Resolução da integral $\displaystyle \int \cos^2(ax)\ dx$

Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.

Nesta postagem, vamos demonstrar que:

$\begin{equation*} \int \cos^2(ax)\ dx = \frac{x}{2} + \frac{\text{sen}(2ax)}{4a} + C \end{equation*}$
onde

$a \in \mathbb{R}$ e

$a \neq 0$ .

Seja a integral:

$\begin{equation*} I = \int \cos^2(ax)\ dx \end{equation*}$

Para o integrando

$\cos^2(ax)$ , fazemos a substituição

$u=ax$ . Assim,

$du=a\ dx$ e

$\displaystyle dx = \frac{1}{a}du$ :

$\begin{equation} I = \frac{1}{a} \int \cos^2(u)\ du \end{equation}$

Para continuarmos a resolução, relembremos as seguintes identidades trigonométricas:

$\begin{equation} \text{sen}^2 (u) = 1-\cos^2 (u) \end{equation}$
e

$\begin{equation} \cos(2u) = \cos^2(u)-\text{sen}^2(u) \end{equation}$

Substituindo

$(2)$ em

$(3)$ , obtemos:

$\begin{equation*} \cos(2u) = \cos^2(u) - 1 + \cos^2(u)\\ \ \\ \cos(2u) = 2\ \cos^2(u)-1\\ \ \\ 2\ \cos^2(u) = 1 + \cos(2u)\\ \end{equation*}$
O que nos leva a:

$\begin{equation} \cos^2(u) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2u) \end{equation}$
Agora, substituímos

$(4)$ em

$(1)$ :

$\begin{equation*} I = \frac{1}{a} \int \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2u)\right)\ du \end{equation*}$
Integrando termo a termo:

$\begin{equation*} I = \frac{1}{2a} \int du + \frac{1}{2a} \int \cos (2u)\ du\\ \ \\ I = \frac{u}{2a} + \frac{1}{2a} \int \cos(2u)\ du \end{equation*}$

Para o integrando

$\cos(2u)$ , fazemos a substituição

$v = 2u$ . Assim,

$dv = 2\ du$ e

$\displaystyle du = \frac{1}{2} dv$ :

$\begin{equation*} I = \frac{u}{2a} + \frac{1}{4a} \int \cos(v)\ dv \end{equation*}$
A integral de

$\cos(v)$ é

$\text{sen}(v)$ :

$\begin{equation*} I = \frac{u}{2a} + \frac{1}{4a} \text{sen}(v) + C \end{equation*}$
Mas,

$v=2u$ , assim:

$\begin{equation*} I = \frac{u}{2a} + \frac{1}{4a} \text{sen}(2u) + C \end{equation*}$
E

$u=ax$ , logo:

$\begin{equation*} I = \frac{x}{2} + \frac{1}{4a} \text{sen}(2ax) + C \end{equation*}$

Exemplo 1:

Seja

$f(x)=\cos(x)$ e

$g(x)=\cos^2(x)$ . Calcular a área hachurada entre as curvas, no intervalo de

$x=0$ a

$x=\pi/2$ .

Cálculo da área hachurada entre as curvas f(x)=cos(x) e g(x)=cos^2 x

A área hachurada é dada pela diferença das áreas de

$f(x)$ e

$g(x)$ no intervalo

$[0,\pi/2]$ :

$\begin{equation*} A = \int_0^{\pi/2} f(x)\ dx - \int_0^{\pi/2} g(x)\ dx\\ \ \\ A = \int_0^{\pi/2} \cos(x)\ dx - \int_0^{\pi/2} \cos^2(x)\ dx \end{equation*}$

A integral de

$\cos(x)$ é

$\text{sen}(x)$ e a integral de

$\cos^2(x)$ é dada pela fórmula

$(5)$ , assim:

$\begin{equation*} A = \bigg[\text{sen}(x)\bigg]_0^{\pi/2} - \left[ \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\text{sen}(2x)\right]_0^{\pi/2}\\ \ \\ A = \bigg[\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)-\text{sen}(0)\bigg] -\left[ \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\text{sen}(\pi) \right) - \left(\frac{1}{2} \text{sen}(0) \right) \right]\\ \ \\ A = 1-\frac{\pi}{4} \approx 0,2146\ u.a. \end{equation*}$

Resposta: A área da porção hachurada no gráfico vale aproximadamente

$0,2146$ unidades de área.

Exemplo 2:

Seja

$f(x)=\cos(x)$ e

$\displaystyle g(x)=\cos ^2 \left(\frac{x}{2}\right)$ . Calcular a área hachurada do gráfico abaixo.

Simplificando o problema, aplicamos limeites de integração para

$g(x)$ de

$0$ a

$\pi$ e para

$f(x)$ de

$0$ a

$\pi/2$ . Em seguida multiplicamos por

$2$ , devido à simetria das curvas. Sendo assim, a área desejada é dada pela diferença das áreas de

$g(x)$ no intervalo de

$0$ a

$\pi$ e

$f(x)$ no intervalo de

$0$ a

$\pi/2$ , multiplicado por

$2$ .

$\begin{equation*} A = 2 \int_0^{\pi} g(x)\ dx - 2 \int_0^{\pi/2} f(x)\ dx\\ \ \\ A = 2 \int_0^{\pi} \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)\ dx - 2 \int_0^{\pi/2} \cos(x)\ dx \end{equation*}$

A integral de

$cos^2(x/2)$ é dada pela expressão

$(5)$ , considerando

$a=1/2$ . A integral de

$\cos(x)$ é

$\text{sen}(x)$ . Assim:

$\begin{equation*} A = 2\bigg[ \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\text{sen}(x)\bigg]_0^{\pi} - 2\bigg[ \text{sen}(x) \bigg]_0^{\pi/2}\\ \ \\ A = \pi\ -2\\ \ \\ A \approx 1,14159265\ u.a. \end{equation*}$

Resposta: A área da porção hachurada no gráfico vale aproximadamente

$1,1419265$ unidades de área.

Link do artigo:

http://bit.ly/int_cos2ax

02/12/2017