No universo da Análise Complexa, as Equações de Cauchy-Riemann desempenham um papel absolutamente fundamental. Elas constituem um par de equações diferenciais parciais que fornecem a condição necessária para que uma função de variável complexa seja diferenciável (ou analítica) em um determinado ponto. Neste artigo, deduziremos essas equações tanto em coordenadas cartesianas quanto em coordenadas polares.
Dedução em Coordenadas Cartesianas
Seja $f(z) = u(x,y) + i \cdot v(x,y)$ uma função complexa definida em uma vizinhança de um ponto $z = x + iy$. Suponhamos que $f$ seja derivável no ponto $z$. Por definição, o limite do quociente incremental deve existir e ser único, independentemente do caminho escolhido para $\Delta z \to 0$:
$$f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}$$Como estamos no plano complexo, podemos fazer o incremento $\Delta z = \Delta x + i \Delta y$ tender a zero por dois caminhos principais e independentes:
Caminho 1: Aproximação puramente Real ($\Delta y = 0$)
Se fizermos $\Delta z$ tender a zero ao longo do eixo real, teremos $\Delta z = \Delta x$. O limite assume a forma:
Separando as parcelas da parte real e da parte imaginária, identificamos as definições das derivadas parciais em relação a $x$:
Caminho 2: Aproximação puramente Imaginária ($\Delta x = 0$)
Se fizermos $\Delta z$ tender a zero ao longo do eixo imaginário, teremos $\Delta z = i \Delta y$. Substituindo no quociente incremental:
Lembrando que $\frac{1}{i} = -i$, distribuímos o denominador e separamos novamente os limites:
Igualando os Resultados
Como a derivada $f'(z)$ deve ser única, os resultados obtidos pelos dois caminhos precisam ser idênticos:
$$\frac{\partial u}{\partial x} + i \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \cdot \frac{\partial u}{\partial y}$$Igualando separadamente as partes reais e as partes imaginárias de ambos os lados, obtemos as célebres Equações de Cauchy-Riemann em formato cartesiano:
$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$$ $$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$Forma Polar das Equações de Cauchy-Riemann
Em muitas aplicações físicas e geométricas, é muito mais conveniente trabalhar com coordenadas polares $(r, \theta)$, onde $x = r \text{ cos} (\theta)$ e $y = r \text{ sen} (\theta)$. Sob essa perspectiva, a função complexa assume o formato $f(z) = u(r, \theta) + i \cdot v(r, \theta)$. Neste sistema, as equações modificam-se para:
$$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta}$$ $$\frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta}$$Demonstração Analítica via Regra da Cadeia
Para deduzir essa roupagem polar, aplicamos a regra da cadeia para derivadas parciais. Vamos expressar as derivadas em relação a $r$ e $\theta$ expandindo-as em termos de $x$ e $y$:
$$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}$$ $$\frac{\partial u}{\partial \theta} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta}$$Calculando as derivadas parciais das relações de transformação $\big(x = r\text{ cos}\theta$ e $y = r\text{ sen}\theta\big)$, temos:
$$\frac{\partial x}{\partial r} = \text{ cos} (\theta), \quad \frac{\partial y}{\partial r} = \text{ sen} (\theta)$$ $$\frac{\partial x}{\partial \theta} = -r \text{ sen} (\theta), \quad \frac{\partial y}{\partial \theta} = r \text{ cos} (\theta)$$Substituindo esses resultados nas expansões de $u$, obtemos:
Fazemos exatamente o mesmo processo para a função $v(r, \theta)$:
Agora, aplicamos as equações cartesianas de Cauchy-Riemann $\left(\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y}\right)$ e $\left(\dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x}\right)$ nas equações $(3)$ e $(4)$:
Ao compararmos a equação $(6)$ com a equação $(1)$, notamos que o termo entre parênteses é exatamente $\dfrac{\partial u}{\partial r}$. Portanto:
De maneira análoga, se multiplicarmos a equação $(5)$ por $-r$, verificamos o perfeito casamento algébrico com a estrutura da equação $(2)$:
Ficam assim demonstradas as equações de Cauchy-Riemann em suas duas principais formulações geométricas geométricas.
Referências:
- Notas de aula de Variáveis Complexas
Parabéns pelo post, estas equações são fundamentais em Variáveis Complexas. Hoje eu pesquisei no seu blog e os posts estão muito bons.
ResponderExcluirAbraços!
Obrigado pelos elogios, Parceiro! Forte abraço!
ResponderExcluirSeja a função z E(pertencente) C, a função e^z obedece as equações de Cauchy-Riemann?
ResponderExcluirOlá amigo,
ResponderExcluir$e^z$ também obedece as equações:
Seja
$f(z)=e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos(y)+i\sin(y))$
Assim:
$$u(x,y)=e^x\cos(y)$$
e
$$v(x,y)=e^x\sin(y)$$
Para satisfazer as condições de Cauchy-Riemann, devemos ter:
$$\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}$$
e
$$\dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}$$
Sendo:
$$\dfrac{\partial u}{\partial x}=e^x\cos(y)=\dfrac{\partial v}{\partial x}$$
e
$$\dfrac{\partial u}{\partial y}=-e^x\sin(y)=-\dfrac{\partial v}{\partial y}$$
Segue o resultado.
Abraços.
Eu vi essa dedução geométrica das condições de Cauchy-Riemann no livro do Geraldo Ávila. Ele diz que a cada ponto se associa um novo sistema de coordenadas cartesianas PXY, e pelo que notei a abcissa é sempre paralela a R, sendo assim como é possível que haja um incremento delta teta para gerar a ordenada? Se em cada ponto houver um sistema, então o Y desse novo sistema será sempre ZERO. Não é?
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