

Se:

clip_image002[26]

clip_image004[8]

e:

clip_image002[28]


Veja mais:

Demonstração da Derivada a Função Cosseno
Demonstração da Derivada da Função Exponencial
Demonstração da Derivada da Função Logarítmica
Demonstração da Derivada da Função Produto
Demonstração da Derivada da Função Quociente

11 comentários:

  1. José Paiva02/10/2010 13:04

    Evitando o uso de prostaferese, poderíamos fazer uso da definição de derivada para f(x) = sen(x), em que sen(x+dx)=senx.cosdx+sendx.cosx e tomar em evidência o fator comum senx, poupando a necessidade de uma substituição já que teríamos a soma das parcelas senx(cosdx-1)/dx e sendx.cosx/dx, no limite em que dx -> 0. Dos limites trigonométricos fundamentais, a primeira parcela tende a 0 e a segunda a cosx, de onde se tem que sen'(x) = cosx.

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  2. Amigo esse fator comum senx eu não vi...

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  3. Amigo entendi o fato é que F'(x)= (Sen(X+DX)-SenX)/DX com DX->0 ou seja Senx fica em evidência... Mais simplificado mesmo.

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  4. Gostei das demonstrações usando a prostaférese. Muito boas, mas precisam de alguma maturidade matemática para serem compreendidas.

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  5. Creio que no momento da comparação com a fórmula de prostaférese (I), no númerador haja uma multiplicação ao invés de subtração.
    E parabéns pelo blog. Aqui encontro a resposta a várias questões que tenho em aula, mas que meu professor não tem tempo de explicar devido ao cronograma corrido.

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  6. Olá amigo. Bem observado. Já corriji a multiplicação. Agradeço sua visita, elogios e por ter me avisado sobre o erro.
    Um abraço!

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  7. Mas por que mesmo o seno de dx sobre dx, quando dx tende a zero, é igual a 1?

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    Respostas
    1. Veja uma demonstração neste vídeo:

      http://www.youtube.com/watch?v=K-yXOjr-arE

      Abraços.

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  8. Olá...
    No finalzinho em:

    "Aplicando o limite de t, obtemos:"
    $$\displaystyle\underset{t\rightarrow0}{\lim }\cos(t+x)=x $$

    era para ser:
    $$\displaystyle\underset{t\rightarrow0}{\lim }\cos(t+x)=\cos(x) $$

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  9. Olá! Bem observado. Já corrigi. Um abraço.

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