Como calcular a área envolvendo um quadrado e dois arcos de circunferência - Parte 3

Este é o terceiro artigo sobre como encontrar a área de uma região quando dois arcos de circunferência são descritos internamente a um quadrado. Para ler a parte 1 e a parte 2 dessa série de artigos, acesse os links abaixo:

• Como calcular a área envolvendo um quadrado e dois arcos de circunferência - Parte 1
• Como calcular a área envolvendo um quadrado e dois arcos de circunferência - Parte 2

Seja um quadrado de lado $\ell$ e sejam dois arcos e circunferência de raios iguais a $r=\cfrac{\ell}{2}$, cujos centros encontram-se nos pontos médios de dois lados adjacentes do quadrado. Vamos calcular a área hachurada $A_1$ correspondente à intersecção desses dois arcos e a área $A_2$, que é a área limitada pelo quadrado e os dois semicírculos.

 

Cálculo da área $A_1$:

A área $A_1$ já vimos como calcular no segundo artigo desta série de posts e é dada por:

$$

A_1 = r^2 \left(\frac{\pi}{2}-1\right)

$$

onde $r$ é o raio da circunferência e o lado do quadrado $DFEG$.

 

Cálculo da área $A_2$:

A área $A_2$ é dada pela área do quadrado $ABCD$, subtraindo a área da figura formada pelos semicírculos $AECD$.

A área da figura $AECD$ é a soma das áreas dos dois semicírculos $AED$ e $DEC$ (igual à $\pi r^2$), subtraindo a área $A_1$, pois está sendo somada duas vezes. Assim:

$$

A_{AECD} = \pi r^2 - r^2 \left( \frac{\pi}{2}-1\right)

$$

E para calcular a área $A_2$, fazemos:

$$
A_2 = A_Q - A_{AECD}\\
\ \\
A_2 = \ell^2 - \left[ \pi r^2 - r^2 \left( \frac{\pi}{2}-1 \right)\right]\\
\ \\
A_2 = 4r^2 - \pi r^2 + \frac{\pi r^2}{2} - r^2\\
\ \\
A_2 = 3r^2 - \frac{\pi r^2}{2}\\
\ \\
A_2 = r^2 \left( 3 - \frac{\pi}{2}\right)
$$

 

Exemplo 1:

Calcular as áreas hachuradas $A_1$ e $A_2$ da figura abaixo sabendo que o quadrado possui $4\ cm$ de lado.

A área do quadrado é dada por:

$$

A_Q = 4^2 = 16\ cm^2

$$

Como o lado do quadrado mede $\ell = 4\ cm$, o raio dos semicírculos medem $r=2\ cm$. Assim, a área $A_1$ será dada por:

$$
A_1 = r^2 \left(\frac{\pi}{2}-1\right)\\
\ \\
A_1 = 4\left(\frac{\pi}{2}-1\right)\\
\ \\
A_1 = 2\pi - 4 \\
\ \\
A_1 \approx 2,283\ cm^2
$$

A área $A_2$ é dada por: 

$$

A_2 = r^2 \left( 3 - \frac{\pi}{2} \right)\\
\ \\
A_2 = 4 \left( 3 - \frac{\pi}{2} \right)\\
\ \\
A_2 \approx 5,7168\ cm^2

$$

Links para este artigo:

• https://bit.ly/area-quadrado-circulos-3
  
• https://www.obaricentrodamente.com/2022/04/como-calcular-a-area-envolvendo-um-quadrado-e-dois-arcos-de-circunferencia-parte-3.html
  

Veja mais:

• Como calcular a área envolvendo um quadrado e dois arcos de circunferência - Parte 1
• Como calcular a área envolvendo um quadrado e dois arcos de circunferência - Parte 2
• Representação geométrica de expressões algébricas