Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos? Vamos ver neste artigo a resolução da integral do arco cosseno de $x$.
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.
Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$\int \cos^{-1}(x)\ dx = x\ \cos^{-1}(x) - \sqrt{1-x^2}+C
$$
- Leia o artigo sobre A derivada da função inversa arcocosseno de x
- Leia o artigo sobre A integral da função arcosseno de x
Seja a integral:
$$I = \int \cos^{-1}(x)\ dx
$$
Para o integrando $\cos^{-1}(x)$, utilizamos o método de integração por partes. Lembrando que:
$$\int u\ dv = u\ v - \int v\ du
$$
Fazemos $u=\cos^{-1}(x)$ e $dv=dx$ para obtermos $\displaystyle du=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx$ e $v=x$.
Veja neste artigo como obter a derivada da função arcocosseno.
Assim:
$$I = \cos^{-1}(x)\cdot x - \int x \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)\ dx\\
\ \\
I = x\ \cos^{-1}(x) + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ dx
$$
Para o integrando $\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$, utilizamos o método de integração por substituição. Fazemos a substituição $w=1-x^2$. Assim, $dw=-2x\ dx$ e $\displaystyle dx=-\frac{1}{2x}\ dw$:
$$I = x\ \cos^{-1}(x) + \int \frac{x}{\sqrt{w}}\cdot \left(-\frac{1}{2x}\right)\ dw\\
\ \\
I = x\ \cos^{-1}(x) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{w}}\ dw
$$
A integral de $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{w}}$ é $2\sqrt{w}$. Assim:
$$I = x\ \cos^{-1}(x) - \sqrt{w} + C
$$
Mas, $w = 1-x^2$, logo:
$$I = x\ \cos^{-1}(x) - \sqrt{1-x^2} + C
$$
Exemplo:
Vamos calcular a área sob a curva $f(x)=\cos^{-1}(x)$ no intervalo de $x=0$ e $x=1$.
Para esta resolução, utilizaremos o conceito de integral definida aplicado ao resultado obtido acima. Assim:
$$A = \int_0^1 \cos^{-1}(x)\ dx\\
\ \\
A = \Big[ x\ \cos^{-1}(x) - \sqrt{1-x^2} \Big]_0^1\\
\ \\
A = \Big( 1\cdot \cos^{-1}(1) - \sqrt{1-1^2}\Big) - \Big( 0\cdot \cos^{-1}(0) - \sqrt{1-0^2} \Big)\\
\ \\
A = (0-0)-(0-1)\\
\ \\
A = 1
$$
Assim, a área desejada vale $1$ unidade de área.
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